왜 삼각비를 배울까?
직접 오를 수 없는 산·건물의 높이, 건널 수 없는 강의 너비도 각도 하나면 구할 수 있어요. 삼각비는 측량·항해·건축·게임 그래픽의 핵심이고, 고등학교 삼각함수로 크게 자라나요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 삼각비 sin·cos·tan를 이해한다. ② 특수각의 삼각비를 안다. ③ 한 변·한 각으로 다른 변을 구한다. ④ 높이·거리에 활용한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 직각삼각형에서 가장 긴 변은?
② 닮은 직각삼각형의 대응변의 비는 어떨까요?
① 빗변 · ② 같다. 각이 같으면 크기가 달라도 변의 비가 같아 ‘각의 비’가 정해져요.
삼각비 — 직각삼각형 속 변의 비
직각삼각형에서 한 예각 A를 정하면, 세 변의 비가 각 A에만 정해져요. 이 비가 삼각비예요. sin A = 높이(대변)/빗변, cos A = 밑변(인접)/빗변, tan A = 높이/밑변. 크기가 달라도 각이 같으면(닮음) 비는 똑같아요.
기억해요 — sin = 대변/빗변, cos = 인접/빗변, tan = 대변/인접
움직이는 그림 — 삼각비는 변의 비
직각삼각형 변에 이름을 붙여요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
특수각과 활용 — 30°·45°·60°
자주 나오는 세 각의 삼각비는 외워두면 든든해요. sin30°=½, cos60°=½, tan45°=1, sin45°=cos45°=√2/2, sin60°=cos30°=√3/2, tan60°=√3. 삼각비로 잴 수 없는 높이·거리(나무·건물·강 너비)를 각도만 알면 구할 수 있어요.
기억해요 — 30·45·60°의 삼각비. 한 변과 한 각을 알면 나머지 변을 구한다
①sin
대변 ÷ 빗변. 높이를 구할 때 자주.
②cos
인접변 ÷ 빗변. 밑변을 구할 때 자주.
③tan
대변 ÷ 인접변. 빗변 없이 두 변의 비.
④특수각
30·45·60°는 외워두기 (½, √2/2, √3/2 …).
기억 그림 · sin=대/빗, cos=밑/빗, tan=대/밑
각 A에 대해 sin=대변/빗변, cos=밑변/빗변, tan=대변/밑변. "SOH-CAH-TOA"로 외우세요! 삼각비를 알면 각도만으로 변의 길이를 구할 수 있어요.
왜 각만으로 비가 정해질까
각이 같은 직각삼각형은 모두 닮음이에요. 닮은 도형은 대응변의 비가 같으니, 크기와 상관없이 같은 각이면 같은 삼각비가 돼요. 그래서 삼각비는 ‘각의 함수’예요.sin·cos·tan 역할 혼동
직각삼각형에서 sin θ = 높이/빗변, cos θ = 밑변/빗변, tan θ = 높이/밑변이에요. 기억법: SOH(sinOppHyp)·CAH(cosAdjHyp)·TOA(tanOppAdj). 또 cos²θ + sin²θ = 1 항등식에서 순서를 바꾸지 마세요. tan θ = sin θ / cos θ 이에요.어디에 쓰나
측량·항해·건축에서 직접 못 재는 높이와 거리를 각도로 구해요. 고등학교에서 사인법칙·코사인법칙, 그리고 삼각함수로 크게 확장됩니다.
스스로 풀어요 (3단계)
변의 비로 sin·cos·tan, 특수각 값부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 삼각비를 ‘sin=대/빗, cos=인접/빗, tan=대/인접’ 세 줄로 고정했어요. ‘더 간결하게’: 특수각은 한 표로 외워 바로 쓰게 했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 특수각 값·변의 비가 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 특수각 합·차·삼각비 항등식·거리 구하기·정삼각형 넓이·직각삼각형 넓이까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1특수각 합·차
sin 60° − cos 30° 의 값은?
답: 0
√3/2 − √3/2 = 0
√3/2 − √3/2 = 0
2삼각비 항등식
임의의 예각 A에 대해 sin²A + cos²A 의 값은?
답: 1
삼각비 항등식: 항상 1
삼각비 항등식: 항상 1
3특수각 곱
tan 45° + tan 45° 의 값은?
답: 2
1 + 1 = 2
1 + 1 = 2
4변의 비
직각삼각형에서 tan A = 4/3 일 때, sin A는?
답: 4/5
3-4-5 직각삼각형(A의 맞은편이 4) → sinA = 4/5
3-4-5 직각삼각형(A의 맞은편이 4) → sinA = 4/5
5거리 구하기
높이 6m인 탑을 올려본각이 30°인 지점은 탑의 밑에서 몇 m 떨어져 있나요?
답: 6√3 m
거리 = 높이 ÷ tan30° = 6 ÷ (√3/3) = 6√3
거리 = 높이 ÷ tan30° = 6 ÷ (√3/3) = 6√3
6특수각 곱
sin 30° × 4 의 값은?
답: 2
½ × 4 = 2
½ × 4 = 2
7정삼각형 넓이
한 변의 길이가 2인 정삼각형의 넓이는?
답: √3
넓이 = ½ × 밑변 × 높이 = ½ × 2 × √3 = √3
넓이 = ½ × 밑변 × 높이 = ½ × 2 × √3 = √3
8코사인90
cos 0° + cos 90° 의 값은?
답: 1
1 + 0 = 1
1 + 0 = 1
9유리화
sin 45° 를 분모를 유리화한 형태로 나타내면?
답: √2/2
1/√2 × √2/√2 = √2/2
1/√2 × √2/√2 = √2/2
10직각삼각형 넓이
빗변이 4이고 한 예각이 30°인 직각삼각형의 넓이는?
답: 2√3
두 변 4sin30°=2, 4cos30°=2√3. 넓이 = ½×2×2√3 = 2√3
두 변 4sin30°=2, 4cos30°=2√3. 넓이 = ½×2×2√3 = 2√3
11곱의 값
tan 60° × cos 60° 의 값은?
답: √3/2
√3 × ½ = √3/2 (= sin60°)
√3 × ½ = √3/2 (= sin60°)
객관식 진단 퀴즈 — 삼각비
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 30°의 높이(빗변×sin30°)
빗변 12
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1sin = 대변/빗변, cos = 인접/빗변, tan = 대변/인접.
- 2각이 같으면(닮음) 변의 비도 같다 → ‘각의 함수’.
- 3특수각: sin30°=½, tan45°=1, sin60°=√3/2 …
- 4한 변과 한 각으로 나머지 변을 구한다.
이 단원의 말·기호
- 삼각비
- 직각삼각형 변의 비(sin·cos·tan).
- 대변
- 어떤 각과 마주 보는 변.
- 인접변
- 어떤 각에 붙어 있는 변(빗변 제외).
- 특수각
- 30°·45°·60° 등 값을 외우는 각.
내 말로 설명하기
삼각비가 왜 각만으로 정해지는지 한 줄로?
예시 — “각이 같은 직각삼각형은 크기가 달라도 모두 닮음이야. 닮으면 대응변의 비가 같아서, 같은 각엔 같은 삼각비가 정해져.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.