왜 연립방정식을 배울까?
“어른과 어린이 합쳐 몇 명, 입장료 합계 얼마”처럼 모르는 것이 둘인 문제는 식도 둘 필요해요. 연립방정식은 두 조건을 동시에 만족하는 답을 찾아내는, 생활 문제 해결의 강력한 도구예요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 연립방정식의 뜻을 안다. ② 가감법으로 푼다. ③ 대입법으로 푼다. ④ 연립방정식으로 생활 문제를 해결한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지를 떠올려 봐요.
① x + y = 5 에서 x=2면 y는?
② x = 2y 를 다른 식에 넣을 수 있나요?
① 3 · ② 네(대입법). 한 글자를 다른 글자로 바꿔 넣는 게 핵심이에요.
미지수가 둘 — 두 식을 함께
“합이 5, 차가 1인 두 수”처럼 미지수가 두 개면 식도 두 개가 필요해요. 두 식을 동시에 만족하는 (x, y)를 찾는 게 연립방정식이에요. 그래프로는 두 직선의 교점이랍니다.
기억해요 — 미지수 2개 → 식 2개. 답은 두 식을 동시에 만족하는 (x, y) 한 쌍
📺📺 영상으로 보기가감법으로 풀기▶
📺 움직이는 개념 — 가감법으로 풀기
두 식을 더해 한 글자를 지워요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 이항은 마술이 아니라 ‘저울 수평 맞추기’
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 등호를 양팔 저울로 보고 양쪽에서 똑같이 빼고 나누어 방정식을 ‘눈으로’ 푸는 원리를 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 영감을 준 원작 영상: 깨봉라이브 「방정식 풀 때 무작정 이항하는 사람 이제 없죠?」 · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 직관만 빌려 우리가 코드 애니메이션 + 선생님 음성으로 새로 제작.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 소금물 섞기는 ‘가로 농도 × 세로 양’ 면적 맞추기
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 소금의 양을 가로(농도)×세로(양) 직사각형 면적으로 보고 두 면적을 더해 섞은 농도를 구하는 원리를 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 대입법은 ‘부품 교체 조립’이에요
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, y=2x−1 부품을 다른 식의 y 자리에 꽂아 넣어 x만의 식으로 조립하는 과정을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✨ 이 단원 활용팁 더보기 →
소금물 말고도 연립으로 푸는 활용 비법(기차·동전·따라잡기·비례 k)을 별도 페이지에 모았어요.
두 가지 길 — 가감법과 대입법
가감법은 두 식을 더하거나 빼서 한 미지수를 없애요(계수를 맞춘 뒤). 대입법은 한 식을 “y = …” 꼴로 만들어 다른 식에 대입해요. 둘 다 결국 미지수 하나짜리 방정식이 되고, 같은 답에서 만나요. 문제에 따라 편한 길을 골라요.
기억해요 — 가감법(더해서 지우기)·대입법(넣어서 줄이기), 산 정상은 하나
①가감법
계수를 맞춰 두 식을 더하거나 빼 한 글자 소거.
②대입법
y=…를 다른 식에 대입해 x만의 식으로.
③검산
구한 (x, y)를 두 식에 모두 넣어 확인.
④그래프
두 직선의 교점이 곧 연립방정식의 해.
부호·대입에서 자주 틀려요
식을 뺄 때는 모든 항의 부호를 바꿔야 해요. 대입할 때는 괄호로 묶어 넣어야 부호 실수가 없어요. 예: x = 2y + 1 을 대입하면 3(2y+1) 처럼 꼭 괄호로.활용의 비결
문장제는 “두 가지를 각각 x, y로” 두고 조건 두 개를 각각 식으로 만들면 돼요. 나이·금액·거리 문제의 단골 도구예요. 3학년 함수·도형 문제에서도 계속 쓰여요.스스로 풀어요 (3단계)
합·차로 바로 풀리는 기본 연립부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 가감법·대입법을 ‘미지수 하나를 없앤다’ 한 목표로 묶었어요. ‘더 간결하게’: 활용은 ‘두 가지를 x, y로’ 한 문장으로 시작하게 했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 연립방정식이 나와요. 가감법·대입법이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 해의 개수·계수 조건·세 미지수·농도·거리와 속력·정수해까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 전부 직접 검산했어요.
1해 없음
연립방정식 x+y=4, 2x+2y=10 의 해는 몇 개인가요?
