왜 도형의 닮음을 배울까?
지도·축소 모형·사진 확대는 모두 닮음이에요. 닮음을 알면 직접 못 재는 나무·건물의 높이도 그림자로 구할 수 있어요. 닮음비와 넓이·부피의 관계는 과학·공학에서 두루 쓰여요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 닮음과 닮음비를 이해한다. ② 삼각형의 닮음조건(AA·SAS·SSS)을 안다. ③ 넓이비·부피비를 구한다. ④ 닮음으로 길이를 구한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① 모양이 같고 크기만 다른 두 도형의 관계는?
② 한 변을 2배로 늘리면 정사각형 넓이는 몇 배?
① 닮음 · ② 4배(2²). 길이는 비, 넓이는 그 제곱으로 커져요.
닮음 — 모양은 그대로, 크기만 다르게
한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소한 도형은 원래 도형과 닮음이에요(기호 ∽). 닮은 두 도형에서 대응하는 변의 길이의 비는 모두 같고, 이 비를 닮음비라 해요. 대응하는 각의 크기는 그대로예요(모양이 같으니까).
기억해요 — 닮음 = 모양 같고 크기만 다름. 대응변의 비(닮음비)는 일정, 대응각은 같음
움직이는 그림 — 2배로 확대하면 닮음
작은 도형을 확대해 닮은 도형을 만들어요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
닮음비와 넓이비·부피비 — 제곱·세제곱으로
닮음비가 m : n이면, 둘레의 비도 m : n이에요. 그런데 넓이의 비는 m² : n², 부피의 비는 m³ : n³으로 커져요. 길이는 한 줄, 넓이는 두 방향, 부피는 세 방향으로 늘어나니까요. 삼각형은 두 각이 같으면(AA) 닮음이에요.
기억해요 — 닮음비 m:n → 둘레 m:n, 넓이 m²:n², 부피 m³:n³
①닮음조건
AA(두 각)·SAS(두 변의 비와 낀각)·SSS(세 변의 비).
②둘레비
닮음비와 같음 (m : n).
③넓이비
닮음비의 제곱 (m² : n²).
④부피비
닮음비의 세제곱 (m³ : n³).
기억 그림 · 닮음 = 모양은 같고 크기만 다른 관계
닮음인 두 도형은 대응하는 각이 같고, 대응하는 변의 비(닮음비)가 일정해요. SSS, SAS, AA 닮음 조건 중 하나를 만족하면 닮음이에요!
왜 넓이비는 제곱일까
가로·세로가 모두 2배가 되면 넓이는 2×2 = 4배가 돼요. 닮음비 2:1이면 넓이비 4:1. 같은 이치로 부피는 가로·세로·높이 세 방향이라 2×2×2 = 8배가 됩니다.닮음비를 비례식으로 빠르게 구하기
대응변을 한 쌍만 알아도 돼요. 예: 두 삼각형에서 대응변이 6과 4라면 닮음비 = 6:4 = 3:2. 이 비를 나머지 모든 변에 적용하면 모르는 길이를 한 번에 구할 수 있어요.대응 꼭짓점 순서 실수
△ABC∽△DEF이면 A↔D, B↔E, C↔F가 대응이에요. 닮음비를 구할 때 반드시 같은 위치의 대응 변끼리 비교해야 해요. 꼭짓점 순서가 틀리면 닮음비, 각도, 변의 비가 모두 틀려요.어디에 쓰나
지도의 축척, 모형과 실물, 닮음을 이용한 높이 재기(그림자·거울)에 쓰여요. 다음 단원 닮음의 활용에서 평행선과 무게중심으로 이어집니다.
스스로 풀어요 (3단계)
닮음비로 대응변·둘레 구하기부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 닮음을 ‘길이는 비, 넓이는 제곱, 부피는 세제곱’ 한 줄로 정리했어요. ‘더 간결하게’: 닮음 판별은 ‘두 각만 같으면(AA)’ 가장 빠른 길을 앞세웠습니다.
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 중점연결·평행선 비·넓이 분할·축척 넓이·부피비·직각삼각형 닮음까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1중점 연결
삼각형의 두 변의 중점을 이은 선분은 나머지 한 변과 어떤 관계이고, 길이는 몇 배인가요?
