왜 피타고라스 정리를 배울까?
직각만 있으면 재지 못하는 거리도 계산할 수 있어요. TV 크기(대각선), 사다리 높이, 두 지점 사이 거리, GPS까지 — 피타고라스 정리는 2500년 전부터 지금까지 쓰이는 가장 유명한 정리예요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 피타고라스 정리 a²+b²=c²를 이해한다. ② 빗변·직각변의 길이를 구한다. ③ 피타고라스 수를 안다. ④ 대각선·거리에 활용한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 3² 은 얼마일까요?
② 직각삼각형에서 가장 긴 변을 무엇이라 할까요?
① 9 · ② 빗변. 두 직각변의 제곱을 더하면 빗변의 제곱이에요.
피타고라스 정리 — 직각삼각형의 약속
직각삼각형에서 두 직각변의 제곱을 더하면 빗변의 제곱과 같아요. 식으로 a² + b² = c² (c는 빗변). 가장 유명한 예가 3, 4, 5예요(9 + 16 = 25). 빗변은 직각과 마주보는, 가장 긴 변이에요.
기억해요 — a² + b² = c² (두 직각변의 제곱의 합 = 빗변의 제곱)
움직이는 그림 — 세 정사각형의 넓이
세 변 위에 정사각형을 그려 넓이를 더해 봐요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
피타고라스 수와 활용
정리를 만족하는 자연수 짝 (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) 등을 피타고라스 수라 해요. 이 정리로 대각선·높이·두 점 사이 거리를 잴 수 있어요. 직사각형의 대각선, 정삼각형의 높이, 사다리를 세운 높이도 모두 피타고라스로 구해요.
기억해요 — 모르는 변 하나는 a²+b²=c²로. 빗변은 직각의 맞은편 가장 긴 변(두 직각변의 제곱의 합 = 빗변의 제곱)
①빗변 구하기
c = √(a² + b²). 두 직각변을 알 때.
②직각변 구하기
b = √(c² − a²). 빗변과 한 변을 알 때.
③피타고라스 수
3·4·5, 5·12·13, 8·15·17, 7·24·25 …
④거리·대각선
직사각형 대각선 √(가로²+세로²) 등에 활용.
기억 그림 · a² + b² = c² — 직각삼각형 빗변의 비밀
직각삼각형에서 두 직각변의 제곱의 합 = 빗변의 제곱. 3-4-5, 5-12-13이 대표 예시. 역도 성립 — a²+b²=c²이면 직각삼각형!
왜 성립할까(넓이로 보기)
직각삼각형의 세 변 위에 정사각형을 그리면, 두 작은 정사각형 넓이의 합 = 큰 정사각형 넓이가 돼요(그림으로 조각을 옮겨 확인할 수 있어요). 그것이 곧 a² + b² = c² 예요.정사각형 안에 기울어진 정사각형으로 증명
한 변이 (a+b)인 큰 정사각형 안에 직각삼각형 4개를 배치하면 가운데 기울어진 정사각형의 넓이가 c²가 돼요. 큰 정사각형 넓이 = 삼각형 4개 + c² 식으로 정리하면 a²+b²=c²가 나와요.빗변 위치 혼동
빗변은 직각의 맞은편에 있는 변(가장 긴 변)이에요. a²+b²=c²에서 c가 빗변! 직각이 어느 각인지 먼저 확인하세요. 피타고라스 역도 중요: a²+b²=c²이면 직각삼각형, a²+b²<c²이면 둔각삼각형.다음으로
세 점 사이 거리, 좌표평면의 두 점 사이 거리(고등 도형의 방정식)가 모두 피타고라스에서 나와요. 직각인지 아닌지도 a²+b²=c²가 성립하나로 판별할 수 있어요.
스스로 풀어요 (3단계)
두 변으로 빗변, 빗변과 한 변으로 나머지 변부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 모든 문제를 ‘a²+b²=c² 한 식’으로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 자주 나오는 피타고라스 수를 외우면 계산을 건너뛸 수 있게 했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 빗변·변 구하기, 대각선, 직각 판별이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 피타고라스 수·공간 대각선·좌표 거리·정삼각형 넓이·변의 비·빗변에 내린 높이까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1좌표 거리
좌표평면에서 두 점 A(1, 2)와 B(4, 6) 사이의 거리는?
