제곱해서 a가 되는 수를 a의 제곱근이라 해요.
9의 제곱근은 제곱해서 9가 되는 수인 +3과 −3 두 개예요.
그중 양의 제곱근을 √ 기호로 √9 = 3 처럼 써요.
√a는 넓이가 a인 정사각형의 한 변 길이에요.
도형의 한 변으로 생각하면 머릿속에 그림이 또렷해져요.
기억해요 — √a = 넓이 a인 정사각형의 한 변. 제곱근은 양·음 둘, √는 양의 쪽왜 제곱근을 배울까?
넓이가 2인 정사각형의 한 변 길이는 얼마일까요?
피타고라스 정리에서도 제곱해서 그 수가 되는 수가 필요해요.
제곱근을 알면 무리수라는 새로운 수의 세계가 열립니다.
유리수와 무리수가 만나 수직선이 빈틈없이 꽉 채워져요.
🔎 「제곱근」이 무슨 말이죠?
제곱하여 어떤 수가 될 때, 그 원래의 바탕이 되는 수를 제곱근(제곱의 뿌리)이라고 해요.
나무의 뿌리 근(根) 자를 써서 어떤 수를 자라나게 한 씨앗이라는 뜻이에요.
예를 들어 3을 제곱하면 9가 되므로, 3은 9의 제곱근이에요.
🔎 정사각형의 넓이와 한 변은 어떤 관계인가요?
정사각형의 넓이는 '한 변 × 한 변', 즉 (한 변)²이에요.
거꾸로 넓이를 알 때 한 변의 길이를 알아내는 열쇠가 바로 제곱근이에요.
넓이가 9인 정사각형의 한 변은 3이고, 넓이가 2인 정사각형의 한 변은 √2가 됩니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 제곱근과 √의 뜻을 안다. ② 무리수·실수를 이해한다. ③ 제곱근을 곱·간단히·유리화한다. ④ 제곱근의 대소를 비교한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 4² 과 5² 은 각각 얼마일까요?
② 넓이가 9인 정사각형의 한 변은?
① 16, 25 · ② 3. 넓이의 한 변을 거꾸로 찾는 게 곧 제곱근이에요.
🔎 그 전에 알아야 할 것 — 거듭제곱과 제곱수
같은 수를 두 번 곱한 것을 제곱이라고 해요: 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16.
어떤 자연수를 제곱해서 얻은 수(1, 4, 9, 16, 25, …)를 제곱수라고 불러요.
제곱근을 공부할 때는 이 제곱수들이 머릿속에 구구단처럼 바로 떠오르면 아주 편리해요.
제곱근 — 제곱하면 그 수가 되는 수
🔎 「근호(√)」 기호는 왜 만들었나요?
넓이가 2인 정사각형의 한 변 길이는 1.41421356…으로 소수가 끝없이 이어져요.
이 수를 소수로 끝까지 다 쓸 수 없으니, 뿌리를 뜻하는 라틴어 radix의 첫 글자 r을 본떠 √ 기호를 만들었어요.
이 기호를 근호 또는 루트(root)라고 부른답니다.
🔎 「9의 제곱근」과 「제곱근 9」는 어떻게 다른가요?
말의 순서 하나 차이지만 수학에서는 뜻이 완전히 달라요!
9의 제곱근은 제곱해서 9가 되는 수 모두를 뜻하므로 +3과 −3(두 개)이에요.
제곱근 9는 기호 √9를 우리말로 그대로 읽은 것으로, 양의 제곱근인 3(한 개)만 뜻해요.
🔎 음수의 제곱근은 왜 생각하지 않나요?
양수를 제곱해도 양수((+2)² = 4)이고, 음수를 제곱해도 양수((−2)² = 4)예요.
어떤 실수를 제곱해도 음수가 나올 수 없어요.
그래서 중학교 수학에서는 음수의 제곱근은 없는 것으로 생각해요.
🔎 이 식이 왜 이렇게 되나요? — √(a²) = |a|인 까닭
근호(√)는 늘 0 이상의 양수만 나타내기로 약속된 기호예요.
