문자가 곱해진 개수를 차수라고 해요.
문자와 차수가 같은 항을 동류항이라 불러요.
덧셈과 뺄셈은 동류항끼리 모아서 계산해요.
왜 다항식을 배울까?
과학과 경제의 많은 공식이 다항식으로 표현돼요.
다항식을 잘 다루면 방정식과 함수의 문이 열려요.
곱셈공식은 면적 그림 하나로 쉽게 기억돼요.
🔎 「다항식」이 무슨 말이죠?
숫자와 문자의 곱으로 이루어진 '항'이 여러 개 모인 식이에요.
항이 하나뿐이면 단항식, 2개 이상이면 다항식이라고 불러요.
예를 들어 2x + 3이나 x² − 4x + 5가 다항식이에요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 다항식의 덧셈·뺄셈·곱셈을 수행한다. ② 합차·완전제곱·세제곱 곱셈공식을 적용하고 전개한다. ③ 나머지정리·인수정리를 이용해 고차식(삼차 이상의 다항식)을 나누고 인수분해한다. ④ 다양한 인수분해 공식으로 다항식을 인수(약수 역할을 하는 식)의 곱으로 나타낸다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 준비 완료예요.
① 2x + 3x를 동류항 정리하면?
② (x+2)(x+3)을 전개해봐요.
① 5x · ② x²+5x+6. 분배법칙이 다항식 곱셈의 전부예요.
다항식의 연산 — 동류항과 분배법칙
🔎 「차수」와 「동류항」이 무슨 말이죠?
차수는 문자가 몇 번 곱해졌는지를 나타내요(x²은 2차, x³은 3차).
동류항은 문자도 같고 차수도 똑같은 '같은 무리의 항'이에요.
2x와 5x는 동류항이지만, 2x와 2x²은 차수가 달라 동류항이 아니에요.
곱셈은 분배법칙을 차례대로 적용해 전개해요.
전개한 뒤 동류항끼리 묶어 깔끔하게 정리해요.
기억해요 — 다항식 덧셈·뺄셈 = 동류항끼리 모으기 / 곱셈 = 분배법칙 반복🔎 다항식을 뺄 때 왜 괄호 안 부호가 다 바뀌나요?
다항식 앞에 붙은 마이너스(-)는 -1을 곱하는 것과 같아요.
분배법칙으로 괄호 속 모든 항에 -1이 곱해져요.
따라서 −(x² + 4x − 3) = −x² − 4x + 3처럼 모든 부호가 반대로 바뀌어요.
왜 동류항끼리만 더할 수 있을까
분배법칙 ax + bx = (a+b)x 덕분이에요. 문자와 차수가 같아야 공통 묶음으로 묶어 앞의 계수끼리 더할 수 있거든요. 반면 한 변이 x인 정사각형 넓이(x²)와 선분 길이(x)는 단위가 달라 한 항으로 합칠 수 없어요.계수가 0이 되는 항 놓치기
3x + (−3x) = 0처럼 계수가 0이 된 항은 식에 적지 않아요. 또 다항식을 뺄 때는 −(x² + 4x − 3) = −x² − 4x + 3처럼 괄호 안 모든 항의 부호를 바꿔야 해요.✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 차수별 ‘주차 정렬’로 다항식 더하기
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 다항식 계산을 ‘차수별 주차장에 계수만 정렬해 세로셈’으로 끝내는 비법을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
곱셈공식 — 자주 쓰는 다섯 가지 패턴
곱셈공식은 정사각형 넓이로 이해하면 쉬워요.
한 변이 a+b인 사각형 넓이는 (a+b)²이에요.
네 조각으로 나누면 a² + 2ab + b²이 돼요.
🔎 「곱셈공식」을 왜 배우나요?
매번 일일이 괄호를 전개하면 계산 시간이 오래 걸려요.
자주 나오는 형태의 전개 결과를 공식처럼 기억해 두면,
복잡한 식도 한 줄 만에 빠르고 정확하게 풀 수 있어요.
🔎 완전제곱식 전개에서 왜 2ab 가 생기나요?
큰 정사각형을 가로세로로 자르면 4조각이 생겨요.
정사각형 2개(a², b²)와 가로세로가 ab인 직사각형이 2개이므로 합쳐서 2ab가 되는 거예요.
