왜 순환소수를 배울까?
1/3 = 0.333…처럼 끝없이 되풀이되는 소수도 사실은 분수예요. 분수와 소수가 한 몸임을 알면 수를 자유롭게 오가며 다룰 수 있어요. 3학년 무리수·실수로 가는 다리랍니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 유한소수와 순환소수를 구분한다. ② 순환소수를 분수로 나타낸다. ③ 유한소수가 되는 분모의 조건을 안다. ④ 유리수와 소수의 관계를 이해한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 1 ÷ 4 를 소수로 하면?
② 0.5를 분수로 하면?
① 0.25 · ② ½. 분수↔소수를 오갈 줄 알면 순환소수도 분수로 바꿀 수 있어요.
유한소수와 순환소수 — 끝나거나, 되풀이되거나
분수를 소수로 바꾸면 둘 중 하나예요. 딱 떨어지는 유한소수(예: 1/4 = 0.25)거나, 같은 숫자가 끝없이 되풀이되는 순환소수(예: 1/3 = 0.333⋯)거나. 되풀이되는 부분에 점을 찍어 0.3(위에 점) = 0.(3) 처럼 짧게 써요. 기약분수의 분모가 2와 5만으로 되면 유한소수가 돼요.
기억해요 — 분모(기약)에 2·5만 있으면 유한, 다른 소수(3·7⋯)가 있으면 순환
기억 그림 · 0.333… = ⅓ — 순환소수는 분수로 나타낼 수 있어!
순환소수는 일정한 자리 수가 반복돼요. 0.333…의 순환마디는 '3'. 순환소수는 분수로 나타낼 수 있어 유리수예요!
왜 분모 2·5면 딱 떨어질까
우리 수는 10진법이고 10 = 2 × 5예요. 분모를 10, 100, 1000…으로 만들 수 있으면 소수로 깔끔히 떨어져요. 그러려면 분모에 2와 5만 있으면 돼요. 3이나 7이 끼면 10의 거듭제곱이 못 되어 되풀이가 생겨요.분수 → 소수, 빠른 판별법
기약분수를 만들고 분모의 소인수를 확인해요. 분모 = 2ᵃ × 5ᵇ 이면 유한소수, 다른 소인수가 있으면 순환소수. 예: 7/12 → 분모 12 = 2² × 3 → 3이 있으니 순환소수. 분자는 관계없어요!순환소수 표기와 분수 변환 실수
0.3̄ = 1/3이지만 0.3 ≠ 1/3이에요. 순환마디 표시(점)를 빠뜨리지 마세요. 분수로 바꿀 때 10×(원래수) − (원래수) = 정수가 되게 하는 거예요. 예: x=0.333... → 10x=3.333... → 9x=3 → x=1/3.움직이는 그림 — 순환소수를 분수로
0.777⋯ 을 분수로 바꿔요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
순환소수 → 분수 — 10의 거듭제곱을 곱해 빼요
순환마디(되풀이 숫자)의 자릿수만큼 10, 100, …을 곱한 뒤, 원래 수를 빼면 순환 부분이 싹 사라져요. 예: x = 0.(7) → 10x − x = 7 → 9x = 7 → x = 7/9. 두 자리면 100을 곱해요(0.(36) → 99x = 36).
기억해요 — 순환마디가 한 자리면 9로, 두 자리면 99로 나눈다
①한 자리 순환
0.(a) = a/9. 예) 0.(4) = 4/9.
②두 자리 순환
0.(ab) = ab/99. 예) 0.(36) = 36/99 = 4/11.
③섞인 순환
0.1(6) = (16−1)/90 = 15/90 = 1/6.
④검산
구한 분수를 다시 나눠 원래 순환소수가 나오면 OK.
유리수의 정체
유한소수도 순환소수도 모두 분수(정수/정수)로 쓸 수 있어요 — 즉 유리수예요. 반대로 0.1010010001⋯처럼 규칙 없이 안 끝나는 수는 분수로 못 써요(무리수). 3학년 실수에서 다시 만나요.
