y가 x에 대한 일차식인 함수를 일차함수라고 해요.
기본 꼴은 y = ax + b (a ≠ 0) 형태입니다.
정비례 y = ax 직선을 y축 방향으로 b만큼 평행이동한 직선이에요.
왜 일차함수를 배울까?
요금제나 속력처럼 일정한 비율로 변하는 관계를 일차함수라 해요.
기울기는 변화의 빠르기이고, y절편은 출발하는 값이에요.
그래프 한 장으로 미래를 예측하는 힘을 기를 수 있답니다.
🔎 「함수」가 무슨 말이죠?
x의 값이 정해짐에 따라 y의 값이 오직 하나씩 정해지는 관계를 함수라고 해요.
자판기에서 버튼(x)을 누르면 음료수(y)가 하나씩 나오는 것과 같아요.
x 하나에 y가 2개 나오거나 아예 안 나오면 함수가 아니랍니다.
🔎 생활 속 어디에 일차함수가 쓰이나요?
택시 요금은 기본요금에서 시작해 달린 거리만큼 일정하게 늘어나요.
기온 변화나 일정하게 달리는 기차의 위치도 모두 일차함수예요.
규칙적인 변화를 한눈에 보고 앞날을 예측할 때 가장 유용합니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 일차함수 y=ax+b를 이해한다. ② 기울기와 y절편을 안다. ③ 그래프를 그리고 x절편·y절편을 구한다. ④ 조건으로 일차함수의 식을 세운다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 정비례 y = 2x 는 어떤 점을 지나나요?
② 점 (0, 3)은 x축·y축 중 어디 위에 있나요?
① 원점 (0,0) · ② y축. 정비례에 ‘출발 높이(b)’를 더한 게 일차함수예요.
🔎 그 전에 알아야 할 정비례와 좌표
정비례 y = ax 는 언제나 원점 (0, 0)을 지나는 곧은 직선이에요.
일차함수 y = ax + b 는 이 직선을 위아래로 평행이동한 모양입니다.
y절편 b는 x가 0일 때 y축과 만나는 출발 높이를 뜻해요.
일차함수 y = ax + b — 정비례에 한 칸 보태기
x의 계수 a는 직선의 가파른 정도인 기울기예요.
상수항 b는 y축과 만나는 출발점인 y절편입니다.
기억해요 — a = 기울기 = (y 증가량)÷(x 증가량), b = y절편(x=0일 때 출발 높이)🔎 「일차함수」인 것과 아닌 것을 어떻게 구별하나요?
y = ax + b 에서 x의 차수가 1차여야 일차함수예요.
y = 2x + 1 은 x가 1차이므로 일차함수가 맞아요.
하지만 x가 분모에 있는 y = 2/x 나, 2차인 y = x² 은 일차함수가 아닙니다.
🔎 「평행이동」이 무슨 뜻인가요?
도형의 모양과 크기를 바꾸지 않고 일정한 방향으로 옮기는 것을 말해요.
y = 2x + 3 은 y = 2x 그래프의 모든 점을 위로 3칸씩 들어 올린 거예요.
기울기는 그대로 유지되므로 두 직선은 서로 나란히 평행합니다.
🔎 「기울기」는 왜 (y 증가량) ÷ (x 증가량)인가요?
계단의 가파른 정도를 잴 때 가로 발판과 세로 높이를 비교하지요.
수학에서도 오른쪽으로 간 거리 분의 위로 올라간 높이로 경사를 재요.
기울기가 양수면 오른쪽 위로 올라가고, 음수면 오른쪽 아래로 내려갑니다.
기억 그림 · 기울기 = 계단의 경사 (두 점으로 기울기 구하기)
오른쪽으로 1칸 갈 때 위로 몇 칸 오르나 — 그게 기울기 a예요. 두 점 (x₁, y₁)과 (x₂, y₂)를 지날 때는 기울기 a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)으로 구해요. 예를 들어 두 점 (1, 2)와 (4, 11)을 지나면 x가 3 커질 때 y가 9 커지므로 기울기는 (11−2)/(4−1) = 9/3 = 3이에요!
📺📺 영상으로 보기y = 2x + 1 그리기▶
📺 움직이는 개념 — y = 2x + 1 그리기
y절편에서 출발해 기울기로 한 점을 찍어요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 기울기는 ‘절편 직각삼각형’의 세로÷가로예요
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 두 절편으로 직각삼각형을 그려 기울기를 ‘세로 나누기 가로’ 비율로 보여줍니다.
🔎 x절편과 y절편은 어떻게 구하나요?
x절편은 직선이 x축과 만나는 점의 x좌표예요. y에 0을 대입해서 구합니다.
y절편은 직선이 y축과 만나는 점의 y좌표예요. x에 0을 대입해서 구합니다.
