왜 경우의 수를 더 배울까?
확률·통계의 분모가 바로 경우의 수예요. 비밀번호 가짓수(보안), 상품 조합, 줄세우기 — 정확히 세야 확률이 정확해져요. 원형·중복·같은 것이 있는 더 다양한 상황을 세는 도구를 갖추는 거예요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 원순열·중복순열·같은 것이 있는 순열을 센다. ② 중복조합 ₙHᵣ을 활용한다. ③ 이항정리로 (a+b)ⁿ을 전개한다. ④ 여사건·조건 점검으로 복잡한 경우의 수를 센다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 준비 완료예요.
① 4명을 한 줄로 세우면 몇 가지?
② 4명을 원탁에 앉히면 몇 가지?
① 4!=24 · ② (4−1)!=6. 원탁은 회전해서 겹치는 걸 빼므로 (n−1)!이에요.
여러 가지 순열 — 줄세우기의 변주
공통수학에서 배운 순열·조합을 더 넓혀요. 원순열: n명을 원탁에 앉히면 회전해서 겹치는 것을 한 명 고정으로 빼서 (n−1)!. 중복순열: 중복을 허용해 r개 뽑아 줄세우면 nʳ. 같은 것이 있는 순열: n개 중 같은 것이 p개, q개,…이면 n!/(p!q!⋯).
기억해요 — 원순열 (n−1)! / 중복순열 nʳ / 같은것 n!/(p!q!⋯)
왜 경우의 수를 더 배울까
확률·통계의 분모가 바로 경우의 수예요. 비밀번호 가짓수(보안), 상품 조합, 줄세우기 — 정확히 세야 확률이 정확해져요. 더 다양한 상황(원형·중복·같은 것)을 세는 도구를 갖추는 거예요.순서 있나 없나 먼저
순서가 의미 있으면 순열, 없으면 조합이에요. 「대표 2명」은 조합, 「회장·부회장」은 순열. 원형인지, 중복이 되는지, 같은 것이 있는지를 문제에서 먼저 가려내야 식이 정해져요.움직이는 그림 — 원순열
원탁에서는 회전한 배열이 같아요. 한 명을 고정해 세요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
중복조합과 이항정리
중복조합: 중복을 허용해 순서 없이 r개 고르면 ₙHᵣ = ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ. (예: 3종류 사탕에서 5개 고르기) 이항정리: (a+b)ⁿ을 전개하면 각 항의 계수가 조합 수예요. (a+b)ⁿ = Σ ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ. 계수를 모으면 파스칼의 삼각형이 나와요.
기억해요 — 중복조합 ₙHᵣ=ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ / 이항계수 = ₙCᵣ (파스칼 삼각형)
기억 그림 · 파스칼의 삼각형과 이항계수
파스칼의 삼각형 = 이항계수 ₙCᵣ의 표. 위 두 수를 더하면 아래 수 — ₙCᵣ+ₙCᵣ₊₁=ₙ₊₁Cᵣ₊₁!
경우의 수를 세는 전략
복잡한 경우는 나누고(합의 법칙) 잇고(곱의 법칙), 어려우면 여사건(전체 − 반대)으로 세요. 「적어도 하나」는 거의 항상 전체에서 「하나도 없는 경우」를 빼는 게 빨라요. 순서·중복·원형·같은 것 — 네 가지 조건을 점검하면 어떤 공식인지 정해져요.
기억해요 — 적어도 하나 = 전체 − 하나도 없음. 조건 4가지(순서·중복·원형·같은것) 점검
①순열·조합
순서 있으면 ₙPᵣ, 없으면 ₙCᵣ=ₙPᵣ/r!.
②원순열·중복
원순열 (n−1)!. 중복순열 nʳ. 같은 것 n!/(p!q!⋯).
③중복조합
순서 없이 중복 허용: ₙHᵣ=ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ.
④이항정리
(a+b)ⁿ의 일반항 ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ. 계수=파스칼 삼각형.
이항계수의 합
(1+1)ⁿ을 전개하면 ₙC₀+ₙC₁+⋯+ₙCₙ = 2ⁿ. 즉 한 집합의 모든 부분집합 개수가 2ⁿ인 것과 정확히 같아요. 이항정리에 특정 값을 대입하면 여러 합 공식이 쏟아져요.분할과 중복
사람을 조로 나누기(분할), 같은 물건 나눠주기(중복조합) 등은 상황을 정확히 번역하는 게 핵심이에요. 「구별되는가/안 되는가」를 사람·물건 양쪽에서 따져야 올바른 식이 나와요.스스로 풀어요 (3단계)
순열·조합·원순열 기본부터. 순서 여부를 먼저 정해요.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 먼저 순서가 의미 있는지만 정하면 순열·조합이 갈려요. 「더 간결하게」: 「적어도」가 나오면 전체 − 여사건으로 통일하면 거의 빨라요.
객관식 진단 퀴즈 — 경우의수
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 조합 nCr
전체 n 5
고를 r 2
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1원순열 (n−1)! · 중복순열 nʳ · 같은 것 순열 n!/(p!q!⋯).
- 2중복조합 ₙHᵣ=ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ (순서 없이 중복 허용).
- 3이항정리 (a+b)ⁿ=Σ ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ. 계수=파스칼 삼각형.
- 4「적어도」는 전체 − 여사건. 순서·중복·원형·같은것 4조건 점검.
이 단원의 말·기호
- 원순열
- 원형 배열. 회전해서 같은 것을 빼 (n−1)!.
- 중복순열
- 중복 허용 순열. nʳ.
- 중복조합
- 순서 없이 중복 허용. ₙHᵣ=ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ.
- 이항정리
- (a+b)ⁿ 전개. 계수가 조합 수 ₙCᵣ.
내 말로 설명하기
원순열이 왜 (n−1)!인지 설명해 봐요.
예시 — n명을 한 줄로 세우면 n!이지만, 원탁에서는 전체를 한 칸씩 돌린 n가지가 모두 같은 배열이에요. 그래서 n!을 n으로 나눈 (n−1)! — 즉 한 명을 고정하고 나머지만 배열하는 것과 같아요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.