y가 x에 대한 이차식인 함수를 이차함수라고 해요.
식으로는 y = ax² + bx + c (단, a ≠ 0) 꼴로 써요.
그래프를 그리면 굽어진 포물선(U자 곡선)이 됩니다.
a가 0보다 크면 아래로 볼록하고, 0보다 작으면 위로 볼록해요.
절댓값 |a|가 커질수록 포물선의 폭은 점점 좁아져요.
기억해요 — 이차함수의 그래프 = 포물선. a>0이면 아래로 볼록, |a|가 클수록 폭이 좁음왜 이차함수를 배울까?
공을 던진 자취나 분수의 물줄기를 본 적 있나요?
이 둥근 곡선을 포물선이라고 불러요.
이차함수는 포물선의 가장 높은 점을 콕 짚어 줍니다.
‘언제 가장 높이 오를까?’를 한눈에 알아낼 수 있어요.
🔎 「포물선」이 무슨 말이죠?
물건을 비스듬히 던졌을 때 허공에 그리는 길을 포물선이라고 해요.
던질 포(抛), 물건 물(物), 줄 선(線)을 써서 던진 물건의 선이라는 뜻이에요.
위로 둥글게 솟았다가 아래로 떨어지는 아름다운 대칭 곡선이랍니다.
🔎 「꼭짓점」이 왜 가장 중요한가요?
포물선이 방향을 틀어 꺾이는 단 하나의 중심점을 꼭짓점이라고 해요.
공이 도달하는 최고 높이나, 롤러코스터가 가장 깊게 내려간 바닥을 알려줘요.
꼭짓점의 위치만 알면 포물선의 전체 모습을 거의 다 그린 셈이에요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 이차함수 y=ax²+bx+c(a≠0)를 안다. ② 포물선의 모양과 폭을 안다. ③ 꼭짓점과 축을 구한다. ④ 평행이동과 절편을 이해한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지를 떠올려 봐요.
① 3² 과 (−3)² 은 각각 얼마일까요?
② 실수 x를 제곱한 x² 은 항상 얼마 이상일까요? (가장 작을 때는?)
① 9, 9 · ② 항상 0 이상 (x=0일 때 가장 작은 값 0). 이 성질 덕분에 (0,0)이 가장 낮은 U자 모양이 돼요.
🔎 그 전에 알아야 할 것 — 함수와 좌표평면
x 값이 하나 정해질 때마다 y 값이 오직 하나씩 정해지는 관계를 함수라고 해요.
중2 때 배운 일차함수 y = ax + b는 반듯한 직선 그래프였어요.
이제 x가 제곱된 이차식을 넣어 곡선 그래프를 만나는 새로운 여행을 떠나요.
이차함수 y = ax² — 포물선이 태어나요
🔎 「이차함수」가 무슨 말이죠?
우변의 식에서 x의 가장 높은 차수가 2차인 함수를 말해요.
예를 들어 y = 2x² 이나 y = x² − 3x + 1은 모두 이차함수예요.
하지만 x² 항의 계수 a가 0이면 이차항이 사라져 일차함수가 되므로 a ≠ 0 이어야 해요.
🔎 a의 부호에 따라 왜 볼록한 모양이 바뀌나요?
a가 양수이면 x²이 0 이상이므로 y값도 원점 (0, 0) 위쪽으로만 뻗어 올라가요.
그래서 가운데가 움푹 패인 웃는 얼굴 모양의 아래로 볼록이 돼요.
반대로 a가 음수이면 x²에 음수를 곱하므로 y값이 모두 아래쪽으로 떨어져 위로 볼록이 된답니다.
🔎 절댓값 |a|가 클수록 왜 폭이 좁아지나요?
a의 절댓값이 크면 x가 조금만 커져도 y값이 아주 가파르게 솟아올라요.
x = 1일 때 y = x²은 1층까지 오르지만, y = 3x²은 벌써 3층까지 치솟아요.
양 날개가 y축 쪽으로 바짝 붙어 서기 때문에 폭이 홀쭉하고 좁아지는 것이에요.
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — y = ax²의 대칭축
y = ax²의 그래프에 x = 1과 x = −1을 넣으면 y값이 똑같이 나와요.
x 자리에 양수를 넣든 음수를 넣든 제곱하면 같은 수가 되기 때문이에요.
그래서 포물선은 y축을 거울 삼아 좌우가 완벽히 포개어지는 좌우 대칭 도형이에요.