두 절편 (x절편, 0)과 (0, y절편)만 찍어 곧게 이으면 그래프가 바로 완성돼요.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 평행이동은 그래프가 엘리베이터를 타는 것
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 기준선 y=2x가 위로 +3·아래로 −3 평행이동하는 걸 보여줍니다.
🔎 두 일차함수가 평행할 조건은 무엇인가요?
기울기가 같고 y절편이 다르면 두 직선은 평행해요.
기울기가 같다는 것은 가파른 정도와 방향이 완전히 같다는 뜻이에요.
아무리 길게 뻗어도 결코 만나지 않는 나란한 두 직선이 됩니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 평행 조건(기울기 쌍둥이)과 두 점으로 식 세우기
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 두 점의 계단 비율(가로 증가량 분의 세로 증가량)로 기울기를 구하고 평행한 직선의 식(y=2x+1, y=2x−2)을 세우는 법까지 보여줍니다.
🔎 두 점의 좌표로 일차함수 식은 어떻게 구하나요?
1단계: 두 점으로 기울기 a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)을 계산해요.
2단계: 구한 기울기 a를 y = ax + b 에 넣습니다.
3단계: 두 점 중 하나의 좌표를 대입해 y절편 b를 찾아 식을 완성해요.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
그래프 그리기와 식 세우기 — 절편·사분면·두 점 공식
직선은 서로 다른 두 점만 있으면 그릴 수 있어요.
가장 찾기 쉬운 두 점은 바로 x절편과 y절편이에요.
두 절편을 찾아 곧게 이으면 그래프가 완성됩니다.
기울기가 양수면 오른쪽 위로 올라가는 직선이에요.
기울기가 음수면 오른쪽 아래로 내려가는 직선이 됩니다.
y절편을 먼저 찍고 기울기 방향으로 그으면 쉬워요.
사분면 지나는 모양도 부호로 바로 알 수 있어요.
· a > 0, b > 0: 제1·2·3사분면 지남 (제4사분면 제외)
· a > 0, b < 0: 제1·3·4사분면 지남 (제2사분면 제외)
· a < 0, b > 0: 제1·2·4사분면 지남 (제3사분면 제외)
· a < 0, b < 0: 제2·3·4사분면 지남 (제1사분면 제외)
🔎 사분면을 지나는지 외우지 않고 찾는 방법은?
y절편의 위치를 y축 위에 먼저 점으로 찍어요.
기울기가 양수면 오른쪽 위로 직선을 긋습니다.
기울기가 음수면 오른쪽 아래로 그으면 바로 보여요.
② 평행·일치 조건과 일차함수의 식 세우기:
두 직선의 기울기가 같고 절편이 다르면 평행해요.
기울기와 y절편이 둘 다 같으면 완전히 일치합니다.
조건이 주어지면 식을 단계별로 세울 수 있어요.
· 기울기 a와 한 점을 알 때:
y = ax + b에 기울기 a를 먼저 대입해요.
지나는 점의 좌표를 넣어 y절편 b를 찾아냅니다.
· 서로 다른 두 점을 알 때:
먼저 두 점으로 기울기 a를 계산해요.
그다음 한 점의 좌표를 넣어 b를 완성합니다.
🔎 두 점 (1, 2)와 (4, 11)로 식 세우는 과정
x 증가량은 4 − 1 = 3이고 y 증가량은 11 − 2 = 9예요.
기울기 a는 9 ÷ 3 = 3이 됩니다.
y = 3x + b에 (1, 2)를 대입하면 2 = 3 + b예요.
따라서 b = −1이 되어 식은 y = 3x − 1입니다.
왜 b가 평행이동이고, 두 점만으로 식이 하나로 정해질까
같은 x에서 y = ax보다 항상 b만큼 더 높아요.
모든 점이 y축 방향으로 똑같이 이동합니다.
따라서 그래프 전체가 평행하게 움직여요.
두 점으로 기울기를 구할 때는 빼는 순서만 맞추면 돼요.
위아래 순서가 같으면 부호가 같아 결과가 같습니다.
절편 두 개를 알 때도 두 점 공식으로 바로 풀려요.
🔎 두 점 뺄셈 순서가 왜 중요한가요?
분모가 x₂ − x₁이면 분자도 y₂ − y₁이어야 해요.
분모는 2에서 1을 빼고 분자는 1에서 2를 빼면 부호가 반대로 나옵니다.
어느 점을 먼저 두든 순서만 통일하면 완벽해요.
