왜 통계(산포도)를 배울까?
평균이 같아도 퍼진 정도는 다를 수 있어요. 한 반은 고르게, 다른 반은 들쭉날쭉. 분산·표준편차는 그 ‘흩어짐’을 수로 나타내, 자료를 제대로 비교하게 해줘요. 데이터 시대의 핵심 언어예요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 대푯값(평균·중앙값·최빈값)을 구한다. ② 편차·분산·표준편차를 구한다. ③ 산포도로 자료를 비교한다. ④ 산점도로 상관관계를 읽는다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 1, 2, 3, 4, 5 의 평균은?
② 편차(자료−평균)를 모두 더하면?
① 3 · ② 0. 편차의 합은 늘 0이라, 제곱해서 흩어짐을 재요.
대푯값 — 자료를 대표하는 한 수
자료 전체를 한 수로 요약하는 게 대푯값이에요. 모두 더해 개수로 나눈 평균, 크기순 한가운데 중앙값, 가장 많이 나온 최빈값. 자료에 아주 크거나 작은 값이 끼면 평균이 휘청이니, 그럴 땐 중앙값이 더 정직할 수 있어요.
기억해요 — 평균·중앙값·최빈값. 극단값이 있으면 중앙값이 더 든든하다
움직이는 그림 — 흩어진 정도 = 분산
자료가 평균에서 얼마나 퍼졌는지 봐요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
산포도 — 얼마나 흩어졌나
대푯값이 같아도 자료가 모여 있는지 퍼져 있는지는 다를 수 있어요. 이 흩어진 정도가 산포도예요. 각 자료에서 평균을 뺀 값이 편차(합은 항상 0!), 편차를 제곱해 평균낸 것이 분산, 분산의 양의 제곱근이 표준편차예요. 작을수록 고르게 모여 있어요.
기억해요 — 편차의 합=0, 분산=(편차)²의 평균, 표준편차=√분산. 작을수록 고르다
①편차
각 자료 − 평균. 모두 더하면 0.
②분산
편차를 제곱해 평균낸 값. 흩어짐의 크기.
③표준편차
√분산. 자료와 같은 단위로 흩어짐 표현.
④상관관계
두 양의 관계 — 양의·음의·상관 없음.
기억 그림 · 도수분포표 → 히스토그램 → 도수분포다각형
히스토그램은 막대가 붙어있어요(연속 데이터). 도수분포표 → 히스토그램 → 도수분포다각형 순으로 시각화해요. 상대도수를 쓰면 전체 크기가 달라도 비교 가능!
왜 편차를 제곱할까
편차를 그냥 더하면 양수와 음수가 상쇄돼 항상 0이 돼요. 그래서 제곱해 모두 양수로 만든 뒤 평균을 내요. 제곱하면 멀리 떨어진 값일수록 더 크게 반영되어 흩어짐을 잘 나타내요.평균·중앙값·최빈값 혼동
평균=모든 자료의 합÷자료 수. 중앙값=순서대로 줄 세울 때 한가운데 값(자료 수가 짝수면 두 값의 평균). 최빈값=가장 많이 나온 값. 극단값(너무 크거나 작은 값)이 있으면 중앙값이 평균보다 대표성이 좋아요.산점도와 상관관계
두 양(키·몸무게 등)을 점으로 찍은 산점도에서, 한쪽이 늘 때 다른 쪽도 늘면 양의 상관, 줄면 음의 상관, 뚜렷한 경향이 없으면 상관 없음이에요. 고등학교 통계로 이어집니다.
스스로 풀어요 (3단계)
평균·중앙값·최빈값, 편차의 합부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 산포도를 ‘편차 → 제곱 → 평균’ 세 걸음으로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 분산이 작을수록 고르다는 한 문장으로 해석을 묶었습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 자료가 나와요. 평균·편차·분산·표준편차 계산이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
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지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 편차의 합·분산 공식(변량²평균−평균²)·표준편차·상수배·자료 만들기·대소 비교까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1편차의 합
어떤 자료에서 편차의 합은 얼마인가요?
답: 0
편차의 합은 항상 0
편차의 합은 항상 0
2분산
변량 2, 4, 6, 8, 10의 분산은?
답: 8
평균 6, 편차² 합 40 ÷ 5 = 8
평균 6, 편차² 합 40 ÷ 5 = 8
3표준편차
변량 1, 3, 5, 7, 9의 표준편차는?
답: 2√2
평균 5, 분산 8 → √8 = 2√2
평균 5, 분산 8 → √8 = 2√2
4분산 공식
변량 2와 4의 분산을 (변량²의 평균) − (평균)² 으로 구하면?
답: 1
변량²의 평균 = (4+16)/2 = 10, 평균² = 3² = 9 → 10−9 = 1
변량²의 평균 = (4+16)/2 = 10, 평균² = 3² = 9 → 10−9 = 1
5대소 비교
두 자료의 평균이 같을 때, 표준편차가 작은 쪽이 더 고른가요?
답: 예
표준편차가 작을수록 자료가 고름
표준편차가 작을수록 자료가 고름
6편차 추론
5개 변량의 편차가 −3, a, 0, 1, 2 이고 편차의 합이 0일 때 a는?
답: 0
−3+a+0+1+2 = 0 → a = 0
−3+a+0+1+2 = 0 → a = 0
7자료 변환
변량 10, 10, 10의 분산과 표준편차는?
답: 둘 다 0
모두 같으므로 분산 0, 표준편차 0
모두 같으므로 분산 0, 표준편차 0
8분산
표준편차가 3인 자료의 분산은?
답: 9
3² = 9
3² = 9
9상수배
변량 6, 8, 10, 12 (평균 9)의 분산은?
답: 5
편차 −3,−1,1,3 → 제곱 합 20 ÷ 4 = 5
편차 −3,−1,1,3 → 제곱 합 20 ÷ 4 = 5
10자료 만들기
자료의 모든 값을 2배로 하면 표준편차는 몇 배가 되나요?
답: 2배
값을 k배 하면 표준편차도 k배
값을 k배 하면 표준편차도 k배
11분산 활용
변량 1, 2, 3 (평균 2)의 분산은?
답: 2/3
편차 −1,0,1 → 제곱 합 2 ÷ 3 = 2/3
편차 −1,0,1 → 제곱 합 2 ÷ 3 = 2/3
객관식 진단 퀴즈 — 통계
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 두 값의 평균
값 ① 6
값 ② 10
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1대푯값 = 평균·중앙값·최빈값. 극단값엔 중앙값이 든든.
- 2편차 = 자료 − 평균. 합은 항상 0.
- 3분산 = (편차)²의 평균, 표준편차 = √분산.
- 4분산이 작을수록 고르게 모여 있다.
이 단원의 말·기호
- 편차
- 각 자료와 평균의 차.
- 분산
- 편차의 제곱의 평균(흩어짐).
- 표준편차
- √분산(자료와 같은 단위).
- 상관관계
- 두 양이 함께 변하는 경향(양·음).
내 말로 설명하기
편차를 왜 제곱하는지 한 줄로 설명해 봐요.
예시 — “편차를 그냥 더하면 양수·음수가 상쇄돼 0이야. 그래서 제곱해 모두 양수로 만든 뒤 평균을 내 — 그게 분산.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.