왜 식의 계산을 배울까?
문자가 든 식을 자유롭게 다루면 방정식·함수·도형 공식을 마음껏 변형할 수 있어요. 지수법칙은 큰 수·작은 수(과학적 표기), 컴퓨터 용량 계산의 바탕이고, 다항식 계산은 모든 대수의 기본 손놀림이에요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 지수법칙을 이해하고 쓴다. ② 단항식의 곱셈·나눗셈을 한다. ③ 다항식의 덧셈·뺄셈을 한다. ④ 괄호가 있는 식을 정리한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지를 떠올려 봐요.
① 2 × 2 × 2 를 거듭제곱으로 쓰면?
② 2x + 3x 는 얼마일까요?
① 2³ · ② 5x. 같은 것끼리 모으는 감각이 식의 계산의 핵심이에요.
지수법칙 — 거듭제곱끼리의 약속
같은 수를 여러 번 곱한 거듭제곱끼리는 규칙이 있어요. 곱하면 지수를 더하고(aᵐ×aⁿ=aᵐ⁺ⁿ), 거듭제곱의 거듭제곱은 지수를 곱하고((aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ), 나누면 지수를 빼요(aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ). 괄호는 각자에게 분배돼요((ab)ⁿ=aⁿbⁿ).
기억해요 — 곱하면 더하고, 거듭하면 곱하고, 나누면 뺀다
움직이는 그림 — a² × a³
지수가 왜 더해지는지 풀어 봐요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
단항식·다항식의 계산 — 같은 것끼리
단항식끼리 곱·나눗셈은 수는 수끼리, 문자는 지수법칙으로 처리해요. 다항식의 덧셈·뺄셈은 동류항(문자와 차수가 같은 항)끼리만 모아요. 뺄셈은 괄호 앞 −를 각 항의 부호를 바꿔 풀어요.
기억해요 — 동류항끼리만 더하고 뺀다. 괄호 앞 −는 부호를 모두 바꾼다
①곱셈
2x²·3x³ = (2·3)(x²·x³) = 6x⁵.
②나눗셈
12x⁵ ÷ 3x² = 4x³.
③괄호
(2a³)² = 2²·a⁶ = 4a⁶.
④다항식
2(x+3)+3(x−1) = 2x+6+3x−3 = 5x+3.
기억 그림 · 지수법칙: a³×a² = a⁵ — 밑이 같으면 지수 더하기!
밑이 같은 거듭제곱끼리 곱하면 지수를 더해요. 동류항(같은 문자·지수)끼리만 계산 가능 — 3x²+2x²=5x²이지만 3x²+2x는 더 못 해요!
왜 지수를 더하는 걸까
a³×a² 를 풀어 쓰면 (a·a·a)×(a·a) = a·a·a·a·a = a⁵예요. 곱하는 횟수를 세면 3+2=5가 돼요. 반대로 a⁵÷a² = a·a·a·a·a ÷ (a·a) = a³ 이니 나눌 땐 지수를 빼는 거예요.수로 확인해 보기
문자가 낯설면 수로 먼저 확인해요. 2³×2² = 8×4 = 32 = 2⁵. ✓ (3²)³ = 9³ = 729 = 3⁶. ✓ 규칙이 맞는지 작은 수로 직접 계산해 보는 습관이 중요해요!자주 틀리는 곳
지수끼리 더하지 마세요 — x² + x³ 은 x⁵가 아니에요(동류항이 아니라 더 못 묶음)! 곱할 때만 지수를 더해요. 또 (2a)³ = 8a³ 처럼 계수에도 지수가 적용됨을 잊지 마세요.다음으로
이 계산은 곱셈공식·인수분해(3학년)와 모든 함수식 정리의 바탕이에요. 문자 계산을 손에 익히면 방정식·함수가 훨씬 가벼워져요.
스스로 풀어요 (3단계)
지수법칙 기본, 동류항 덧셈부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 지수는 ‘곱하면 더, 나누면 빼, 거듭하면 곱’ 한 줄로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 다항식은 동류항만 모으기 한 가지 원칙으로 풀게 했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 지수법칙·단항식·다항식 계산이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
간단히 하세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 거듭제곱의 일의 자리·지수 대입·자릿수·지수 비교·곱셈 분배까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1끝자리 규칙
2¹⁰⁰ 의 일의 자리 숫자는?