다음으로 · 자주 나오는 심화 유형(세 점이 한 직선 위, 두 직선과 축의 넓이)
기울기는 변화의 빠르기를 뜻해요.
세 점이 한 직선 위에 있다면 기울기가 서로 같아요.
두 점씩 짝지어 구한 기울기가 같다고 두면 풀립니다.
두 직선과 축으로 둘러싸인 삼각형 넓이도 자주 나와요.
교점과 절편을 찾아 밑변과 높이를 구하면 됩니다.
다음 단원에서는 일차방정식과 함수의 만남을 배워요.
🔎 세 점이 한 직선 위에 있을 조건은 어떻게 쓰나요?
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 놓일 때가 있어요.
두 점 A, B로 구한 기울기를 먼저 구합니다.
두 점 B, C로 구한 기울기가 같다고 식을 세우면 돼요.
스스로 풀어요 (3단계)
함숫값 구하기, 기울기·y절편 읽기부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 일차함수를 ‘기울기 a · y절편 b’ 두 수로만 보게 했어요. ‘더 간결하게’: 그래프는 ‘두 점 찍어 잇기’ 하나로 통일했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 함숫값·기울기·절편·식 세우기가 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 사분면·삼각형 넓이·교점·평행과 일치·절댓값 그래프·정수해까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.
1사분면
일차함수 y = 2x − 4 의 그래프가 지나지 않는 사분면은?
답: 제2사분면
기울기 +, y절편 −. x절편 2. x<0이면 y<−4<0 → 제2사분면(x<0, y>0)은 지나지 않음
기울기 +, y절편 −. x절편 2. x<0이면 y<−4<0 → 제2사분면(x<0, y>0)은 지나지 않음
2삼각형 넓이
일차함수 y = ax + 6 (a>0)의 그래프가 x축, y축과 만들어지는 삼각형의 넓이가 9입니다. a는?
답: 2
x절편 −6/a, y절편 6. 넓이 = ½×(6/a)×6 = 18/a = 9 → a = 2
x절편 −6/a, y절편 6. 넓이 = ½×(6/a)×6 = 18/a = 9 → a = 2
3교점 활용
두 직선 y = 2x − 1 과 y = −x + 5 의 교점을 지나고 기울기가 1인 직선의 y절편은?
답: 1
교점: 2x−1=−x+5 → x=2, y=3. (2,3) 지나고 기울기1: 3=2+b → b=1
교점: 2x−1=−x+5 → x=2, y=3. (2,3) 지나고 기울기1: 3=2+b → b=1
4실생활 변화율
양초에 불을 붙이면 길이가 1분에 0.5cm씩 줄어듭니다. 처음 길이 20cm일 때, x분 후 길이 y의 관계식은?
답: y = −0.5x + 20
1분에 0.5cm 줄어듦 → 기울기 −0.5, 처음 길이 20 → y = −0.5x + 20
1분에 0.5cm 줄어듦 → 기울기 −0.5, 처음 길이 20 → y = −0.5x + 20
5절댓값 그래프
y = |x| − 2 의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 x좌표는? (단, |x|는 x ≥ 0일 때 x, x < 0일 때 −x이므로 두 일차함수의 직선으로 나누어 생각해요.)
답: +2 와 −2
x축과 만나는 점은 y = 0일 때예요. ① x ≥ 0일 때는 일차함수 y = x − 2에서 0 = x − 2 → x = +2, ② x < 0일 때는 일차함수 y = −x − 2에서 0 = −x − 2 → x = −2 (두 직선이 (0, −2)에서 V자로 만나는 그래프예요).
x축과 만나는 점은 y = 0일 때예요. ① x ≥ 0일 때는 일차함수 y = x − 2에서 0 = x − 2 → x = +2, ② x < 0일 때는 일차함수 y = −x − 2에서 0 = −x − 2 → x = −2 (두 직선이 (0, −2)에서 V자로 만나는 그래프예요).
6정수해
일차함수 y = −2x + 7 의 그래프 위의 점 중, x좌표와 y좌표가 모두 자연수인 점은 몇 개인가요?
답: 3개
x=1→y=5, x=2→y=3, x=3→y=1 (x=4면 y=−1로 자연수 아님) → 3개
x=1→y=5, x=2→y=3, x=3→y=1 (x=4면 y=−1로 자연수 아님) → 3개
7평행 조건
두 직선 y = (a−1)x + 3 과 y = 2x − 5 가 평행할 때 a는?
답: 3
평행 → 기울기 같음: a−1 = 2 → a = 3
평행 → 기울기 같음: a−1 = 2 → a = 3
8일치 조건
두 직선 y = 3x + b 와 y = ax − 2 가 완전히 겹칠(일치) 때, a + b 의 값은?