예를 들어 √(−3)²은 루트 안을 먼저 계산하면 √9 = 3이 되어 양수로 나와요.
그래서 알맹이가 음수일 때는 부호를 반대로 바꾸어 나와야 하므로 √(a²) = |a|(절댓값)가 됩니다.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 루트는 넓이에서 한 변을 꺼내는 열쇠
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 넓이가 정해진 정사각형의 한 변 길이가 바로 루트임을 단계별로 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 영감을 준 원작 영상: 깨봉수학 「루트(root) _ 이렇게 쉬운 거였어???」 · 직관만 빌려 우리가 코드(SVG)로 새로 제작 · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서.
📺📺 영상으로 보기넓이에서 한 변으로▶
📺 움직이는 개념 — 넓이에서 한 변으로
정사각형의 넓이로 제곱근을 봐요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
무리수와 실수 — 분수로 못 쓰는 수
√2처럼 분수로 나타낼 수 없는 수를 무리수라 해요.
소수로 나타내면 순환하지 않는 무한소수가 됩니다.
유리수와 무리수를 모두 합쳐서 실수라고 불러요.
제곱근끼리는 알맹이끼리 곱해 √a × √b = √(ab)로 계산해요.
√12 = 2√3처럼 밖으로 빼내어 가장 간단히 나타냅니다.
기억해요 — 무리수(√2·π…) + 유리수 = 실수. √ 안의 제곱인수는 밖으로 빼낸다🔎 「무리수」가 무슨 말이죠?
분수(정수 분의 정수) 꼴로 결코 나타낼 수 없는 수를 무리수라고 해요.
유리수는 비율(比)이 있는 수이고, 무리수는 그런 비율을 만들 수 없는 수라는 뜻이에요.
소수로 적으면 1.41421356…처럼 순환마디 없이 끝없이 이어지는 무한소수가 된답니다.
🔎 「실수」는 왜 선을 꽉 채운다고 하나요?
실제로 존재하는 수라는 뜻으로, 영어로는 Real Number라고 불러요.
유리수만으로는 수직선 곳곳에 바늘구멍 같은 빈틈이 생겨요.
그 빈틈을 무리수들이 완벽히 메워 수직선 전체가 빈틈없이 꽉 채워진답니다.
🔎 이 식이 왜 이렇게 되나요? — 루트의 곱셈 법칙
가로가 √2, 세로가 √3인 직사각형의 넓이를 생각해 보세요.
직사각형의 넓이는 '가로 × 세로'이므로 √2 × √3이에요.
이 직사각형 두 개를 붙이면 넓이 6인 도형이 되어 한 변이 √6인 정사각형과 넓이가 같아져요.
그래서 루트 안의 알맹이끼리 곱한 √a × √b = √(ab)가 성립해요.
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 근호 안의 제곱인수 밖으로 빼내기
루트 안의 수를 소인수분해했을 때 제곱인 수가 있으면 밖으로 꺼낼 수 있어요.
예를 들어 √12는 √(4 × 3) = √(2² × 3)으로 쓸 수 있어요.
제곱이 된 2는 루트를 벗고 밖으로 탈출하여 2√3이 됩니다.
①제곱근 계산
√a × √b = √(ab), √a ÷ √b = √(a/b).
②간단히
√12 = √(4·3) = 2√3 (제곱인수 빼내기).
③분모의 유리화
3/√3 = 3√3/3 = √3 (분모를 정수로).
④대소 비교
√ 안의 수가 클수록 큰 수. 2 = √4 < √5.
🔎 「분모의 유리화」는 왜 해야 하나요?
분수의 분모에 무리수가 있으면 나눗셈 셈하기가 아주 까다로워요.
1 ÷ 1.414…를 손으로 직접 나누기는 매우 복잡하지요.
분모와 분자에 똑같은 루트를 곱해 분모를 깔끔한 유리수로 바꾸면 셈이 훨씬 쉬워져요.
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 루트의 덧셈과 뺄셈
루트의 덧셈은 다항식의 동류항 모으기와 똑같아요.
루트 안의 수가 같은 것끼리만 문자처럼 묶어서 더할 수 있어요: 2√3 + 3√3 = 5√3.
