이차방정식

두 수를 곱해서 0이 나오려면 적어도 하나는 반드시 0이어야 해요.

이 성질 덕분에 2차 식을 1차 식 두 개의 문제로 쪼갤 수 있습니다.

이것이 바로 인수분해를 이용해 방정식을 푸는 근본적인 원리예요.

중복된 근, 즉 두 개의 해가 똑같은 값으로 겹쳐진 것을 중근이라고 해요.

(x − 3)² = 0 처럼 좌변이 완전제곱식이 될 때 생깁니다.

답을 적을 때는 반드시 뒤에 괄호로 ‘(중근)’이라고 밝혀 적어야 해요.

① 모든 항을 좌변으로 모아 ax² + bx + c = 0 꼴로 정리해요.

② 좌변을 (x − p)(x − q) = 0 꼴로 인수분해해요.

③ x − p = 0 또는 x − q = 0 에서 x = p 또는 x = q 를 구해요.

가장 먼저 인수분해가 되는지 3초 동안 살펴요.

인수분해가 안 되면 x 계수가 짝수인지 보고 완전제곱식을 떠올려요.

계수가 복잡하거나 막힐 때는 만능 열쇠인 근의 공식을 쓰면 끝납니다.

① 상수항을 우변으로 넘겨요.

② 양변에 (x 계수의 절반)²을 더해 좌변을 완전제곱식으로 만들어요.

③ 제곱근을 씌워 ±를 붙이고 x를 계산합니다.

일반적인 이차방정식 ax² + bx + c = 0 에 완전제곱식 풀이를 그대로 적용해요.

양변을 a로 나누고 문자로 끝까지 계산을 밀어붙이면 공식이 탄생합니다.

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) 라는 만능 공식이 바로 그렇게 완성돼요.

루트 기호 안의 수(b² − 4ac)를 판별식이라고 불러요.

양수이면 ±로 2개의 다른 근이 나오고, 0이면 ±0이 되어 1개의 중근이 돼요.

음수이면 중학교 범위에서는 제곱해서 음수가 되는 수가 없어 해가 없습니다.

일차항 계수 b가 짝수(b = 2b')일 때 쓰는 빠른 공식이에요.

x = (−b' ± √(b'² − ac)) / a 로 계산하면 약분을 생략할 수 있어요.

숫자가 훨씬 작아져서 계산 실수를 크게 줄여 줍니다.

두 근이 p, q이면 식은 (x − p)(x − q) = x² − (p+q)x + pq = 0 이에요.

이차항 계수가 1일 때 x의 계수는 −(두 근의 합)이 됩니다.

상수항은 (두 근의 곱)이 되므로 근을 직접 구하지 않고도 합과 곱을 알 수 있어요.

방정식 x² = 5x 에서 양변을 x로 함부로 나누면 안 돼요.

수학에서는 0으로 나누는 것이 엄격히 금지되어 있습니다.

만약 x = 0 이라면 0으로 나눈 셈이 되어 해 x = 0을 영영 잃어버려요.

따라서 모든 항을 좌변으로 넘겨 x(x − 5) = 0 으로 묶어서 풀어야 안전합니다.

① 구하려는 값을 미지수 x로 정해요.

② 문제의 조건에 맞추어 x에 대한 이차방정식을 세웁니다.

③ 인수분해나 근의 공식으로 이차방정식의 해를 구해요.

④ 구한 해가 길이·나이·자연수 등 현실 조건에 맞는지 반드시 확인합니다.

연속하는 두 자연수는 차이가 1이므로 x, x + 1 로 놓아요.

연속하는 두 짝수나 두 홀수는 차이가 2이므로 x, x + 2 로 둡니다.

이렇게 두고 문제에 적힌 곱이나 제곱의 합 식을 세우면 쉽게 풀려요.

도형의 길이나 너비, 사람 수, 나이 등은 음수가 될 수 없어요.

방정식을 풀어 음수 해가 나왔다면 문제의 뜻에 맞지 않아 버립니다.

길이는 0보다 커야 하고, 화단의 폭은 전체 폭보다 작아야 함을 늘 살펴요.