📺📺 영상으로 보기y = x² 포물선▶
📺 움직이는 개념 — y = x² 포물선
점을 찍어 포물선을 그려요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
꼭짓점과 축 — 포물선의 중심
포물선은 좌우가 완벽히 포개어지는 대칭 도형이에요.
가운데 접는 선을 대칭축(또는 축)이라고 해요.
포물선과 축이 만나는 기준점을 꼭짓점이라고 불러요.
y = a(x − p)² + q 꼴은 꼭짓점이 (p, q)로 한눈에 보여요.
y = ax²의 그래프를 x축으로 p, y축으로 q만큼 옮긴 모습이에요.
일반형 y = ax² + bx + c는 묶어서 꼭짓점을 찾아요.
이때 축의 방정식은 x = −b/2a가 됩니다.
기억해요 — y = a(x−p)²+q → 꼭짓점 (p, q), 축은 x = p (일반형의 축은 x = −b/2a)🔎 「대칭축」이 무슨 말이죠?
포물선을 정확히 반으로 접었을 때 양쪽 날개가 겹쳐지는 세로선이에요.
이 축은 언제나 꼭짓점을 관통하며 세로로 곧게 뻗어요.
꼭짓점의 x좌표가 p라면 대칭축의 방정식은 바로 x = p가 된답니다.
🔎 꼭짓점꼴 「y = a(x − p)² + q」는 왜 쓰나요?
일반형 y = ax² + bx + c만 보고는 꼭짓점이 어디인지 알기 어려워요.
식을 완전제곱식 모양으로 묶으면 꼭짓점 (p, q)가 식 속에 훤히 드러나요.
그래서 이 식을 보면 그래프를 좌표평면에 곧바로 정확히 그릴 수 있어요.
🔎 이 식이 왜 이렇게 되나요? — 평행이동 부호의 비밀
오른쪽으로 p만큼 갔는데 왜 식에는 x − p처럼 빼기가 들어갈까요?
이전의 x = 0 자리에 있던 꼭짓점이 이제 x = p 자리로 옮겨왔기 때문이에요.
괄호 안이 0이 되려면 x 자리에 p를 넣어야 하므로 (x − p)가 되는 것이에요.
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 일반형을 완전제곱식으로 바꾸기
예를 들어 y = x² − 6x + 5의 꼭짓점을 세 걸음으로 찾아볼게요.
첫째, 일차항 계수 −6의 절반인 −3을 구해요. 그 수를 제곱하면 9예요.
둘째, 식에 9를 더하고 다시 빼요: y = (x² − 6x + 9) − 9 + 5.
셋째, 완전제곱식으로 묶으면 y = (x − 3)² − 4가 되어 꼭짓점은 (3, −4)예요.
🔎 대칭축 공식 「x = −b/2a」는 어떻게 나왔나요?
일반형 y = ax² + bx + c에서 x²의 계수 a로 앞의 두 항을 묶어 완전제곱식을 만들어요.
식을 전개해 묶으면 y = a(x + b/2a)² + (상수) 꼴이 유도돼요.
괄호 안 x + b/2a = 0이 되는 지점이 축이므로 축의 공식 x = −b/2a가 나옵니다.
🔎 「좌동우이」가 무슨 뜻인가요?
이차함수 계수 a와 b의 부호를 축의 위치만 보고 바로 알아맞히는 비법이에요.
축이 y축의 왼쪽에 있으면 a와 b의 부호가 같아서 좌동(左同)이에요.
축이 y축의 오른쪽에 있으면 a와 b의 부호가 다르므로 우이(右異)라고 불러요.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 평행이동은 꼭짓점이 새 집으로 이사 가는 것
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 기준 포물선 y=x²의 꼭짓점이 오른쪽·위로 이사해 y=(x−2)²+3이 되는 과정을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 대칭축이 왼쪽이면 같은 부호 좌동(左同), 오른쪽이면 다른 부호 우이(右異)
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 대칭축의 위치만 보고 a·b의 부호를 ‘왼쪽=같다(좌동, 左同)·오른쪽=다르다(우이, 右異)’로 읽는 법을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 이차함수는 꼭짓점과 y절편 두 점으로 3초 스케치
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, y=x²−4x+3을 꼭짓점 (2,−1)과 y절편 (0,3) 두 징검다리만 찍어 좌우 대칭으로 그리는 과정을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
①y = ax²
꼭짓점 원점 (0,0). |a|가 클수록 폭이 좁은 U.
②꼭짓점꼴
y = a(x−p)²+q → 꼭짓점 (p, q).