합차공식은 (a+b)(a−b)=a²−b²이에요.
세제곱 공식은 (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³이에요.
기억해요 — 공식은 외우지 말고 ‘그림 넓이’로 이해해요!🔎 「합차공식」은 왜 가운데 항이 사라지나요?
(a+b)(a−b)를 하나씩 분배해 전개해 볼게요.
a² − ab + ab − b²이 됩니다.
가운데의 -ab와 +ab가 더해져 0이 되므로 a² − b²만 남아요.
🔎 세제곱 공식 (a+b)³ 은 왜 이렇게 되나요?
한 모서리가 a+b인 정육면체의 부피로 생각할 수 있어요.
자르면 정육면체 2개(a³, b³)와 직육면체 6개로 나뉘어요.
직육면체는 a²b 3개, ab² 3개가 생겨 a³+3a²b+3ab²+b³이 돼요.
기억 그림 · 완전제곱 면적 증명
큰 정사각형은 한 변이 a+b라서 넓이가 (a+b)²예요. 그런데 안을 보면 네 조각 — a² + ab + ab + b². 같은 넓이니까 (a+b)² = a² + 2ab + b² (ab가 두 개 → 2ab)!
🔎 곱셈공식 변형과 세제곱 공식 유도 한 걸음씩 보기
① 곱셈공식의 변형(합과 곱으로 구하기)
완전제곱식 (a+b)² = a² + 2ab + b²에서 양변의 2ab를 이항하면 두 수의 합(a+b)과 곱(ab)만으로 제곱의 합을 구할 수 있어요.
· a² + b² = (a+b)² − 2ab = (a−b)² + 2ab
· (a−b)² = (a+b)² − 4ab
· a³ + b³ = (a+b)³ − 3ab(a+b), a³ − b³ = (a−b)³ + 3ab(a−b)
② 세제곱의 합·차 공식 유도
분배법칙으로 전개하면 가운데 항들이 서로 지워지고 양 끝의 세제곱만 남아요.
· (a+b)(a²−ab+b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³
· (a−b)(a²+ab+b²) = a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³
거꾸로 읽으면 삼차식의 핵심 인수분해 공식이 돼요. 예를 들어 x³ − 8 = x³ − 2³ = (x−2)(x²+2x+4)예요.
📺📺 영상으로 보기(a+b)² 면적 분할▶
📺 움직이는 개념 — (a+b)² 면적 분할
(a+b)² 정사각형이 4조각으로 나뉘며 공식이 눈앞에 펼쳐져요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
나머지정리와 인수분해 — 고차식 쪼개기
P(x)=(x−a)Q(x)+R은 항상 참인 항등식이에요.
x=a를 넣으면 몫이 사라져 나머지 R=P(a)가 돼요.
이것을 나머지정리라고 불러요.
🔎 「나머지정리」가 무슨 말이죠?
다항식을 x−a로 나눌 때 직접 나눗셈을 하지 않아도 돼요.
나누는 식을 0으로 만드는 x=a를 대입하기만 하면,
복잡한 몫 Q(x)가 사라지고 나머지만 쏙 뽑아져 나오는 정리예요.
만약 P(a)=0이면 나누어떨어져요.
이때 (x−a)를 인수라 하고, 이를 인수정리라 해요.
삼차 이상의 고차식은 조립제법으로 차수를 내려요.
기억해요 — 나머지정리: x=a 대입한 P(a)가 나머지 / 인수정리: P(a)=0이면 인수!🔎 「인수정리」와 「인수」가 무슨 말이죠?
인수는 자연수의 '약수'와 같은 개념으로, 식을 곱으로 쪼갰을 때의 구성원이에요.
P(a)=0이라는 말은 나머지가 0이라는 뜻이므로,
P(x) = (x−a)Q(x)처럼 곱의 꼴로 나누어떨어진다는 것을 보장해 줘요.
🔎 「인수분해」는 어떤 순서로 접근하나요?
1단계: 모든 항에 공통으로 들어 있는 공통인수를 먼저 묶어요.
2단계: 항의 개수에 따라 완전제곱, 합차, 세제곱 곱셈공식을 적용해요.
3단계: 복잡하거나 반복되는 부분은 치환하고, 삼차 이상은 인수정리와 조립제법을 써요.
