다항식의 곱셈과 인수분해

곱으로 묶인 식의 괄호를 풀어 하나의 다항식으로 나타내는 것을 전개라고 해요.

곱셈으로 연결된 각각의 식이나 수를 인수라고 부릅니다.

전개와 인수분해는 서로 정반대 방향의 과정이에요.

(a+b)²은 (a+b)를 두 번 곱한 식이에요.

분배법칙으로 펼치면 a² + ab + ba + b²이 됩니다.

여기서 ab와 ba는 같으므로 둘을 합쳐 2ab가 돼요.

(a+b)(a−b)를 직접 곱해 펼쳐 봐요.

a² − ab + ba − b²으로 항이 네 개 나와요.

가운데 −ab와 +ba는 부호만 반대라서 서로 지워져 0이 됩니다.

(x+a)(x+b) = x² + bx + ax + ab 예요.

가운데 bx와 ax를 x로 묶으면 (a+b)x가 됩니다.

그래서 일차항 계수는 두 수의 합, 끝 항은 두 수의 곱이 돼요.

괄호 앞의 수를 괄호 안의 모든 항에 골고루 곱하는 것을 분배법칙이라고 해요.

m(a+b) = ma + mb 처럼 모든 항에 하나씩 곱해 줍니다.

곱셈공식은 이 분배법칙을 자주 쓰는 모양으로 정리한 공식이에요.

다항식의 모든 항에 공통으로 들어 있는 인수를 공통인수라고 해요.

예를 들어 ma + mb 에서는 m이 공통인수예요.

공통인수로 묶는 것이 모든 인수분해의 가장 첫 번째 단계입니다.

① 각 항 계수들의 최대공약수를 찾아요.

② 공통인 문자는 차수가 가장 낮은 것을 골라요.

③ 공통인수를 괄호 밖에 쓰고 남은 부분을 괄호 안에 채워요.

항이 딱 두 개이고 두 항 사이에 마이너스(−)가 있을 때 써요.

두 항이 모두 무언가의 제곱 꼴이어야 합니다.

예를 들어 4x² − 9는 (2x)² − 3²이므로 (2x+3)(2x−3)으로 묶여요.

x² + bx + c 에서 x² 계수가 1일 때 기준이에요.

가운데 x 계수 b의 절반을 제곱한 값이 상수항 c와 같아야 해요.

즉 c = (b/2)² 이면 (x + b/2)² 으로 완전히 묶입니다.

① x² 항을 세로로 두 개로 쪼개어 적어요.

② 상수항도 세로로 두 수의 곱으로 쪼개어 적어요.

③ 대각선으로 곱해 더한 값이 가운데 일차항과 맞는지 확인해요.

합이 되는 정수 쌍은 무수히 많지만, 곱이 되는 정수 쌍은 몇 개 안 돼요.

상수항의 약수 짝을 먼저 적어 놓고 시작하세요.

그 후보 중에서 더해서 x 계수가 되는 짝을 고르면 훨씬 빨라요.