양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호 방향은 그대로예요.
양수를 곱하거나 나누어도 부등호 방향은 바뀌지 않아요.
하지만 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 반대로 뒤집혀요.
기억해요 — 음수로 곱하거나 나눌 때만 부등호가 ‘거울처럼’ 뒤집힌다왜 일차부등식을 배울까?
생활 속에는 딱 떨어지는 답보다 범위를 구해야 할 때가 많아요.
“예산 1만 원으로 최대 몇 개 살 수 있을까?”처럼 한계선을 찾는 일이지요.
어떤 조건을 만족하는 값의 범위를 구하는 공부가 바로 부등식이에요.
🔎 「부등식」이 무슨 뜻인가요?
수나 식의 크고 작음을 부등호(>, <, ≥, ≤)로 나타낸 식을 부등식이라고 해요.
방정식이 딱 맞는 값 하나를 찾는다면, 부등식은 조건에 맞는 값의 범위를 찾습니다.
🔎 부등식의 「해」는 무엇을 뜻하나요?
부등식에 어떤 수를 넣었을 때 식이 참이 되면 그 수를 해라고 해요.
예를 들어 x가 3보다 크다면 4, 5, 6 같은 수들이 모두 해가 돼요.
조건을 만족하는 모든 수를 모아 놓은 범위를 부등식의 해라고 부릅니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 부등식의 성질을 안다(음수 곱은 뒤집기). ② 일차부등식을 풀고 수직선에 나타낸다. ③ 범위로 해를 이해한다. ④ 부등식으로 생활 문제를 푼다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① 2x + 1 = 5 의 해는?
② 3 < 5 의 양변에 −1을 곱하면 부등호는 어떻게 될까요?
① x=2 · ② 뒤집혀 −3 > −5. 음수 곱·나눗셈에서 부등호 뒤집기 — 이것만 조심!
🔎 그 전에 알아야 할 일차방정식 푸는 법
일차방정식은 등호(=)를 사이에 두고 좌우의 균형을 맞춰요.
2x + 1 = 5 에서 1을 넘기면 2x = 4가 되고, 2로 나누면 x = 2예요.
부등식도 이와 똑같이 풀되, 음수로 나눌 때만 부등호를 뒤집어 줍니다.
부등식의 성질 — 한 가지만 조심
🔎 양변에 수를 더하거나 빼도 왜 부등호는 그대로인가요?
수직선 위의 두 점을 나란히 같은 방향으로 옮겨 보세요.
함께 움직이므로 오른쪽에 있던 점은 여전히 오른쪽에 있어요.
그래서 같은 수를 더하거나 빼도 대소 관계는 변하지 않습니다.
🔎 음수를 곱하면 왜 부등호가 뒤집히나요?
3보다 5가 더 오른쪽에 있어서 3 < 5 예요.
양변에 −1을 곱하면 −3과 −5가 됩니다.
수직선에서는 −3이 −5보다 오른쪽에 있으므로 −3 > −5 가 돼요.
원점을 중심으로 수직선이 180° 거울처럼 뒤집히기 때문이에요.
기억 그림 · 음수 곱 = 거울 뒤집기
3 < 5 의 양변에 −1을 곱하면 −3 > −5. 수직선에서 좌우가 뒤바뀌니 부등호도 뒤집혀요.
📺📺 영상으로 보기2x + 1 > 5 풀기▶
📺 움직이는 개념 — 2x + 1 > 5 풀기
부등식을 풀어 수직선에 나타내요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 음수를 곱하면 왜 부등호가 뒤집힐까?
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 수직선을 거울처럼 180° 뒤집어 부등호가 왜 반대로 도는지 보여줍니다.
🔎 음수로 나눌 때도 부등호가 뒤집히나요?
나눗셈은 역수를 곱하는 것과 완전히 같아요.
−2로 나누는 것은 -1/2을 곱하는 것과 같습니다.