답: 1
일치 → 기울기·절편 모두 같음: a=3, b=−2 → a+b=1
일치 → 기울기·절편 모두 같음: a=3, b=−2 → a+b=1
9삼각형 넓이
일차함수 y = ½x + 2 의 그래프와 x축, y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는?
답: 4
x절편: 0=½x+2 → x=−4, y절편 2. 넓이 = ½×4×2 = 4
x절편: 0=½x+2 → x=−4, y절편 2. 넓이 = ½×4×2 = 4
10두 직선+넓이
두 직선 y = x, y = −x + 4, 그리고 x축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는?
답: 4
교점 (2,2). 두 직선의 x절편 (0,0)과 (4,0). 밑변 4, 높이 2 → 넓이 = ½×4×2 = 4
교점 (2,2). 두 직선의 x절편 (0,0)과 (4,0). 밑변 4, 높이 2 → 넓이 = ½×4×2 = 4
11부호 추론
일차함수 y = ax + b 의 그래프가 제1, 2, 4사분면을 지납니다. a, b의 부호는?
답: a < 0, b > 0
제3사분면을 지나지 않으려면 감소(a<0)하고 y절편이 양수(b>0)여야 해요
제3사분면을 지나지 않으려면 감소(a<0)하고 y절편이 양수(b>0)여야 해요
객관식 진단 퀴즈 — 일차함수와그래프
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — y = 2x + 1
x 3
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
일차함수와 그래프에서 자주 틀리는 세 가지
시험에서 가장 많이 헷갈리는 세 가지 실수와 바른 해법이에요. 꼭 확인하고 넘어가요.
① 기울기 공식에서 분모와 분자를 거꾸로 쓰는 실수 — 기울기는 (y 증가량) ÷ (x 증가량)이에요. 가끔 x를 분자에 올려 계산하는 실수를 하는데, 항상 ‘밑에는 가로(x), 위에는 세로(y)’로 기억해요.
② x절편과 y절편의 좌표 표현을 혼동하는 실수 — x절편이 3이면 점의 좌표는 (3, 0)이고, y절편이 −2면 좌표는 (0, −2)예요. 0의 자리가 서로 반대라는 점을 잊지 마세요.
③ 두 점으로 기울기 구할 때 뺄셈 순서를 뒤바꾸는 실수 — 분모에서 앞의 점에서 뒤의 점을 뺐다면, 분자도 반드시 같은 순서로 빼야 해요. 순서가 엇갈리면 기울기의 부호가 정반대로 나와요.
🔎 x절편을 가장 쉽게 구하는 요령은 무엇인가요?
식에서 y 자리에 숫자 0을 넣고 x에 대해 풀면 돼요.
예를 들어 y = 2x + 6이면 0 = 2x + 6이 됩니다.
2x = −6이므로 x = −3이 x절편이에요.
🔎 평행과 일치는 무엇으로 구분하나요?
두 직선의 기울기가 같으면 평행하거나 일치해요.
이때 y절편까지 완전히 같으면 한 직선인 일치예요.
y절편이 서로 다르면 만나지 않는 평행선이 됩니다.
한 장 핵심
- 1일차함수 y = ax + b (a ≠ 0): a는 기울기, b는 y절편(x=0일 때의 y값).
- 2기울기: a = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) (a>0이면 우상향, a<0이면 우하향).
- 3평행이동·평행·일치: y = ax를 y축 방향으로 b만큼 평행이동한 직선. 기울기가 같고 y절편이 다르면 평행, 둘 다 같으면 일치.
- 4절편·넓이·식 세우기: x절편(y=0일 때 x값)과 y절편으로 그린 직각삼각형 넓이 = ½ × |x절편| × |y절편|. 두 점을 알면 기울기 a를 먼저 구하고 한 점을 대입해 b를 찾는다.
이 단원의 말·기호
- 일차함수
- y = ax + b (a, b는 상수, a ≠ 0)처럼 y가 x에 대한 일차식인 함수.
- 평행이동
- 도형을 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 모양·기울기 변화 없이 옮기는 것.
- 기울기
- x의 값의 증가량에 대한 y의 값의 증가량의 비율 a = (y₂−y₁)/(x₂−x₁).
- y절편
- 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표 b (x=0일 때의 y값).
- x절편
- 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표 −b/a (y=0일 때의 x값).
내 말로 설명하기
기울기가 무엇인지 한 줄로 설명해 봐요.
예시 — “기울기는 계단의 경사야. y=2x+1은 오른쪽 1칸 갈 때 위로 2칸 올라가고, 출발 높이(y절편)는 1.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학
읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.