왜 도형의 방정식을 배울까?
점·선·원을 좌표와 식으로 바꾸면 눈대중 대신 계산으로 정확히 다룰 수 있어요. GPS 위치 계산, 게임 충돌 판정, 로봇 경로 설계까지 모두 도형을 식으로 옮긴 해석기하의 힘이에요. 거리·내분점·직선·원이 그 출발점이에요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 두 점 사이의 거리와 선분의 내분점·중점을 구한다. ② 직선의 방정식을 세우고 평행·수직 조건을 활용한다. ③ 원의 방정식을 다루고 직선과 원의 위치 관계를 판단한다. ④ 평행이동·대칭이동으로 도형의 식을 변환한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 준비 완료예요.
① 직각삼각형에서 빗변 c는? (밑변 3, 높이 4)
② 두 수 2와 8의 평균은?
① c=√(3²+4²)=5 (피타고라스) · ② (2+8)/2=5. 거리 공식과 중점 공식이 바로 이 둘이에요.
두 점 사이의 거리 — 피타고라스의 부활
좌표평면 위 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리는 가로 차이와 세로 차이로 만든 직각삼각형의 빗변이에요. d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). 수직선 위 두 점 거리 |x₂−x₁|을 평면으로 확장한 것이고, 그 바탕은 피타고라스 정리 하나예요.
기억해요 — 두 점 거리 = √(x차이² + y차이²). 직각삼각형 빗변을 떠올려요
왜 도형을 식으로 바꿀까
점·선·원을 좌표와 식으로 바꾸면, 눈대중 대신 계산으로 정확히 다룰 수 있어요. GPS 위치 계산, 게임 충돌 판정, 로봇 경로 — 모두 도형을 식으로 옮긴 「해석기하」의 힘이에요.차이의 부호를 헷갈리기
x₂−x₁이 음수여도 제곱하면 양수라 거리는 항상 0 이상이에요. 순서를 바꿔 (x₁−x₂)로 빼도 제곱하면 같은 값. 부호 걱정 없이 제곱부터 해요.내분점·중점 — 선분을 나누는 좌표
선분 AB를 m:n으로 나누는 내분점의 좌표는 ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n))이에요. 특히 중점은 1:1이므로 ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) — 두 좌표의 평균이에요. 식이 헷갈리면 「먼 쪽 점에 가까운 쪽 비율을 곱한다」고 기억해요.
기억해요 — 내분점 = (m·먼점 + n·가까운점) ÷ (m+n) / 중점 = 평균
기억 그림 · 원의 방정식
중심 (a, b)에서 거리가 항상 r인 점들의 모임 = 원. (x−a)² + (y−b)² = r²
📺📺 영상으로 보기두 점 사이 거리▶
📺 움직이는 개념 — 두 점 사이 거리
두 점이 직각삼각형을 만들고, 빗변이 곧 거리가 돼요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 점·직선 거리는 대입한 절댓값을 빗변으로 나누기
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 점을 식에 대입한 절댓값을 계수로 만든 빗변으로 나누는 과정을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 원과 직선 위치 관계는 중심거리 d와 반지름 r의 키 재기
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 연립·판별식 없이 중심거리 d와 반지름 r만 비교해 만나는 점 개수를 가르는 비법을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 내분점은 공식 없이 수직선 눈금 자르기로 3초 컷
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 두 점 사이 거리를 비율 칸수로 쪼개 자로 짚어 내분점을 찾는 비법을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
직선과 원의 방정식 — 평면을 식으로
직선: 기울기 m과 한 점 (x₁, y₁)을 알면 y−y₁ = m(x−x₁). 두 직선이 평행하면 기울기가 같고(m₁=m₂), 수직이면 기울기 곱이 −1(m₁m₂=−1)이에요. 원: 중심 (a, b), 반지름 r이면 (x−a)²+(y−b)²=r². 전개한 일반형 x²+y²+Ax+By+C=0은 다시 완전제곱으로 묶어 중심·반지름을 찾아요.
기억해요 — 평행: 기울기 같음 / 수직: 기울기 곱 = −1 / 원: 중심·반지름이 핵심
①점과 직선 거리
점 (x₁,y₁)과 직선 ax+by+c=0 사이 거리 = |ax₁+by₁+c| / √(a²+b²).
②평행·수직
평행 → 기울기 같음. 수직 → 기울기 곱 −1. 좌표축에 평행한 직선은 예외로 따로 봐요.
③원과 직선
원의 중심에서 직선까지 거리 d와 반지름 r 비교: d
④평행이동
도형을 x축으로 p, y축으로 q 옮기면 x→x−p, y→y−q로 바꿔 대입해요.
대칭이동 정리
점 (x,y)를 x축 대칭 → (x,−y), y축 대칭 → (−x,y), 원점 대칭 → (−x,−y), 직선 y=x 대칭 → (y,x). 도형의 식에서는 해당 문자를 바꿔 대입하면 대칭이동한 도형의 식이 나와요.자취의 방정식
어떤 조건을 만족하는 점 P(x,y)가 그리는 도형을 자취라 해요. 조건을 x, y에 대한 식으로 옮기고 정리하면 자취의 방정식이 나와요. 두 점에서 같은 거리인 점의 자취는 수직이등분선이 되는 식이에요.스스로 풀어요 (3단계)
두 점 거리·중점·기본 직선식부터. 공식에 차근차근 대입해 봐요.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 거리는 제곱부터 하면 부호 걱정이 사라져요. 「더 간결하게」: 원의 일반형은 항상 완전제곱으로 묶어 중심·반지름부터 찾는 습관을 들여요.
객관식 진단 퀴즈 — 도형의방정식
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 원점에서 (a,b)까지 거리
가로 a 3
세로 b 4
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1두 점 거리 = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²) — 직각삼각형 빗변(피타고라스).
- 2내분점 m:n = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)) · 중점 = 두 좌표 평균.
- 3직선: 평행 → 기울기 같음, 수직 → 기울기 곱 −1.
- 4원: (x−a)²+(y−b)²=r² (중심 (a,b), 반지름 r). 일반형은 완전제곱으로 묶기.
이 단원의 말·기호
- 두 점 거리
- √((x차)²+(y차)²). 좌표평면 위 두 점 사이 직선 길이.
- 내분점
- 선분을 m:n으로 안에서 나누는 점.
- 점과 직선 거리
- |ax₁+by₁+c|/√(a²+b²).
- 원의 일반형
- x²+y²+Ax+By+C=0. 완전제곱으로 중심·반지름을 찾음.
내 말로 설명하기
두 점 사이 거리 공식이 왜 피타고라스에서 나오는지 설명해 봐요.
예시 — 두 점 사이를 잇는 선분을 빗변으로 하고, 가로 차이 |x₂−x₁|과 세로 차이 |y₂−y₁|을 두 변으로 하는 직각삼각형을 그리면, 피타고라스 정리로 빗변(거리) = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²)가 나와요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.