①공통인수
모든 항에 들어 있는 공통인 인수를 가장 먼저 묶어요. 2x² + 4x = 2x(x + 2).
②합차·세제곱
a² − b² = (a+b)(a−b), a³ ± b³ = (a±b)(a² ∓ ab + b²) 공식을 적용해요.
③완전제곱·치환
x² ± 2ax + a² = (x ± a)². 공통부분이 반복되면 한 문자 t로 바꾸는 치환을 써요.
④인수정리·조립제법
P(a)=0인 a를 찾으면 (x−a)가 인수예요. 조립제법으로 나눠 차수를 내려요.
🔎 치환을 이용한 인수분해는 언제 쓰나요?
식 안에 (x²+2x)처럼 똑같은 모양이 두 번 이상 반복될 때 써요.
그 덩어리를 한 문자 t로 바꿔 놓으면 친숙한 이차식이 돼요.
t에 대해 먼저 인수분해한 뒤 원래 식을 도로 대입하면 쉽게 끝나요.
🔎 삼차 이상의 고차식은 어떻게 인수분해하나요?
먼저 상수항의 약수(±1, ±2, …)를 대입해 식의 값이 0이 되는 a를 찾아요.
P(a)=0이면 (x−a)가 첫 번째 인수가 돼요.
그 다음 조립제법으로 나눈 몫(이차식)을 한 번 더 인수분해하면 돼요.
이차식 ac법
ax²+bx+c에서 곱이 ac, 합이 b인 두 수를 찾아 일차항을 쪼개 묶어요. 2x²+5x+3이면 곱이 6, 합이 5인 두 수는 2, 3이므로 2x²+2x+3x+3 = 2x(x+1)+3(x+1) = (2x+3)(x+1)이 돼요.조립제법
P(a)=0인 a(보통 상수항의 약수 ±1, ±2, …)를 하나 찾았다면, 다항식의 계수만 한 줄에 적고 a를 곱해 더해 내려가는 조립제법으로 몫과 나머지를 한 번에 구해요.🔎 조립제법 단계별 계산 표와 고차식 인수분해 예시
① 조립제법 3단계 계산법: (x³ − 3x² + 5x + 7) ÷ (x − 2)
나누는 일차식 x−2=0이 되는 값 a=2를 왼쪽에 쓰고, 첫째 줄에 다항식의 계수 1, −3, 5, 7을 차례로 적어요.
2 │ 1 −3 5 7
│ 2 −2 6 ← 왼쪽 2를 곱해 다음 칸에 올리기
└───────────────
1 −1 3 │ 13 ← 위아래를 더하기 (맨 끝 13은 나머지)
· 첫 계수 1은 그대로 내리고, 왼쪽의 2를 곱한 값(2)을 다음 칸에 올려 위아래를 더해요(−3+2=−1).
· 다시 2를 곱해 올리고(−2) 더하면 3, 한 번 더 2를 곱해 올리고(6) 더하면 마지막 칸에 나머지 R=13이 나와요.
· 앞의 세 수 1, −1, 3은 몫의 계수가 되어 몫은 Q(x)=x²−x+3이에요.
② 빈 차수가 있을 때의 조립제법과 고차식 인수분해: x³ − 3x + 2
· 이차항(x²)이 없으므로 반드시 계수 자리에 0을 넣어 1, 0, −3, 2로 적어야 해요.
· 계수의 합이 1+0−3+2=0이므로 P(1)=0이고, (x−1)이 인수예요. a=1로 조립제법을 쓰면 몫의 계수가 1, 1, −2, 나머지가 0이 되어 x³−3x+2 = (x−1)(x²+x−2) = (x−1)²(x+2)로 인수분해돼요.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 곱셈공식은 ‘정사각형 넓이 조각내기’
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, (a+b)²을 네 조각 넓이로 쪼개 곱셈공식과 곱셈공식의 변형(a²+b²=(a+b)²−2ab)을 눈으로 증명합니다. (◂ ▸로 한 단계씩)
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 나머지정리는 ‘몫을 0으로 소각하는 마법’
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, x=a를 대입해 방해꾼 ‘몫 Q(x)’를 0으로 통째로 소각하고 나머지만 남기는 원리를 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 영감을 준 원작 영상: 깨봉수학 「‘0’의 진짜 의미를 알면 고차방정식은 끝!」 · 직관만 빌려 우리가 그림·음성으로 재구성 · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서.
