연 수학 · 중2 — 닮음의 활용(평행선·무게중심)

닮음의 활용 — 나무 그림자 측량 — 그림: 연라이프 살아있는 수학교과서 AI 생성(Nano Banana 2) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.

왜 닮음의 활용을 배울까?

평행선이 만드는 일정한 비와 삼각형의 무게중심은 측량·건축·디자인에서 길이를 재고 균형을 잡는 데 쓰여요. 닮음을 ‘써먹는’ 단원으로, 추상적인 비례가 현실 문제로 살아나요.

닮음의 활용 — 왜 배울까 장면 — 그림: 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.

AI 선생님 목소리로 이 단원을 소개해 드려요

수퍼톤(HYBE) 음성 · 연라이프 수학교과서

이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 평행선이 만드는 선분의 비를 안다. ② 중점연결정리를 쓴다. ③ 삼각형의 무게중심(2:1)을 이해한다. ④ 닮음으로 길이를 구한다.

읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 — 왜 그럴까 원리·직관 · 다른 방법 또 다른 풀이 · 흔한 실수 자주 틀리는 곳 · 더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.

출발 점검 — 준비됐나요?

이 두 가지를 떠올려 봐요.

① 삼각형 두 변의 중점을 이은 선은 밑변의 몇 배?

② 무게중심은 중선을 어떤 비로 나눌까요?

① ½(절반) · ② 2 : 1. 이 두 비만 알면 대부분 풀려요.

평행선과 선분의 비 — 닮음이 만드는 비례

삼각형에서 한 변에 평행한 선을 그으면 다른 두 변을 같은 비로 나눠요(닮음 때문에). 두 변의 중점을 이은 선은 나머지 변과 평행하고 길이는 절반이에요(중점연결정리). 이 비례가 길이를 재는 강력한 도구가 돼요. 기억해요 — 평행선은 두 변을 같은 비로 나눈다. 중점 잇는 선 = 밑변의 절반

움직이는 그림 — 무게중심은 중선을 2:1로

삼각형의 중선과 무게중심을 봐요. ▶ 다시보기·한 단계씩.

이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.

삼각형의 무게중심 — 균형을 잡는 한 점

각 꼭짓점과 마주보는 변의 중점을 이은 선을 중선이라 해요. 세 중선은 한 점에서 만나고, 그 점이 무게중심 G예요. G는 각 중선을 꼭짓점 쪽부터 2 : 1로 나눠요. 삼각형이 균형을 이루는(매달면 수평이 되는) 바로 그 점이에요. 기억해요 — 무게중심은 중선을 ‘꼭짓점:중점 = 2:1’로 나눈다

①평행선과 비

평행선은 두 변을 같은 비로 나눔.

②중점연결

두 중점 이은 선 = 밑변과 평행, 길이 절반.

③중선

꼭짓점 ↔ 대변의 중점을 잇는 선.

④무게중심

세 중선의 교점. 중선을 2 : 1로 나눔.

기억 그림 · 닮음비로 실제 거리·높이를 계산할 수 있다

닮음을 이용하면 직접 잴 수 없는 높이나 거리를 구할 수 있어요. 지도의 축척, 건물 높이 측정, 터널 설계까지 — 닮음비가 같으면 미지수를 풀 수 있어요!

왜 평행선이 두 변을 같은 비로 나눌까

삼각형에 평행선을 그으면 작은 삼각형과 큰 삼각형이 AA 닮음이 돼요. 닮음이면 대응하는 변의 비가 일정하므로 두 변이 같은 비로 나뉘는 거예요. 닮음이 핵심 근거입니다.

무게중심이 나누는 작은 삼각형

세 중선은 큰 삼각형을 넓이가 똑같은 6개의 작은 삼각형으로 나눠요. 그래서 무게중심을 알면 넓이를 6등분·3등분으로 빠르게 나눌 수 있어요.

닮음비·넓이비·부피비 혼동

닮음비가 m:n이면 넓이비는 m²:n², 부피비는 m³:n³이에요. 많이들 닮음비를 그대로 넓이비로 쓰는 실수를 해요. 예: 닮음비 2:3이면 넓이비는 4:9, 부피비는 8:27이에요.

실생활 속 무게중심

삼각판을 손가락 하나로 받칠 수 있는 점, 모빌의 균형점이 모두 무게중심이에요. 닮음과 평행선의 비는 측량·건축에서 거리를 재는 데 쓰여요.