답: 6
2의 거듭제곱의 일의 자리는 2,4,8,6 이 반복(주기 4). 100은 4의 배수 → 네 번째인 6
2의 거듭제곱의 일의 자리는 2,4,8,6 이 반복(주기 4). 100은 4의 배수 → 네 번째인 6
2지수 대입
2ˣ = a 일 때, 8ˣ 을 a로 나타내면?
답: a³
8ˣ = (2³)ˣ = 2^(3x) = (2ˣ)³ = a³
8ˣ = (2³)ˣ = 2^(3x) = (2ˣ)³ = a³
3자릿수
2⁵ × 5⁵ 은 몇 자리 수인가요?
답: 6자리
2⁵×5⁵ = (2×5)⁵ = 10⁵ = 100000 → 6자리
2⁵×5⁵ = (2×5)⁵ = 10⁵ = 100000 → 6자리
4식의 값
x = 2 일 때, (2x³ − x²) ÷ x 의 값은?
답: 6
(2x³−x²)÷x = 2x²−x. x=2 → 2×4−2 = 6
(2x³−x²)÷x = 2x²−x. x=2 → 2×4−2 = 6
5지수방정식
2^(x+1) = 16 일 때, x의 값은?
답: 3
16 = 2⁴ 이므로 x+1 = 4 → x = 3
16 = 2⁴ 이므로 x+1 = 4 → x = 3
6분배 역
어떤 다항식에 3x²을 곱했더니 6x⁵ − 9x³ 이 되었습니다. 어떤 다항식인가요?
답: 2x³ − 3x
(6x⁵−9x³) ÷ 3x² = 2x³ − 3x
(6x⁵−9x³) ÷ 3x² = 2x³ − 3x
7대입 정리
A = x² − 2x, B = 2x² + x 일 때, 2A + B 를 간단히 하면?
답: 4x² − 3x
2(x²−2x)+(2x²+x) = 2x²−4x+2x²+x = 4x²−3x
2(x²−2x)+(2x²+x) = 2x²−4x+2x²+x = 4x²−3x
8지수 비교
2¹⁰ 과 10³ 중 더 큰 것은?
답: 2¹⁰
2¹⁰ = 1024, 10³ = 1000 → 2¹⁰ 이 더 큼
2¹⁰ = 1024, 10³ = 1000 → 2¹⁰ 이 더 큼
9지수 곱
3ˣ = 5 일 때, 3^(x+2) 의 값은?
답: 45
3^(x+2) = 3ˣ × 3² = 5 × 9 = 45
3^(x+2) = 3ˣ × 3² = 5 × 9 = 45
10연속 나눗셈
(24a⁵b³) ÷ (2a²b) ÷ (3ab) 를 간단히 하면?
답: 4a²b
24a⁵b³÷2a²b = 12a³b². ÷3ab = 4a²b
24a⁵b³÷2a²b = 12a³b². ÷3ab = 4a²b
11곱셈 분배
2x(3x − 4) − x(x + 5) 를 간단히 하면?
답: 5x² − 13x
6x²−8x − (x²+5x) = 6x²−8x−x²−5x = 5x²−13x
6x²−8x − (x²+5x) = 6x²−8x−x²−5x = 5x²−13x
객관식 진단 퀴즈 — 식의계산
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 지수법칙 (곱셈)
xᵃ 의 a 2
xᵇ 의 b 3
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1지수법칙: 곱하면 더하고, 거듭하면 곱하고, 나누면 뺀다.
- 2괄호는 각자에게 분배: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
- 3단항식 곱·나눗셈 = 수는 수끼리, 문자는 지수법칙.
- 4다항식 = 동류항끼리만 더하고 뺀다.
이 단원의 말·기호
- 지수
- 거듭제곱에서 곱한 횟수(2³의 3).
- 단항식
- 수와 문자의 곱 하나로 된 식(3x²).
- 다항식
- 여러 항의 합으로 된 식.
- 동류항
- 문자와 차수가 같은 항(2x와 5x).
내 말로 설명하기
왜 같은 밑끼리 곱하면 지수를 더하는지 설명해 봐요.
예시 — “a²×a³ = (a·a)×(a·a·a)로 a가 2+3=5번 곱해져서 a⁵. 그래서 곱할 땐 지수를 더해.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.