스스로 풀어요 (3단계)
분수↔소수, 유한·순환 구분부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 순환소수→분수를 ‘×10ⁿ 한 뒤 빼기’ 한 가지로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 유한소수 판별은 ‘분모에 2·5만?’ 한 물음으로 끝내게 했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 분수↔소수, 순환소수↔기약분수, 유한/순환 판별이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 순환마디 자리·자릿수 합·0.999=1·혼합순환·대소 비교까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1순환마디 자리
0.(285714) 의 소수점 아래 50번째 자리의 숫자는?
답: 8
순환마디 285714의 길이 6. 50 = 6×8 + 2 → 2번째 자리 8
순환마디 285714의 길이 6. 50 = 6×8 + 2 → 2번째 자리 8
2유한 조건
분수 a/30 (a는 1부터 10까지의 자연수)이 유한소수가 되는 a는 모두 몇 개인가요?
답: 3개
30=2×3×5. 3을 약분하려면 a가 3의 배수 → 3, 6, 9 → 3개
30=2×3×5. 3을 약분하려면 a가 3의 배수 → 3, 6, 9 → 3개
3순환소수 곱
0.(3) × 0.(6) 을 기약분수로 나타내면?
답: 2/9
(1/3) × (2/3) = 2/9
(1/3) × (2/3) = 2/9
4대소
0.(3) 과 1/3 중 더 큰 것은?
답: 같다 (0.(3) = 1/3)
0.(3) = 3/9 = 1/3 이므로 두 수는 같아요
0.(3) = 3/9 = 1/3 이므로 두 수는 같아요
5자릿수 합
0.(142857) 한 순환마디의 각 자리 숫자의 합은?
답: 27
1+4+2+8+5+7 = 27
1+4+2+8+5+7 = 27
6순환소수 방정식
x = 0.(6) 일 때, 3x + 1 의 값은?
답: 3
x = 2/3. 3×(2/3)+1 = 2+1 = 3
x = 2/3. 3×(2/3)+1 = 2+1 = 3
7순환마디
1/11 의 순환마디는 무엇인가요?
답: 09
1/11 = 0.0909⋯ = 0.(09) → 순환마디 09
1/11 = 0.0909⋯ = 0.(09) → 순환마디 09
8유한 만들기
분수 1/15 에 자연수를 곱해 유한소수로 만들려고 합니다. 곱하는 가장 작은 자연수는?
답: 3
15=3×5. 3을 없애려면 ×3 → 3/15=1/5 (유한소수)
15=3×5. 3을 없애려면 ×3 → 3/15=1/5 (유한소수)
90.999=1
0.5(3) 을 기약분수로 나타내면?
답: 8/15
0.5(3) = (53−5)/90 = 48/90 = 8/15
0.5(3) = (53−5)/90 = 48/90 = 8/15
10혼합순환
0.(12) 와 0.1(2) 중 더 큰 것은?
답: 0.1(2)
0.(12)=0.1212⋯, 0.1(2)=0.1222⋯ → 0.1(2)가 더 큼
0.(12)=0.1212⋯, 0.1(2)=0.1222⋯ → 0.1(2)가 더 큼
11대소 비교
0.(45) 를 기약분수로 나타내면?
답: 5/11
0.(45) = 45/99 = 5/11
0.(45) = 45/99 = 5/11
객관식 진단 퀴즈 — 유리수와순환소수
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 0.(a) 를 분수로
되풀이 숫자 7
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1유한소수(딱 떨어짐) · 순환소수(되풀이됨).
- 2기약분수 분모에 2·5만 있으면 유한소수.
- 3순환소수→분수: 10ⁿ 곱해 빼기 → 한 자리는 9, 두 자리는 99로.
- 4유한·순환소수 모두 분수로 쓰임 = 유리수.
이 단원의 말·기호
- 유한소수
- 자릿수가 끝나는 소수(0.25).
- 순환소수
- 같은 마디가 끝없이 반복(0.3̇).
- 순환마디
- 반복되는 숫자 덩어리.
- 기약분수
- 더 약분되지 않는 분수.
내 말로 설명하기
순환소수를 분수로 바꾸는 법을 한 줄로?
예시 — “x=0.7̇이면 10x=7.7̇. 빼면 9x=7이라 x=7/9. 10배 해서 빼면 순환 부분이 똑같이 지워져.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.