도형의 방정식

눈으로 보던 기하학 도형을 x, y 좌표와 대수식으로 옮긴 수학이에요.

이를 데카르트가 창안한 '해석기하'라고 불러요.

도형의 성질을 작도하지 않고도 대수 계산으로 명쾌하게 증명할 수 있어요.

수직선은 좌우 한 방향뿐이라 두 점 사이 거리는 |x₂ − x₁|이에요.

하지만 좌표평면은 가로(x)와 세로(y) 두 방향이 있어요.

두 방향의 차이로 직각삼각형을 만들어 피타고라스 정리로 빗변을 구해요.

x₂ − x₁ 대신 x₁ − x₂로 빼도 아무 문제 없어요.

음수가 나오더라도 곧바로 제곱을 하기 때문이에요.

어느 쪽에서 어느 쪽을 빼든 제곱하면 항상 양수가 되어 결과가 완전히 같아요.

내분점은 선분의 안쪽(내)을 주어진 비율로 쪼개는(분) 점이에요.

막대기의 무게중심을 잡거나 거리를 비례 배분할 때 쓰여요.

비율이 1:1로 양쪽 길이가 정확히 같을 때의 내분점을 중점이라고 해요.

비례식 (x − x₁) : (x₂ − x) = m : n에서 출발해요.

외항의 곱과 내항의 곱을 하면 m(x₂ − x) = n(x − x₁)이 돼요.

그래서 앞 비율 m은 뒤 좌표 x₂와, 뒤 비율 n은 앞 좌표 x₁과 엇갈려 곱해져요.

① 왜 비율을 엇갈려 곱할까요? (삼각형의 닮음비 유도)
수직선 위의 두 점 A(x₁), B(x₂) (x₁ < x₂)를 m:n으로 내분하는 점을 P(x)라 해 볼게요. 선분 길이의 비가 AP : PB = m : n이므로 (x − x₁) : (x₂ − x) = m : n이에요. 비례식에서 내항의 곱과 외항의 곱은 같으므로 m(x₂ − x) = n(x − x₁)이 됩니다. 괄호를 풀어 x끼리 모으면 (m+n)x = mx₂ + nx₁이고, 양변을 m+n으로 나누면 x = (mx₂ + nx₁)/(m+n)이 나와요. 좌표평면에서도 각 점에서 x축·y축에 수선을 내리면 닮은 직각삼각형이 만들어져 x좌표와 y좌표에 똑같은 식이 성립해요.

② 참고 — 선분 바깥에서 나누는 외분점과 비교
선분 AB의 연장선 위(바깥쪽)에서 AQ : QB = m : n (m ≠ n)이 되게 나누는 점 Q를 외분점이라 해요. 내분점 공식에서 가운데 부호만 −로 바꾸어 ((mx₂−nx₁)/(m−n), (my₂−ny₁)/(m−n))으로 구해요.

기울기는 '가로 증가량 분의 세로 증가량'이에요.

임의의 점 (x, y)에 대해 m = (y − y₁)/(x − x₁)이 성립해요.

양변에 분모 (x − x₁)을 곱하면 익숙한 직선의 공식이 나와요.

기울기가 같고 y절편이 다르면 서로 만나지 않는 평행이에요.

기울기도 같고 y절편까지 완전히 같으면 두 직선이 포개지는 일치예요.

따라서 평행인지 확인할 때는 y절편이 다른지 꼭 함께 봐야 해요.

원은 중심에서 거리가 항상 r인 점들의 모임이에요.

중심 (a, b)와 원 위의 점 (x, y) 사이 거리는 √((x−a)² + (y−b)²) = r이에요.

양변을 제곱하면 바로 표준형 원의 방정식이 탄생해요.

직선 식을 우변이 0인 ax + by + c = 0 형태로 먼저 정리해요.

분자에는 점의 좌표를 직선 식에 쏙 대입한 뒤 절댓값 |ax₁ + by₁ + c|을 씌워요.

분모에는 x, y 앞의 계수로 만든 빗변 √(a² + b²)을 나누어 주면 끝나요.

직선을 원에 대입해 연립하면 복잡한 이차방정식의 판별식을 계산해야 해요.

하지만 원의 중심에서 직선까지 거리 d를 구하면 반지름 r과 곧바로 비교돼요.

d < r이면 두 점, d = r이면 접함, d > r이면 만나지 않는다는 사실을 암산으로도 파악할 수 있어요.

두 직선을 나란히 평행이동해 원점 O(0, 0)에서 수직으로 만나게 하면, 두 직선의 식은 y = m₁x와 y = m₂x가 돼요. 이 두 직선이 직선 x = 1과 만나는 점을 각각 A(1, m₁), B(1, m₂)라 하면 삼각형 OAB는 ∠AOB = 90°인 직각삼각형이에요. 피타고라스 정리에 의해 OA² + OB² = AB²이므로 (1 + m₁²) + (1 + m₂²) = (m₁ − m₂)²이 성립해요. 우변을 전개해 양변에서 m₁² + m₂²을 지우면 2 = −2m₁m₂가 되어 m₁m₂ = −1이 나옵니다.

① 원 x² + y² = r² 위의 한 점 P(x₁, y₁)에서의 접선 : x₁x + y₁y = r²
원의 중심 O(0, 0)과 접점 P(x₁, y₁)을 이은 반지름 OP는 접선과 수직이에요. 반지름 OP의 기울기가 y₁/x₁이므로 접선의 기울기는 −x₁/y₁이에요(x₁≠0, y₁≠0). 따라서 접선의 식은 y − y₁ = −(x₁/y₁)(x − x₁)이고, 양변에 y₁을 곱해 정리하면 x₁x + y₁y = x₁² + y₁²이에요. 점 P가 원 위의 점이므로 x₁² + y₁² = r²을 대입하면 x₁x + y₁y = r²이 됩니다. 이 식은 축 위의 점(예: 원 x²+y²=4 위의 점 (0, 2) → 0·x + 2·y = 4, 곧 y = 2)에서도 그대로 성립해요.

② 기울기가 m이고 원 x² + y² = r²에 접하는 직선 : y = mx ± r√(m²+1)
구하는 접선을 y = mx + k (mx − y + k = 0)라 놓으면, 원의 중심 (0, 0)에서 직선까지의 거리 d가 반지름 r과 같아야 해요. 즉 |k|/√(m²+1) = r에서 k = ±r√(m²+1)이므로 접선의 방정식은 y = mx ± r√(m²+1)이에요.

점 (x, y)를 x축으로 a만큼 밀면 새 점의 좌표는 X = x + a가 돼요. 보이는 그대로 좌표에 a를 더합니다.

하지만 도형의 식은 옛날 점 (x, y)가 만족하던 관계식이에요. 새 점 (X, Y)의 관계식을 구하려면, x = X − a로 거꾸로 되돌려 옛 식에 넣어야 합니다. 그래서 식에는 부호가 반대인 x − a가 들어갑니다.

기울기가 1인 직선 y = x는 가로축과 세로축의 한가운데를 가르는 대각선이에요.

점 (a, b)를 이 대각선에 접어 포개면, 가로 위치 a가 세로 위치로 가고 세로 위치 b가 가로 위치로 바뀌어 (b, a)가 돼요. 그래서 x와 y를 서로 맞바꾸면 됩니다.