✨ 5초 직관 특별팁 영상 — 조립제법 없이 ‘계수 징검다리’로 인수분해
▶ 를 누르면 선생님 목소리와 함께, 식의 양 끝(최고차항·상수항)만 먼저 잇고 가운데를 끼워 맞추는 인수분해 비법을 보여줍니다.
▶ 가운데 버튼을 누르면 선생님 목소리와 함께 시작해요.
📺 원작 출처: 없음(독자 제작) · ⓒ 연라이프 · 살아있는 수학교과서 — 코드 애니메이션 + 선생님 음성, 우리 창작.
스스로 풀어요 (3단계)
동류항 정리·전개·기본 인수분해부터. 공식을 찬찬히 적용해 보세요.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 모든 인수분해는 공통인수 먼저로 시작하면 실수가 줄어요. ‘더 간결하게’: 나머지정리로 한 근 찾기 → 차수 줄이기 → 반복, 이 패턴으로 통일해요.
객관식 진단 퀴즈 — 다항식
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — (a+b)² 완전제곱 값
a 값 3
b 값 2
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
자주 틀리는 것 · 실전 비책
- 완전제곱식 가운데 항 누락 주의: (a+b)² ≠ a²+b²이에요. 반드시 직사각형 두 조각의 넓이 2ab를 더해 (a±b)² = a² ± 2ab + b²으로 전개해요.
- 세제곱 인수분해 부호 주의: a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²)에서 뒤쪽 이차식의 가운데 항은 +2ab가 아니라 +ab예요.
- 계수의 총합이 0이면 (x−1)이 인수: 다항식에 x=1을 대입한 P(1)은 모든 계수의 합이에요. 계수의 합이 0이면 P(1)=0이므로 인수정리에 의해 (x−1)을 인수로 가져요.
- 조립제법 빈 차수 자리 0 쓰기: x³−3x+2처럼 x²항이 없을 때는 계수 줄에 반드시 0을 넣어 1, 0, −3, 2로 계산해요.
한 장 핵심
- 1다항식 덧셈·뺄셈 = 동류항끼리(차수·문자 같은 항) 모으기.
- 2합차공식 (a+b)(a−b)=a²−b² · 완전제곱 (a±b)²=a²±2ab+b² · 세제곱 a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²).
- 3나머지정리 : P(x)÷(x−a)의 나머지 R = P(a). P(a)=0이면 (x−a)가 인수(인수정리).
- 4인수분해 = 공통인수 먼저 → 합차·완전제곱·세제곱 역방향 적용.
이 단원의 말·기호
- 동류항
- 차수와 문자가 같은 항. 계수만 달라요.
- 곱셈공식
- 전개 결과를 미리 공식화한 것. 면적으로 증명 가능.
- 차수
- 항에서 문자가 곱해진 개수. 다항식의 차수는 가장 차수가 높은 항의 차수로 정해요.
- 항등식
- 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 참이 되는 등식. 나눗셈 등식 P(x)=(x−a)Q(x)+R은 x에 대한 항등식이에요.
- 나머지정리
- 다항식 P(x)를 일차식 (x−a)로 나눈 나머지 R은 P(a)와 같다는 정리.
- 인수정리
- P(a)=0이면 다항식 P(x)는 일차식 (x−a)를 인수로 갖는다는 정리.
- 조립제법
- 다항식을 일차식으로 나눌 때 계수만 나열하여 몫과 나머지를 간편하게 구하는 계산법.
- 인수분해
- 다항식을 인수의 곱으로 나타내기.
내 말로 설명하기
나머지정리를 한 줄로 설명해 봐요.
예시 — “다항식 P(x)를 (x−a)로 나눌 때 몫을 Q(x), 나머지를 R이라 하면 P(x)=(x−a)Q(x)+R이야. 양변에 x=a를 대입하면 P(a)=R이 되므로 나머지는 P(a)야.”
재미있는 수학 이야기 영상
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
🖐 만지는 수학
읽고 끝내지 말고 직접 손으로 움직여 보세요. 30초면 됩니다.