답: 평행하고 길이는 ½배
중점연결정리: 평행하고 길이는 ½배
중점연결정리: 평행하고 길이는 ½배
2평행선 비
삼각형 ABC에서 변 AB, AC 위의 점 D, E에 대해 DE∥BC이고 AD : DB = 1 : 2일 때, DE : BC는?
답: 1 : 3
AD : AB = 1 : 3 → DE : BC = 1 : 3
AD : AB = 1 : 3 → DE : BC = 1 : 3
3넓이 차
닮음비가 1 : 3인 두 삼각형의 넓이의 차가 32일 때, 작은 삼각형의 넓이는?
답: 4
넓이비 1 : 9, 차 8칸 = 32 → 1칸 = 4 → 작은 넓이 4
넓이비 1 : 9, 차 8칸 = 32 → 1칸 = 4 → 작은 넓이 4
4그림자
길이 1m인 막대의 그림자가 0.8m일 때, 같은 시각 그림자가 4m인 나무의 높이는?
답: 5m
1 : 0.8 = h : 4 → h = 5m
1 : 0.8 = h : 4 → h = 5m
5부피비
원뿔 모양 그릇에 물을 높이의 절반까지 채우면, 물의 부피는 그릇 전체 부피의 몇 분의 몇인가요?
답: 1/8
닮음비 1 : 2 → 부피비 1 : 8 → 물은 전체의 1/8
닮음비 1 : 2 → 부피비 1 : 8 → 물은 전체의 1/8
6축척 넓이
축척 1 : 1000인 지도에서 넓이가 6cm²인 땅의 실제 넓이는 몇 m²인가요?
답: 600m²
넓이비 1 : 1000² → 6 × 1000000 = 6000000cm² = 600m²
넓이비 1 : 1000² → 6 × 1000000 = 6000000cm² = 600m²
7직각삼각형 닮음
직각삼각형의 직각인 꼭짓점에서 빗변에 내린 수선은 원래 삼각형과 닮은 삼각형을 만드나요?
답: 예 (닮음이다)
직각삼각형에서 빗변에 내린 수선은 원래와 닮은 두 삼각형을 만들어요
직각삼각형에서 빗변에 내린 수선은 원래와 닮은 두 삼각형을 만들어요
8둘레 합
닮음비가 3 : 5인 두 도형의 둘레의 합이 32일 때, 작은 도형의 둘레는?
답: 12
둘레비 3 : 5, 합 8칸 = 32 → 1칸 = 4 → 작은 둘레 3×4 = 12
둘레비 3 : 5, 합 8칸 = 32 → 1칸 = 4 → 작은 둘레 3×4 = 12
9넓이 분할
삼각형 ABC에서 변 AB, AC의 중점 D, E를 이을 때, 삼각형 ADE와 사다리꼴 DBCE의 넓이의 비는?
답: 1 : 3
△ADE : △ABC = 1 : 4 → △ADE : 사다리꼴 = 1 : 3
△ADE : △ABC = 1 : 4 → △ADE : 사다리꼴 = 1 : 3
10부피비
닮은 두 공의 반지름의 비가 2 : 3일 때, 큰 공의 부피는 작은 공의 몇 배인가요?
답: 27/8배
부피비 = (3/2)³ = 27/8
부피비 = (3/2)³ = 27/8
11축척
실제 거리 3km를 지도에 6cm로 나타낸 지도의 축척은?
답: 1 : 50000
6cm : 3km = 6cm : 300000cm = 1 : 50000
6cm : 3km = 6cm : 300000cm = 1 : 50000
객관식 진단 퀴즈 — 도형의닮음
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 닮음비와 넓이비
닮음비 1 : a 2
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1닮음 = 모양 같고 크기만 다름(대응각 같음).
- 2닮음비 m:n → 둘레비도 m:n.
- 3넓이비 = 닮음비의 제곱 (m²:n²).
- 4부피비 = 닮음비의 세제곱 (m³:n³).
이 단원의 말·기호
- 닮음
- 확대·축소해 포갤 수 있는 관계(∽).
- 닮음비
- 대응하는 변의 길이의 비.
- 대응변
- 닮은 도형에서 서로 짝이 되는 변.
- AA 닮음
- 두 각이 같으면 닮음.
내 말로 설명하기
넓이비가 왜 닮음비의 제곱인지 한 줄로?
예시 — “닮음비 1:2면 가로도 세로도 2배. 넓이는 2×2=4배라 넓이비는 1:4(=2²). 부피는 세 방향이라 1:8(=2³).”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.