왜 확률을 배울까?
불확실한 세상을 수로 판단하는 도구예요. 날씨 예보, 보험, 의료 검사 해석, AI 추천, 게임 설계. 얼마나 그럴듯한가를 정확히 따져 합리적으로 결정하는 힘이 확률에서 나와요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 확률의 뜻과 기본 성질을 이해한다. ② 덧셈정리·여사건으로 확률을 구한다. ③ 독립 사건의 곱셈정리를 활용한다. ④ 조건부확률을 구하고 독립을 판단한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① 주사위에서 짝수가 나올 확률은?
② 동전 두 번 모두 앞면일 확률은?
① 3/6=1/2 · ② 1/2×1/2=1/4. 독립인 두 사건은 확률을 곱해요.
확률의 뜻 — 가능성을 수로
어떤 사건이 일어날 가능성을 0과 1 사이의 수로 나타낸 것이 확률이에요. 경우가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(사건) = (그 사건의 경우의 수)/(전체 경우의 수). 예: 주사위에서 짝수 = 3/6 = 1/2. 확률은 항상 0 ≤ P ≤ 1이고, 전체(반드시 일어남)=1, 빈 사건(절대 안 일어남)=0이에요.
기억해요 — 확률 = 사건의 경우 ÷ 전체 경우. 0 이상 1 이하
왜 확률을 배울까
불확실한 세상을 수로 판단하는 도구예요. 날씨 예보, 보험, 의료 검사 해석, AI 추천, 게임 설계. 「얼마나 그럴듯한가」를 정확히 따져 합리적으로 결정하는 힘이 확률에서 나와요.배반과 독립 구분
배반(동시에 일어날 수 없음)과 독립(서로 영향 없음)은 달라요. 배반이면 합사건 P(A∪B)=P(A)+P(B), 독립이면 곱사건 P(A∩B)=P(A)P(B). 어느 경우인지 먼저 가려요.움직이는 그림 — 확률의 곱의 법칙
가지를 따라 확률을 곱하면 연속 사건의 확률이 나와요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
확률의 덧셈·곱셈과 여사건
덧셈정리: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). 배반이면 마지막 항이 0. 여사건: P(Aᶜ) = 1 − P(A) — 「적어도 하나」는 거의 여사건으로 풀어요. 곱셈(독립): 서로 독립인 사건이 모두 일어날 확률은 각 확률의 곱. 동전 두 번 모두 앞면 = ½ × ½ = ¼.
기억해요 — 덧셈 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) / 여사건 1−P(A) / 독립 곱하기
기억 그림 · 조건부확률
B가 이미 일어났을 때 A의 확률 = P(A|B) = P(A∩B)/P(B). 전체를 B로 좁혀 그 안에서 A를 봐요.
조건부확률 — 정보가 바꾸는 확률
어떤 사건 B가 일어났다는 정보가 주어지면 확률이 달라져요. 이것이 조건부확률 P(A|B)예요. P(A|B) = P(A∩B)/P(B) (단 P(B)>0). 여기서 곱셈정리 P(A∩B)=P(B)·P(A|B)가 나와요. 두 사건이 독립이면 P(A|B)=P(A) — B의 정보가 A에 영향을 주지 않아요.
기억해요 — 조건부확률 P(A|B)=P(A∩B)/P(B). 독립이면 P(A|B)=P(A)
①확률의 정의
P=사건÷전체. 0≤P≤1. 같은 정도로 일어날 때(수학적 확률).
②덧셈·여사건
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). 적어도 하나 = 1−P(하나도 없음).
③독립과 곱셈
독립이면 P(A∩B)=P(A)P(B). 연속 시행에 자주 써요.
④조건부확률
P(A|B)=P(A∩B)/P(B). 정보로 표본공간을 좁힘.
독립시행의 확률
매번 같은 조건으로 독립적으로 반복하는 시행에서, 확률 p인 사건이 n번 중 r번 일어날 확률은 ₙCᵣ pʳ(1−p)ⁿ⁻ʳ예요. 동전·주사위를 여러 번 던지는 문제의 핵심 공식이에요. (다음 단원 이항분포로 이어져요)베이즈의 생각
결과를 보고 원인의 확률을 거꾸로 추정할 수 있어요. 의료 검사에서 「양성일 때 실제 병일 확률」처럼, 조건부확률을 뒤집어 따지는 사고가 현대 데이터·AI의 바탕이에요.스스로 풀어요 (3단계)
기본 확률·여사건·배반사건부터. 전체 경우를 먼저 세요.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 확률은 전체 경우의 수부터 정확히 세면 절반은 끝나요. 「더 간결하게」: 「적어도」는 1 − (여사건 확률)로 통일하면 거의 빨라요.
객관식 진단 퀴즈 — 확률
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 동전 모두 앞면 확률
던지는 횟수 n 3 번
(사용 안 함) 0
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1확률 P=사건의 경우÷전체 경우. 0≤P≤1.
- 2덧셈정리 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). 배반이면 마지막 항 0.
- 3여사건 P(Aᶜ)=1−P(A). 「적어도 하나」에 강력.
- 4독립 P(A∩B)=P(A)P(B). 조건부 P(A|B)=P(A∩B)/P(B).
이 단원의 말·기호
- 확률
- 사건이 일어날 가능성을 0~1로 나타낸 수.
- 배반사건
- 동시에 일어날 수 없는 두 사건.
- 독립
- 한 사건이 다른 사건에 영향을 주지 않음.
- 조건부확률
- B가 일어났을 때 A의 확률 P(A|B).
내 말로 설명하기
독립인 두 사건의 확률을 왜 곱하는지 설명해 봐요.
예시 — 첫 사건이 확률 P(A)로 일어나고, 그것과 무관하게 둘째가 P(B)로 일어나면, 전체 중 A가 일어난 부분에서 다시 B의 비율만큼 좁혀져요. 그래서 둘 다 일어날 확률은 P(A)×P(B) — 가지(나무)에서 확률을 곱하는 이유예요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.