왜 함수와 방정식을 잇는 걸까?
식을 그래프로, 그래프를 식으로 오가는 눈을 갖추면 어려운 문제가 쉬워져요. 연립방정식의 답이 곧 ‘두 직선이 만나는 점’임을 알면, 계산과 그림을 한 몸으로 보게 돼요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 일차방정식의 그래프가 직선임을 안다. ② 가로·세로 직선을 안다. ③ 연립방정식의 해가 두 직선의 교점임을 이해한다. ④ 해의 개수(평행·일치)를 판별한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지를 떠올려 봐요.
① 2x + y = 4 를 y = … 꼴로 고치면?
② 두 직선이 만나는 점은 무엇을 뜻할까요?
① y = −2x+4 · ② 두 식을 동시에 만족하는 해(연립방정식의 답).
직선의 방정식 — 일차방정식이 곧 직선
미지수가 둘인 일차방정식 ax + by + c = 0의 해 (x, y)를 모두 모으면 하나의 직선이 돼요. 즉 일차방정식 = 직선의 그래프예요. y에 대해 풀면 우리가 아는 일차함수 y = (기울기)x + (절편) 꼴이 되죠. x = 3 같은 식은 세로 직선, y = 2 는 가로 직선이에요.
기억해요 — 일차방정식 한 개 = 직선 한 개. x = ●는 세로선, y = ●는 가로선
움직이는 그림 — 두 직선의 교점 = 연립의 해
두 직선을 그리고 만나는 점을 찾아요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
연립방정식의 해 = 두 직선의 교점
연립방정식의 해는 두 식을 동시에 만족하는 (x, y) — 그래프로는 두 직선이 만나는 점이에요. 두 직선이 한 점에서 만나면 해 1개, 평행하면 해 없음, 완전히 겹치면 해 무수히 많음이에요.
기억해요 — 만나면 1개, 평행하면 0개, 겹치면 무수히. 기울기로 미리 알 수 있다
①한 점에서 만남
기울기가 다름 → 해가 1개(교점).
②평행
기울기 같고 절편 다름 → 해 없음.
③일치
기울기·절편 모두 같음 → 해 무수히 많음.
④특수한 직선
x = a는 세로선, y = b는 가로선.
기억 그림 · 교점 = 연립방정식의 해
두 직선의 교점의 좌표가 바로 두 방정식을 동시에 만족하는 해예요. 그래프와 계산이 같은 걸 보여줘요!
기억 그림 · ax+by+c=0 ↔ 좌표평면의 직선
일차방정식 ax+by+c=0을 y=…로 정리하면 일차함수가 돼요. 방정식 = 그래프의 직선. 두 직선의 교점이 연립방정식의 해예요!
왜 방정식이 직선이 될까
x+y=4 를 만족하는 점을 모두 모으면 (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0)… 이 점들이 일직선 위에 놓여요. 일차방정식의 해 전체가 직선을 이루기 때문에 “방정식의 그래프 = 직선”이에요.그래프 없이 미리 알기
두 식을 y=… 꼴로 바꿔 기울기와 절편만 비교하면, 그래프를 그리지 않아도 교점 개수를 알 수 있어요. 기울기가 다르면 무조건 한 점에서 만나요.교점 구할 때 대입 실수
두 일차방정식을 연립할 때 한 식에서 구한 x를 반드시 다른 식에 대입해 y를 구해야 해요. 교점의 좌표는 (x, y) 둘 다 구해야 완성! 또 “직선 위의 점이다”와 “교점”은 다른 개념이에요.다음으로
“식을 그래프로, 그래프를 식으로” 오가는 이 관점은 3학년 이차함수와 고등학교 도형의 방정식의 핵심 사고예요. 방정식과 그림을 한 몸으로 보는 눈을 길러요.
스스로 풀어요 (3단계)
직선의 방정식, 가로·세로선, 절편 읽기부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 모든 직선을 ‘기울기·절편 두 수’로 보고 교점을 판단하게 했어요. ‘더 간결하게’: 교점은 연립방정식 풀이 그대로임을 한 번에 연결했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 직선의 식·교점·평행과 일치 판별이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 삼각형 넓이·해의 조건·격자점·대칭과 평행이동·세 직선·절편까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1삼각형 넓이
두 직선 y = x, y = −x+6 과 x축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는?