루트 안의 수가 다르면 더 이상 합칠 수 없으니 √2 + √3 형태로 그대로 두어야 해요.
🔎 루트의 크기는 어떻게 비교하나요?
a와 b가 양수일 때 a < b이면 언제나 √a < √b가 성립해요.
정수와 루트를 비교할 때는 정수를 루트 안으로 넣어 비교해요.
예를 들어 2 = √4이므로 √4 < √5에서 2 < √5임을 바로 알 수 있어요.
🔎 무리수의 정수 부분과 소수 부분은 어떻게 구하나요?
어떤 무리수가 어느 정수 사이에 끼어 있는지 먼저 알아내요: 1 = √1 < √2 < √4 = 2.
따라서 √2 = 1.414…이므로 정수 부분은 1이에요.
끝없이 이어지는 소수 부분은 (전체 수) − (정수 부분)이므로 √2 − 1로 써요.
왜 √(−3)² = −3이 아니라 +3일까? (√a² = |a|)
근호(√)는 늘 양의 제곱근만 뜻해요.
(−3)²을 먼저 셈하면 9이므로 √(−3)² = √9 = 3이 됩니다.
어떤 실수 a에 대해서도 √(a²) = |a|(절댓값)예요.
a < 0일 때는 −a가 양수이므로 √(a²) = −a로 나와요.
무리수의 정수 부분·소수 부분 & 분배법칙 유리화
① 정수 부분과 소수 부분: 1 = √1 < √2 < √4 = 2예요.
따라서 √2 = 1.414…의 정수 부분은 1이에요.
끝없이 이어지는 소수 부분은 (원래 수) − (정수 부분) = √2 − 1로 써요.
② 다항식 곱셈 미리 보기: 분배법칙으로 곱하면 가운데 루트 항이 사라져요.
(√a + √b)(√a − √b) = a − b 꼴이 됩니다.
이를 이용하면 1/(√2 − 1)도 분모·분자에 (√2 + 1)을 곱해 유리화해요.
자주 틀리는 곳
√a + √b ≠ √(a+b) 예요!
√4 + √9 = 2 + 3 = 5 이지만 √13 ≈ 3.6 으로 달라요.
더하기·빼기는 같은 √끼리만 묶어요: 2√3 + √3 = 3√3.
다음으로
제곱근은 피타고라스 정리와 이차방정식에서 곧바로 쓰여요.
유리수와 무리수를 합친 실수는 수직선을 빈틈없이 채웁니다.
이 성질은 고등학교 함수와 그래프의 튼튼한 밑바탕이 돼요.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 루트의 곱셈은 넓이 합치기, 덧셈은 블록 묶기
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 왜 √2×√3=√6 인데 √2+√3≠√5 인지 직사각형 넓이와 블록 묶기로 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 분모의 유리화는 위아래 같은 뿌리를 곱해 ‘1’을 만드는 것
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 왜 분모·분자에 똑같은 √를 곱하는지 ‘1을 곱하는 비율 셈법’으로 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✨ [영재·경시 탐구 코너] "수학책에서 사라진 이중근호?" — 공식을 부수는 정사각형 분신술!
▶ [선택 탐구 안내: 정규 교육과정 밖 내용입니다] 루트 속의 루트(이중근호)는 중·고교 정규 교육과정에서 제외된 내용으로 시험에 출제되지 않아요. 방금 배운 ‘루트 = 정사각형의 한 변’ 개념으로 풀리는 신기한 도형 퍼즐이니, 관심 있는 친구만 가벼운 마음으로 즐겨 보세요! (출처: 깨봉수학 「공식 없이 푸는 이중근호」)
재생 버튼을 누르면 수학 비법 강의가 시작됩니다!
스스로 풀어요 (3단계)
완전제곱수의 제곱근, (√a)² 부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: √를 ‘넓이의 한 변’으로 그림화해 직관을 잡았어요. ‘더 간결하게’: 계산은 ‘제곱인수는 밖으로, 같은 √끼리만 더하기’로 통일했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 제곱근의 계산·간단히·유리화가 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 제곱근의 연산과 실수 성질까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.