답: 0개 (해 없음)
둘째 식은 x+y=5. x+y가 4이면서 동시에 5일 수 없으므로 해가 없어요
둘째 식은 x+y=5. x+y가 4이면서 동시에 5일 수 없으므로 해가 없어요
2해 무수히
연립방정식 x+y=3, 2x+2y=6 의 해는 몇 개인가요?
답: 무수히 많음
둘째 식은 첫째 식과 똑같아요(x+y=3). 두 직선이 겹쳐 해가 무수히 많아요
둘째 식은 첫째 식과 똑같아요(x+y=3). 두 직선이 겹쳐 해가 무수히 많아요
3계수 조건
연립방정식 x+ay=7, 2x+6y=14 의 해가 무수히 많을 때 a는?
답: 3
둘째 식 ÷2 → x+3y=7. 첫째 식과 같으려면 a=3
둘째 식 ÷2 → x+3y=7. 첫째 식과 같으려면 a=3
4특정해
연립방정식 x+y=10, x−y=k 의 해가 x=7일 때 k는?
답: 4
x=7이면 y=3. k = x−y = 7−3 = 4
x=7이면 y=3. k = x−y = 7−3 = 4
5합과 제곱차
두 수의 합은 14이고 제곱의 차는 28입니다. 두 수는?
답: 8과 6
x²−y²=(x+y)(x−y)=14(x−y)=28 → x−y=2. x+y=14와 연립 → x=8, y=6
x²−y²=(x+y)(x−y)=14(x−y)=28 → x−y=2. x+y=14와 연립 → x=8, y=6
6세 미지수
x+y=5, y+z=8, x+z=7 일 때 x+y+z 의 값은?
답: 10
세 식을 모두 더하면 2(x+y+z)=20 → x+y+z=10
세 식을 모두 더하면 2(x+y+z)=20 → x+y+z=10
7농도
8% 소금물과 12% 소금물을 섞어 10% 소금물 400g을 만들려고 합니다. 8% 소금물은 몇 g 넣어야 하나요?
답: 200g
x+y=400, 0.08x+0.12y=40 → 0.08x+0.12(400−x)=40 → x=200
x+y=400, 0.08x+0.12y=40 → 0.08x+0.12(400−x)=40 → x=200
8거리·속력
두 지점 사이를 갈 때는 시속 4km, 올 때는 시속 6km로 걸어 왕복에 5시간이 걸렸습니다. 두 지점 사이 거리는?
답: 12km
거리 d. d/4 + d/6 = 5 → 5d/12 = 5 → d=12
거리 d. d/4 + d/6 = 5 → 5d/12 = 5 → d=12
9정수해
x+y=6 을 만족하는, 음이 아닌 정수 (x, y)의 쌍은 모두 몇 개인가요?
답: 7쌍
(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0) → 7쌍
(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0) → 7쌍
10자릿수
두 자리 자연수의 십의 자리 숫자는 일의 자리 숫자의 2배입니다. 자리를 바꾸면 36 작아집니다. 원래 수는?
답: 84
십의 자리 2b, 일의 자리 b. 21b − 12b = 9b = 36 → b=4 → 원래 84
십의 자리 2b, 일의 자리 b. 21b − 12b = 9b = 36 → b=4 → 원래 84
11분수
어떤 분수가 있습니다. 분자와 분모의 합은 14이고, 분자에서 2를 빼면 분모와 같아집니다. 분자는?
답: 8
x+y=14, x−2=y → x−y=2 → x=8 (분모 y=6)
x+y=14, x−2=y → x−y=2 → x=8 (분모 y=6)
객관식 진단 퀴즈 — 연립일차방정식
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 합과 차로 큰 수 찾기
두 수의 합 12
두 수의 차 4
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1미지수 2개 → 식 2개. 답은 (x, y) 한 쌍.
- 2가감법 = 더하거나 빼서 한 글자 없애기.
- 3대입법 = y=…를 다른 식에 넣기.
- 4그래프로는 두 직선의 교점.
이 단원의 말·기호
- 연립방정식
- 두 식을 동시에 만족하는 해를 찾는 것.
- 가감법
- 두 식을 더하거나 빼 미지수 소거.
- 대입법
- 한 식을 다른 식에 대입해 소거.
- 미지수
- 아직 모르는 값(x, y).
내 말로 설명하기
가감법을 친구에게 한 줄로 설명한다면?
예시 — “x+y=5와 x−y=1을 더하면 y가 사라져 2x=6, x=3. 한 글자를 없애 한 글자짜리로 만드는 게 가감법.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.