③평행이동
p는 좌우(오른쪽 +), q는 위아래(위 +).
④절편
y절편은 c. x절편은 y=0일 때의 x값(2개·1개·0개).
🔎 「x절편」과 「y절편」은 어떻게 찾나요?
그래프가 좌표축과 만나는 자리를 절편이라고 해요.
y축과 만나는 y절편은 x = 0을 대입하면 바로 상수항 c가 돼요.
x축과 만나는 x절편은 y = 0을 대입해 이차방정식 ax² + bx + c = 0을 풀어서 구해요.
🔎 그 전에 알아야 할 것 — 이차방정식과 x절편의 관계
포물선이 x축과 만나는 교점의 개수는 이차방정식의 해의 개수와 같아요.
서로 다른 두 점에서 만나면 실근 2개, 접하면 중근 1개, 만나지 않으면 근이 없어요.
앞 단원에서 열심히 연습한 인수분해와 근의 공식이 여기서 그대로 활약한답니다.
왜 U자 모양일까
x가 양수든 음수든 x²은 항상 0 이상이에요.
원점에서 가장 낮고 양옆으로 갈수록 높아집니다.
x와 −x의 y값이 같아 좌우 대칭 U자가 돼요.
일반형 y = ax² + bx + c 의 꼭짓점 구하기 (완전제곱식 vs 대칭축 공식)
예를 들어 y = x² − 4x + 3의 꼭짓점을 구해 볼까요?① 완전제곱식으로 묶기: 일차항 계수 −4의 절반의 제곱인 4를 더하고 빼요.
y = (x² − 4x + 4) − 4 + 3 = (x − 2)² − 1이 돼요.
따라서 꼭짓점은 (2, −1)이고 축은 x = 2예요.
② 대칭축 공식 쓰기: 축 x = −b/2a = 2를 먼저 구해요.
식에 x = 2를 대입하면 y = 4 − 8 + 3 = −1이 나와요.
이를 통해 꼭짓점 (2, −1)을 곧바로 얻을 수 있어요.
괄호 안 부호 반대로 읽기 & 음수일 때 폭 비교 주의!
① 꼭짓점 x좌표 부호: y = (x − 2)² + 3의 꼭짓점은 (−2, 3)이 아니에요!
괄호 안을 0으로 만드는 값(x = 2)이 꼭짓점의 x좌표예요.
따라서 바른 꼭짓점은 (2, 3)이에요.
② 포물선의 폭: a가 클수록이 아니라 절댓값 |a|가 클수록 폭이 좁아요.
y = −5x²과 y = −x²을 견주어 봐요.
|−5| > |−1|이므로 y = −5x²의 폭이 훨씬 좁답니다.
다음으로
아래로 볼록일 때는 꼭짓점이 가장 낮아요.
위로 볼록일 때는 꼭짓점이 가장 높습니다.
고등학교에서는 꼭짓점으로 최댓값·최솟값을 구해요.
자주 틀리는 것 세 가지
① 꼭짓점 x좌표 부호 반대로 쓰기
틀린 보기: y = (x − 2)² + 3의 꼭짓점을 (−2, 3)으로 잘못 씀.
왜 틀렸나: 괄호 안의 부호 −2를 그대로 꼭짓점 x좌표로 착각하기 쉬워요.
바른 것: 괄호 안을 0으로 만드는 값(x − 2 = 0 → x = 2)이 꼭짓점 x좌표예요. 따라서 꼭짓점은 (2, 3)이에요.
② 음수 계수의 포물선 폭 비교
틀린 보기: y = −5x²과 y = −x²에서 −5 < −1이므로 y = −5x²의 폭이 더 넓다고 생각함.
왜 틀렸나: 음수의 수직선 대소 관계(−5 < −1)와 그래프 폭의 관계를 혼동했어요.
바른 것: 포물선 폭은 계수 a의 크기가 아니라 절댓값 |a|로 비교해요. |−5| = 5 > 1이므로 y = −5x²의 폭이 훨씬 좁아요.
③ 평행이동 식 쓸 때 x 대신 (x + p) 대입하는 실수
틀린 보기: y = x²을 x축 방향으로 3만큼 평행이동한 식을 y = (x + 3)²으로 씀.
왜 틀렸나: 오른쪽 양의 방향(+3)으로 이동하니까 식에도 3을 더해야 한다고 착각해요.