답: 9
교점 (3,3). 두 직선의 x절편 (0,0)과 (6,0). 밑변 6, 높이 3 → ½×6×3 = 9
교점 (3,3). 두 직선의 x절편 (0,0)과 (6,0). 밑변 6, 높이 3 → ½×6×3 = 9
2해 없음 조건
연립 ax+y=2, 2x+y=5 가 해를 갖지 않으려면 a는?
답: 2
평행이어야: 기울기 −a=−2 → a=2 (절편 2≠5이라 평행)
평행이어야: 기울기 −a=−2 → a=2 (절편 2≠5이라 평행)
3해 무수히 조건
연립 2x+ay=4, x+2y=2 가 해가 무수히 많으려면 a는?
답: 4
둘째 식 ×2: 2x+4y=4. 첫째 식과 같으려면 a=4
둘째 식 ×2: 2x+4y=4. 첫째 식과 같으려면 a=4
4격자점
직선 3x + 2y = 18 위의 점 중 x좌표와 y좌표가 모두 자연수인 점은 몇 개인가요?
답: 2개
(4,3), (2,6) → 2개
(4,3), (2,6) → 2개
5y축 대칭
직선 y = 2x+1 을 y축에 대하여 대칭이동한 직선의 식은?
답: y = −2x+1
x를 −x로: y=2(−x)+1 = −2x+1
x를 −x로: y=2(−x)+1 = −2x+1
6평행이동
직선 y = 3x−2 를 y축 방향으로 5만큼 평행이동한 직선의 식은?
답: y = 3x+3
상수항에 +5: y = 3x−2+5 = 3x+3
상수항에 +5: y = 3x−2+5 = 3x+3
7세 직선 교점
세 직선 y = x, y = 2x, y = −x+6 중 y = x 와 y = −x+6 의 교점의 좌표는?
답: (3, 3)
x = −x+6 → x=3, y=3
x = −x+6 → x=3, y=3
8기울기 부호
직선 ax + by = c 에서 a>0, b>0, c>0 일 때, 이 직선의 기울기의 부호는?
답: 음수
y = −(a/b)x + c/b → 기울기 −a/b < 0
y = −(a/b)x + c/b → 기울기 −a/b < 0
9절편
직선 3x − 4y = 12 의 x절편을 a, y절편을 b라 할 때, a − b 의 값은?
답: 7
x절편 a=4, y절편 b=−3 → a−b = 4−(−3) = 7
x절편 a=4, y절편 b=−3 → a−b = 4−(−3) = 7
10x절편
직선 y = ax+1 이 점 (2, 5)를 지날 때, 이 직선의 x절편은?
답: −½
5=2a+1 → a=2. y=2x+1, 0=2x+1 → x=−½
5=2a+1 → a=2. y=2x+1, 0=2x+1 → x=−½
11삼각형 넓이
두 직선 y = 2x, y = x+2 와 y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는?
답: 2
교점 (2,4). y축 위 두 점 (0,0),(0,2). 밑변 2, 높이 2 → ½×2×2 = 2
교점 (2,4). y축 위 두 점 (0,0),(0,2). 밑변 2, 높이 2 → ½×2×2 = 2
객관식 진단 퀴즈 — 일차함수와일차방정식
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 두 직선이 만나는 곳
x 2
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1일차방정식 ax+by+c=0 = 직선 하나.
- 2x=a는 세로 직선, y=b는 가로 직선.
- 3연립방정식의 해 = 두 직선의 교점.
- 4기울기 다르면 1개, 평행이면 0개, 일치하면 무수히.
이 단원의 말·기호
- 직선의 방정식
- 직선을 나타내는 일차방정식.
- 교점
- 두 그래프가 만나는 점.
- 평행
- 기울기 같고 절편 다름(안 만남).
- 일치
- 두 직선이 완전히 겹침(무수한 해).
내 말로 설명하기
연립방정식의 해가 왜 교점인지 한 줄로?
예시 — “각 직선은 그 식을 만족하는 점들의 모임이야. 두 식을 다 만족하는 (x,y)는 두 직선이 같이 지나는 점, 즉 교점.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.