1소수 제곱근
√0.04 의 값은?
답: 0.2
0.2² = 0.04 → √0.04 = 0.2
0.2² = 0.04 → √0.04 = 0.2
2자연수 만들기
n이 자연수일 때 √(12n)이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 n은?
답: 3
12 = 2²×3. 3이 부족하므로 n = 3 → √36 = 6
12 = 2²×3. 3이 부족하므로 n = 3 → √36 = 6
3정수 부분
√15는 자연수 a와 a+1 사이에 있습니다. a는?
답: 3
3² = 9 < 15 < 16 = 4² → 3 < √15 < 4 → a = 3
3² = 9 < 15 < 16 = 4² → 3 < √15 < 4 → a = 3
4곱셈 공식
(√5 + √3)(√5 − √3) 의 값은?
답: 2
분배법칙으로 하나씩 곱하면 (√5)² − √15 + √15 − (√3)² = 5 − 3 = 2 (다음 단원의 합차 공식 미리 보기)
분배법칙으로 하나씩 곱하면 (√5)² − √15 + √15 − (√3)² = 5 − 3 = 2 (다음 단원의 합차 공식 미리 보기)
5소수 부분
√2의 소수 부분을 구하면? (√2 ≈ 1.414)
답: √2 − 1
정수 부분이 1이므로 소수 부분 = √2 − 1
정수 부분이 1이므로 소수 부분 = √2 − 1
6사이 자연수
√8 과 √50 사이에 있는 자연수는 모두 몇 개인가요?
답: 5개
√8 ≈ 2.83, √50 ≈ 7.07 → 3, 4, 5, 6, 7 → 5개
√8 ≈ 2.83, √50 ≈ 7.07 → 3, 4, 5, 6, 7 → 5개
7x+1/x
x = 2 + √3 일 때, x + 1/x 의 값은?
답: 4
(2+√3)(2−√3) = 4 − 3 = 1이므로 1/x = 2 − √3 → x + 1/x = (2+√3)+(2−√3) = 4
(2+√3)(2−√3) = 4 − 3 = 1이므로 1/x = 2 − √3 → x + 1/x = (2+√3)+(2−√3) = 4
8절댓값
n = −5 일 때, √(n²) 의 값은?
답: 5
√(n²) = |n| = |−5| = 5
√(n²) = |n| = |−5| = 5
9정사각형 변
넓이가 50인 정사각형의 한 변의 길이는?
답: 5√2
한 변² = 50 → 한 변 = √50 = 5√2
한 변² = 50 → 한 변 = √50 = 5√2
10근사값
√2 ≈ 1.414 일 때, √8 의 값은 약 얼마인가요?
답: 약 2.828
√8 = 2√2 ≈ 2 × 1.414 = 2.828
√8 = 2√2 ≈ 2 × 1.414 = 2.828
11사이 정수
1과 √10 사이에 있는 정수는 모두 몇 개인가요?
답: 2개
√10 ≈ 3.16 → 2, 3 → 2개
√10 ≈ 3.16 → 2, 3 → 2개
객관식 진단 퀴즈 — 제곱근과실수
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — √a 의 값
안의 수 a 2
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1제곱근 = 제곱해서 a가 되는 수(±). √는 양의 쪽.
- 2√a = 넓이가 a인 정사각형의 한 변.
- 3√a×√b=√(ab), √12=2√3 (제곱인수 빼내기).
- 4무리수 + 유리수 = 실수(수직선을 채움).
이 단원의 말·기호
- 제곱근
- 제곱하면 a가 되는 수(9의 제곱근 ±3).
- 근호(√)
- 양의 제곱근을 나타내는 기호.
- 무리수
- 분수로 못 쓰는 수(√2, π).
- 유리화
- 분모의 근호를 없애 정수로 만들기.
내 말로 설명하기
√2가 왜 무리수인지(분수로 못 쓰는지) 느낌을 적어 봐요.
예시 — “√2는 1.41421356…으로 끝없이 가고 규칙도 없어서 어떤 분수로도 정확히 못 써. 그래서 무리수야.”
재미있는 수학 이야기 영상
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학
읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.