음수를 곱하는 것이므로 나눌 때도 부등호 방향이 반대로 뒤집혀요.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 등호 있으면 색칠 동그라미(●), 없으면 빈 동그라미(○)
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 부등식의 해를 수직선에 ‘색칠 동그라미·빈 동그라미’로 어떻게 그리는지 보여줍니다.
🔎 수직선에 그릴 때 왜 ●와 ○를 구별하나요?
등호가 있는 '이상(≥)'이나 '이하(≤)'는 그 기준점도 해에 들어가요.
그래서 그 자리를 꽉 채운 색칠한 동그라미(●)로 나타냅니다.
등호가 없는 '초과(>)'나 '미만(<)'은 속이 빈 동그라미(○)로 구별해요.
🔎 화살표 방향은 어떻게 결정하나요?
x가 기준값보다 크면 수직선의 오른쪽으로 화살표를 그어요.
x가 기준값보다 작으면 수직선의 왼쪽으로 화살표를 뻗어 줍니다.
수직선은 오른쪽으로 갈수록 커지고 왼쪽으로 갈수록 작아지기 때문이에요.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 소수·분수 계수는 양변에 똑같이 곱해 자릿수를 밀어버리기
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 소수점을 한 칸 밀어 깔끔한 정수 부등식으로 바꾸고 수직선에 해를 보여줍니다.
🔎 계수에 소수나 분수가 있을 땐 어떻게 하나요?
소수가 있으면 양변에 10이나 100을 곱해 정수로 바꿔요.
분수가 있으면 분모의 최소공배수를 양변에 골고루 곱해 줍니다.
양수를 곱하는 것이므로 부등호 방향은 그대로 유지돼요.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
일차부등식의 풀이와 활용
x가 있는 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항해요.
이항할 때는 부등호 방향이 바뀌지 않아요.
마지막에 음수로 나눌 때만 부등호 방향을 뒤집습니다.
구한 해는 수 하나가 아니라 범위예요.
등호가 없으면 빈 동그라미(○), 있으면 색칠 동그라미(●)를 찍어요.
x가 크면 오른쪽, 작으면 왼쪽으로 화살표를 그립니다.
기억해요 — 부등식의 해는 ‘하나’가 아니라 ‘범위’. ○는 미포함, ●는 포함🔎 이항할 때 부등호 방향이 왜 안 바뀌나요?
이항은 양변에 같은 수를 더하거나 빼는 것과 같아요.
수직선 위의 점들을 같은 방향으로 나란히 옮기는 셈이지요.
순서가 바뀌지 않으므로 부등호 방향도 그대로 유지됩니다.
🔎 일차부등식을 푸는 4단계 순서
1단계: 괄호가 있으면 괄호를 먼저 풀어요.
2단계: x항은 좌변, 상수항은 우변으로 이항합니다.
3단계: ax < b 또는 ax > b 꼴로 간단히 정리해요.
4단계: 양변을 x의 계수 a로 나누어 해의 범위를 구합니다.
🔎 생활 속 활용 문제는 어떻게 식을 세우나요?
먼저 문제에서 구하려는 수량을 미지수 x로 정해요.
문제의 조건에 맞춰 식을 세우고 알맞은 부등호를 붙입니다.
부등식을 푼 뒤 문제 뜻에 맞는 자연수나 정수 해를 골라요.
🔎 한 걸음씩 다시 보기 — 음수로 나누기 대신 이항하기
−2x > 6 에서 부등호 뒤집기가 헷갈린다면 이항을 써 보세요.
−2x를 오른쪽으로, 6을 왼쪽으로 넘기면 −6 > 2x 가 됩니다.
양수 2로 나누면 −3 > x, 곧 x < −3 으로 똑같이 풀려요.
음수로 나누기 싫다면
−2x > 6 에서 음수로 나누기 싫다면 이항을 활용해요.
−2x를 우변으로, 6을 좌변으로 넘기면 −6 > 2x 가 됩니다.
양수 2로 나누면 −3 > x, 곧 x < −3으로 쉽게 풀려요.