바른 것: x축 방향으로 +3 이동은 x 대신 (x − 3)을 대입해야 해요. 바른 식은 y = (x − 3)²이에요.
스스로 풀어요 (3단계)
함숫값, y=ax²의 꼭짓점·모양부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 포물선을 ‘꼭짓점 + 벌어짐(a)’ 두 가지로만 보게 했어요. ‘더 간결하게’: 꼭짓점꼴 y=a(x−p)²+q 에서 (p, q)를 즉시 읽게 했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 함숫값·꼭짓점·축 읽기가 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 이차함수의 성질과 그래프까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.
1x절편 거리
y = x² − 2x − 3 의 그래프에서 두 x절편 사이의 거리는?
답: 4
x절편 3, −1 → 거리 3−(−1) = 4
x절편 3, −1 → 거리 3−(−1) = 4
2계수 추론
이차함수 y = ax² 의 그래프가 점 (2, 12)를 지날 때 a는?
답: 3
12 = a×4 → a = 3
12 = a×4 → a = 3
3y절편
y = x² − 6x + 8 의 y절편은?
답: 8
x=0 대입 → y = 8
x=0 대입 → y = 8
4최솟값
y = (x − 3)² − 4 의 그래프에서 가장 낮은 점(꼭짓점)의 y좌표는?
답: −4
꼭짓점의 y좌표 = −4 (아래로 볼록의 최솟값)
꼭짓점의 y좌표 = −4 (아래로 볼록의 최솟값)
5최댓값
y = −(x + 1)² + 5 의 그래프에서 가장 높은 점(꼭짓점)의 y좌표는?
답: 5
위로 볼록 → 꼭짓점의 y좌표 5가 최댓값
위로 볼록 → 꼭짓점의 y좌표 5가 최댓값
6x절편으로 식
두 점 (1, 0), (5, 0)을 x절편으로 갖고 x²의 계수가 1인 이차함수는?
답: y = x² − 6x + 5
y=(x−1)(x−5) = x²−6x+5
y=(x−1)(x−5) = x²−6x+5
7최솟값 조건
y = x² − 4x + k 의 그래프의 꼭짓점의 y좌표가 −1일 때 k는?
답: 3
꼭짓점 (2, k−4) → k−4 = −1 → k = 3
꼭짓점 (2, k−4) → k−4 = −1 → k = 3
8볼록 방향
y = ax² + bx + c 의 그래프가 위로 볼록하려면 a의 부호는?
답: 음수
a < 0이면 위로 볼록
a < 0이면 위로 볼록
9x절편 거리
y = x² − 2x − 8 의 그래프가 x축과 만나는 두 점 사이의 거리는?
답: 6
x절편 4, −2 → 거리 6
x절편 4, −2 → 거리 6
10직선과 교점
y = x² 의 그래프와 직선 y = x 가 만나는 점 중 원점이 아닌 점의 좌표는?
답: (1, 1)
x² = x → x²−x=0 → x=0 또는 1 → (1, 1)
x² = x → x²−x=0 → x=0 또는 1 → (1, 1)
11꼭짓점 조건
y = x² + ax + b 의 꼭짓점이 (2, −3)일 때 a + b 의 값은?
답: −3
축 x=−a/2=2 → a=−4. 꼭짓점 y = b − a²/4 = b − 4 = −3 → b = 1. a+b = −3
축 x=−a/2=2 → a=−4. 꼭짓점 y = b − a²/4 = b − 4 = −3 → b = 1. a+b = −3
객관식 진단 퀴즈 — 이차함수와그래프
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — y = x²
x 3
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1y = ax²+bx+c (a≠0): 그래프는 포물선(U자).
- 2a>0 아래로 볼록, a<0 위로 볼록. |a|가 클수록 폭이 좁아진다.
- 3y = a(x−p)²+q → 꼭짓점 (p, q), 축 x=p.
- 4x절편 = y=0일 때의 x값(2개·1개·0개). y절편 = c.
이 단원의 말·기호
- 이차함수
- y=ax²+bx+c (a≠0).
- 포물선
- 이차함수의 그래프(U자 곡선).
- 꼭짓점
- 포물선이 꺾이는 점(최저·최고).
- 축
- 포물선을 좌우로 나누는 대칭선.
내 말로 설명하기
포물선이 왜 좌우 대칭 U자인지 한 줄로?
예시 — “y=x²은 x가 +든 −든 제곱하면 0 이상이라 원점에서 가장 낮아. x와 −x의 y가 같아서 좌우 대칭 U자가 돼.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학
읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.