답: 5
√((4−1)²+(6−2)²) = √(9+16) = √25 = 5
√((4−1)²+(6−2)²) = √(9+16) = √25 = 5
2피타고라스 수
한 직각변이 20인 직각삼각형의 세 변이 모두 자연수일 때, 빗변이 될 수 있는 가장 작은 값은?
답: 25
20²+b²=c². c=25일 때 b=15 (15,20,25) → 가장 작은 빗변 25
20²+b²=c². c=25일 때 b=15 (15,20,25) → 가장 작은 빗변 25
3정삼각형 넓이
한 변이 6인 정삼각형의 넓이는?
답: 9√3
높이 = √(6²−3²) = 3√3. 넓이 = ½×6×3√3 = 9√3
높이 = √(6²−3²) = 3√3. 넓이 = ½×6×3√3 = 9√3
4두 변의 차
빗변이 10이고 두 직각변의 길이의 차가 2인 직각삼각형의 두 직각변은?
답: 6 과 8
a−b=2, a²+b²=100 → (b+2)²+b²=100 → b=6, a=8
a−b=2, a²+b²=100 → (b+2)²+b²=100 → b=6, a=8
5원의 반지름
중심이 원점이고 점 (3, 4)를 지나는 원의 반지름은?
답: 5
반지름 = √(3²+4²) = √25 = 5
반지름 = √(3²+4²) = √25 = 5
6직각 판별
세 변이 9, 12, 15인 삼각형은 직각삼각형입니까?
답: 예 (직각삼각형)
9²+12² = 225 = 15² → 직각삼각형
9²+12² = 225 = 15² → 직각삼각형
7공간 대각선
한 모서리가 4인 정육면체의 대각선의 길이는?
답: 4√3
대각선² = 4²+4²+4² = 48 → 4√3
대각선² = 4²+4²+4² = 48 → 4√3
8변의 비
직각삼각형의 세 변의 비가 3 : 4 : 5이고 둘레가 36일 때, 빗변의 길이는?
답: 15
3k+4k+5k=12k=36 → k=3. 빗변 5k = 15
3k+4k+5k=12k=36 → k=3. 빗변 5k = 15
9빗변에 내린 높이
직각을 낀 두 변이 9, 12인 직각삼각형에서, 빗변에 내린 높이는?
답: 36/5
빗변 15, 넓이 ½×9×12=54. 54 = ½×15×h → h = 108/15 = 36/5
빗변 15, 넓이 ½×9×12=54. 54 = ½×15×h → h = 108/15 = 36/5
10정사각형 넓이
대각선의 길이가 8인 정사각형의 넓이는?
답: 32
정사각형 넓이 = ½×(대각선)² = ½×64 = 32
정사각형 넓이 = ½×(대각선)² = ½×64 = 32
11활용 거리
높이 12m 전봇대 꼭대기에서 땅의 한 점까지 줄의 길이가 13m입니다. 그 점은 전봇대 밑에서 몇 m 떨어져 있나요?
답: 5m
√(13²−12²) = √25 = 5
√(13²−12²) = √25 = 5
객관식 진단 퀴즈 — 피타고라스정리
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 빗변 구하기
직각변 3
직각변 4
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1직각삼각형: a² + b² = c² (c=빗변).
- 2빗변 = √(a²+b²), 직각변 = √(c²−a²).
- 3피타고라스 수: 3·4·5, 5·12·13, 8·15·17…
- 4대각선·높이·두 점 사이 거리에 활용.
이 단원의 말·기호
- 빗변
- 직각과 마주 보는 가장 긴 변.
- 직각변
- 직각을 낀 두 변.
- 피타고라스 수
- a²+b²=c²인 자연수 짝.
- 대각선
- 마주 보는 두 꼭짓점을 잇는 선분.
내 말로 설명하기
피타고라스 정리를 넓이로 설명한다면?
예시 — “세 변에 정사각형을 그리면 작은 두 정사각형(9+16) 넓이의 합이 큰 정사각형(25)과 같아. 그게 a²+b²=c².”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.