닮음의활용 개념 삽화 — 그림: 연라이프 살아있는 수학교과서 AI 생성(Nano Banana 2) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.

스스로 풀어요 (3단계)

중점연결·무게중심의 2:1 기본부터.

비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 모든 길이를 ‘닮음이 만드는 같은 비’ 하나로 보게 했어요. ‘더 간결하게’: 무게중심은 ‘2:1’ 한 비율로 즉시 답하게 했습니다.

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

한 가지 유형만 반복하지 않아요. 무게중심 좌표·중점 삼각형·비례중항·사다리꼴 중점선·넓이 분할·평행선 비까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.

1무게중심 좌표

세 꼭짓점이 (0, 0), (9, 0), (0, 6)인 삼각형의 무게중심의 좌표는?

2평행선 비

평행한 세 직선이 한 직선을 3 : 4로 나눕니다. 다른 직선에서 위 칸이 6일 때, 아래 칸은?

3중점 삼각형

삼각형 세 변의 중점을 이어 만든 가운데 작은 삼각형의 넓이가 5일 때, 원래 삼각형의 넓이는?

4사다리꼴 중점선

윗변 8, 아랫변 12인 사다리꼴에서 두 다리의 중점을 이은 선분의 길이는?

5무게중심 넓이

삼각형 ABC의 무게중심 G에 대하여, 삼각형 GBC의 넓이는 삼각형 ABC의 몇 분의 몇인가요?

6비례중항

직각삼각형에서 빗변에 내린 수선의 길이는, 빗변을 나눈 두 부분 6과 4의 비례중항입니다. 그 길이는?

7그림자

막대 2m의 그림자가 1.5m일 때, 같은 시각 그림자가 12m인 탑의 높이는?

8평행선 조합

닮은 두 삼각형에서 대응 길이의 비가 2 : 5이고 작은 쪽 길이가 6일 때, 큰 쪽 길이는?

9무게중심 길이

한 변이 6인 정삼각형의 무게중심에서 한 꼭짓점까지의 거리는?

10넓이 분할

삼각형에서 한 변을 1 : 2로 나누는 점과 마주보는 꼭짓점을 이으면, 나뉜 두 삼각형의 넓이의 비는?

11평행선 세 직선

평행한 세 직선이 한 직선을 3, 5의 두 부분으로 나눕니다. 다른 직선의 위 부분이 6이면 아래 부분은?

객관식 진단 퀴즈 — 닮음의활용

5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.

직접 해보기 — 무게중심까지의 거리

중선의 길이 12

틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.

한 장 핵심

1평행선은 두 변을 같은 비로 나눈다.
2중점연결정리: 두 중점 이은 선 = 밑변의 절반.
3무게중심 = 세 중선의 교점.
4무게중심은 중선을 2 : 1로 나눈다.

이 단원의 말·기호

중선: 꼭짓점과 대변의 중점을 잇는 선분.
무게중심: 세 중선이 만나는 점(균형점).
중점연결정리: 두 중점 이은 선은 밑변과 평행, 절반.
평행선의 비: 평행선이 두 변을 같은 비로 나눔.

내 말로 설명하기

무게중심의 2:1 비를 한 줄로 설명해 봐요.

예시 — “무게중심은 중선을 꼭짓점 쪽 2, 중점 쪽 1로 나눠. 그래서 꼭짓점에서 무게중심까지가 중선의 2/3야.”

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.

1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?

2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)

3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)

잘 알아요 거의 복습 필요 아직

복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5

1번째 복습 2번째 3번째 4번째

어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.

왜 닮음의 활용을 배울까?

출발 점검 — 준비됐나요?

평행선과 선분의 비 — 닮음이 만드는 비례

움직이는 그림 — 무게중심은 중선을 2:1로

삼각형의 무게중심 — 균형을 잡는 한 점

①평행선과 비

②중점연결

③중선

④무게중심

왜 평행선이 두 변을 같은 비로 나눌까

무게중심이 나누는 작은 삼각형

닮음비·넓이비·부피비 혼동

실생활 속 무게중심

스스로 풀어요 (3단계)

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

객관식 진단 퀴즈 — 닮음의활용

직접 해보기 — 무게중심까지의 거리

한 장 핵심

이 단원의 말·기호

내 말로 설명하기

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

눈을 감아요

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