생활 속 부등식의 활용과 심화 범위 읽기
① 활용 문제: 구하려는 값을 x로 놓고 부등식을 세워요.
1500원 공책 x권을 10000원 이하로 살 때 1500x ≤ 10000 이에요.
x ≤ 6.66… 이므로 가장 큰 자연수인 6권이 답이 됩니다.
② 심화 범위 읽기: 1 < x ≤ 5 는 두 조건을 동시에 만족하는 범위예요.
x가 1보다 크면서 동시에 5 이하인 수들을 뜻합니다.
절댓값 |x| < 3 은 원점과의 거리가 3 미만이므로 −3 < x < 3 이에요.
스스로 풀어요 (3단계)
한 번 이항으로 끝나는 부등식부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 부등식을 방정식과 똑같이 풀되 ‘음수 나눗셈만 뒤집기’ 하나만 더했어요. ‘더 간결하게’: 활용은 ‘구하는 것을 x로, 조건을 부등호로’ 한 흐름으로 했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 부등식이 나와요. 특히 음수로 나눌 때 부등호 뒤집기가 몸에 밸 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
해를 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 연립부등식·계수 조건(뒤집기)·절댓값·정수해 조건·평균·부호 추론까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.
1연립부등식
부등식 1 < x ≤ 5 를 만족하는 정수 x의 합은? (힌트: 1 < x ≤ 5는 ‘x가 1보다 크고 5 이하이다’라는 두 조건을 한 줄로 나타낸 범위예요.)
답: 14
정수 x = 2, 3, 4, 5 → 합 = 2+3+4+5 = 14
정수 x = 2, 3, 4, 5 → 합 = 2+3+4+5 = 14
2계수 조건(뒤집기)
부등식 −2x > a 의 해가 x < 4 일 때, a의 값은?
답: −8
−2x > a → 양변 ÷(−2), 뒤집힘 → x < −a/2. −a/2 = 4 → a = −8
−2x > a → 양변 ÷(−2), 뒤집힘 → x < −a/2. −a/2 = 4 → a = −8
3절댓값
|x| < 3 을 만족하는 정수 x는 모두 몇 개인가요? (힌트: 절댓값 |x|는 수직선에서 원점 0으로부터 떨어진 거리예요. 거리가 3보다 작으려면 −3 < x < 3이어야 해요.)
답: 5개
−3 < x < 3 인 정수: −2, −1, 0, 1, 2 → 5개
−3 < x < 3 인 정수: −2, −1, 0, 1, 2 → 5개
4정수해 조건
부등식 x < a 를 만족하는 자연수가 4개일 때, 자연수 a의 값은?
답: 5
자연수 1, 2, 3, 4가 해 → 4 < a ≤ 5 → 자연수 a = 5
자연수 1, 2, 3, 4가 해 → 4 < a ≤ 5 → 자연수 a = 5
5평균
네 번의 시험 평균이 85점 이상이 되려면 총점은 몇 점 이상이어야 하나요?
답: 340점
총점/4 ≥ 85 → 총점 ≥ 4×85 = 340
총점/4 ≥ 85 → 총점 ≥ 4×85 = 340
6정수 개수
부등식 −2 ≤ x < 3 을 만족하는 정수 x는 모두 몇 개인가요? (−2 이상이고 3 미만인 수의 범위)
답: 5개
정수 −2, −1, 0, 1, 2 → 5개
정수 −2, −1, 0, 1, 2 → 5개
7도형
둘레가 30cm 이하인 정삼각형의 한 변의 최댓값은?
답: 10cm
3x ≤ 30 → x ≤ 10
3x ≤ 30 → x ≤ 10
8부호
a < b 일 때, −2a 와 −2b 의 대소 관계는?
답: −2a > −2b
음수를 곱하면 부등호가 뒤집혀요. a −2b
음수를 곱하면 부등호가 뒤집혀요. a −2b
9활용 최적
한 번에 350kg까지 싣는 트럭에 70kg인 사람이 타고, 한 상자 40kg인 짐을 싣습니다. 최대 몇 상자?
답: 7상자
70 + 40x ≤ 350 → 40x ≤ 280 → x ≤ 7
70 + 40x ≤ 350 → 40x ≤ 280 → x ≤ 7
10정수 합
두 부등식 x > −2 와 x ≤ 3 을 동시에 만족하는 정수의 합은?
답: 5
−2보다 크면서 동시에 3 이하인 수(−2 < x ≤ 3) 중에서 정수는 −1, 0, 1, 2, 3 → 합 = (−1)+0+1+2+3 = 5
−2보다 크면서 동시에 3 이하인 수(−2 < x ≤ 3) 중에서 정수는 −1, 0, 1, 2, 3 → 합 = (−1)+0+1+2+3 = 5
11해 구하기
부등식 4 − 3x ≥ x − 4 의 해를 구하세요.
답: x ≤ 2
4+4 ≥ x+3x → 8 ≥ 4x → x ≤ 2
4+4 ≥ x+3x → 8 ≥ 4x → x ≤ 2
객관식 진단 퀴즈 — 일차부등식
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 2x + 1 의 값
x 2
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
일차부등식에서 자주 틀리는 세 가지
학생들이 시험에서 자주 실수하는 세 가지 함정과 바른 풀이예요. 이것만 조심하면 실수를 싹 줄일 수 있어요.
① 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향을 안 바꾸는 실수 — 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때는 부등호의 방향이 반대로 뒤집혀야 해요! 예를 들어 -2x < 6에서 양변을 -2로 나누면 x > -3이 됩니다.
② 부등식의 해를 점 하나로만 생각하는 실수 — 부등식의 해는 방정식처럼 특정 숫자 하나가 아니라 수직선 위의 넓은 범위예요. 경계값에 등호가 없으면 빈 동그라미(○), 등호가 있으면 색칠한 동그라미(●)로 꼼꼼히 표시해야 해요.
③ 소수나 분수가 있는 부등식에서 괄호 전체에 곱하지 않는 실수 — 양변에 10이나 분모의 최소공배수를 곱할 때는 모든 항에 빠짐없이 곱해야 해요. 특히 괄호 앞의 부호나 상수항을 빠뜨리지 않도록 주의해야 합니다.
🔎 부등식을 푼 뒤 검산은 어떻게 하나요?
구한 범위 안에 있는 쉬운 숫자(예: 0이나 1)를 원래 식에 넣어 보세요.
식이 참이 되면 방향을 바르게 구한 것이에요.
반대로 범위 밖의 수를 넣었을 때 거짓이 나오는지 확인하면 완벽합니다.
🔎 「부등식의 성질」을 한눈에 정리해 주세요
같은 수를 더하거나 뺄 때는 부등호가 그대로 유지돼요.
양수를 곱하거나 나눌 때도 부등호는 그대로입니다.
오직 음수를 곱하거나 나눌 때만 부등호가 거울처럼 반대로 돌아요.
한 장 핵심
- 1부등식 = 등식처럼 풀되 음수 곱·나눗셈만 부등호 뒤집기.
- 2해는 수 하나가 아니라 범위.
- 3수직선에 ○(미포함)·●(포함)로 표시.
- 4활용: 구하는 것을 x로, 조건을 부등호로.
이 단원의 말·기호
- 부등식
- >, <, ≥, ≤ 로 대소를 나타낸 식.
- 이상·이하
- ≥(이상)·≤(이하), 그 수 포함.
- 초과·미만
- >(초과)·<(미만), 그 수 미포함.
- 해
- 부등식을 참이 되게 하는 미지수 x의 값(부등식을 푼다는 것은 그 해의 범위를 모두 구하는 것).
내 말로 설명하기
음수를 곱하면 왜 부등호가 뒤집히는지 한 줄로?
예시 — “3<5인데 −1을 곱하면 −3과 −5가 돼. 수직선에서 −3이 −5보다 오른쪽(큼)이라 부등호가 뒤집혀 −3>−5.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.