왜 평면도형의 성질을 배울까?
타일·창문·시계·피자 조각… 다각형과 원은 생활 곳곳에 있어요. 내각의 합, 부채꼴의 호·넓이를 알면 직접 재지 않고도 길이와 넓이를 구할 수 있어요. 작도·합동은 도형 증명의 출발점이에요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 다각형의 내각·외각의 합을 구한다. ② 정다각형의 한 내각·외각을 구한다. ③ 부채꼴의 호의 길이·넓이를 구한다. ④ 작도와 합동의 뜻을 안다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지를 떠올려 봐요.
① 삼각형 세 각의 합은 몇 도일까요?
② 사각형은 삼각형 몇 개로 나눌 수 있나요?
① 180° · ② 2개(→ 360°). 다각형을 삼각형으로 쪼개는 게 핵심 열쇠예요.
다각형의 내각의 합 — 삼각형으로 쪼개요
어떤 다각형이든 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 여러 삼각형으로 나뉘어요. 삼각형 하나의 내각은 늘 180°죠. n각형은 (n − 2)개의 삼각형으로 나뉘니, 내각의 합은 (n − 2) × 180°예요. 한편 외각의 합은 어떤 다각형이든 항상 360°랍니다.
기억해요 — 내각의 합 = (n − 2) × 180°, 외각의 합 = 언제나 360°
움직이는 그림 — 오각형의 내각의 합
오각형을 삼각형으로 나눠 봐요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
원과 부채꼴 — 중심각에 비례해요
부채꼴은 원을 중심각만큼 잘라낸 ‘피자 한 조각’이에요. 호의 길이와 넓이는 중심각에 정비례해요. 반지름 r, 중심각 x°라면 — 호의 길이는 원둘레의 x/360, 넓이는 원 넓이의 x/360만큼이에요. 호 = 2πr · (x/360), 넓이 = πr² · (x/360).
기억해요 — 부채꼴 = 원의 한 조각. 호도 넓이도 ‘중심각만큼(x/360)’
①내각의 합
(n − 2) × 180°. 삼각형 개수 × 180.
②정n각형 한 내각
내각의 합 ÷ n. 또는 180 − (한 외각).
③외각의 합
어떤 다각형도 360°. 정n각형 한 외각 = 360 ÷ n.
④부채꼴
호·넓이 모두 중심각 x에 비례 (× x/360).
기억 그림 · 삼각형과 내각
삼각형 내각의 합은 항상 180°! 세 종류: 예각(모두 < 90°), 직각(하나 = 90°), 둔각(하나 > 90°).
부채꼴 넓이의 또 다른 식
호의 길이 ℓ을 알면 넓이 = ½ · r · ℓ 로도 구해요 (삼각형 ½·밑변·높이와 닮은꼴!). 중심각을 몰라도 반지름과 호만 있으면 넓이가 나와요.작도와 합동
눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 정확히 그리는 게 작도예요. 두 도형이 포개지면 합동(기호 ≡). 삼각형의 합동조건(SSS·SAS·ASA)은 2학년 도형 증명의 출발점이에요.
스스로 풀어요 (3단계)
내각의 합, 정다각형 한 내각, 원·부채꼴의 기본부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 다각형은 ‘삼각형 몇 개로 쪼개지나’ 하나로, 부채꼴은 ‘× x/360’ 하나로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 정다각형은 한 외각(360÷n)에서 거꾸로 빨리 풀게 했습니다.
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 내각·외각 비·대각선 개수·부채꼴 둘레·별 모양 각합·분침 각·평면 채우기까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1내각·외각 비
한 내각이 한 외각의 5배인 정다각형은 몇 각형인가요?
답: 정십이각형
내각=5외각, 합 180 → 외각 30, 360÷30 = 12
내각=5외각, 합 180 → 외각 30, 360÷30 = 12
2별 모양 각합
정오각별(★)의 다섯 꼭짓점에 있는 각의 크기의 합은?
답: 180°
정오각별의 다섯 꼭짓점 각의 합은 180°
정오각별의 다섯 꼭짓점 각의 합은 180°
3대각선 개수
대각선의 총 개수가 35개인 다각형은 몇 각형인가요?
답: 십각형
n(n−3)/2 = 35 → n = 10
n(n−3)/2 = 35 → n = 10
4부채꼴 둘레
반지름 6, 중심각 60°인 부채꼴의 둘레(호 + 두 반지름)의 길이는?
답: 2π + 12
호 = 2π, 두 반지름 = 12 → 2π + 12
호 = 2π, 두 반지름 = 12 → 2π + 12
5부채꼴 호
반지름 6인 부채꼴의 중심각이 정육각형의 한 내각과 같을 때, 호의 길이는?
답: 4π
중심각 120° → 호 = 2π×6×(120/360) = 4π
중심각 120° → 호 = 2π×6×(120/360) = 4π
6분침 각
시계의 분침이 20분 동안 움직이는 각도는?
답: 120°
분침은 1분에 6° → 20×6 = 120°
분침은 1분에 6° → 20×6 = 120°
7정다각형 판별
한 내각이 156°인 정다각형은 몇 각형인가요?
답: 정십오각형
외각 = 24, 360÷24 = 15
외각 = 24, 360÷24 = 15
8평면 채우기
정육각형 모양 타일로 평면을 빈틈없이 채울 때, 한 점에 모이는 정육각형은 몇 개인가요?
답: 3개
정육각형 한 내각 120°, 360÷120 = 3
정육각형 한 내각 120°, 360÷120 = 3
9부채꼴 넓이비
반지름이 같고 중심각이 각각 90°, 180°인 두 부채꼴의 넓이의 비는?
답: 1 : 2
넓이는 중심각에 비례 → 90 : 180 = 1 : 2
넓이는 중심각에 비례 → 90 : 180 = 1 : 2
10원의 둘레
원의 둘레의 길이가 12π일 때, 이 원의 반지름은?
답: 6
2πr = 12π → r = 6
2πr = 12π → r = 6
11외각 약수
정n각형의 한 외각의 크기가 자연수가 되는 n 중 가장 큰 두 자리 수는?
답: 90
한 외각 = 360/n 이 자연수 → n은 360의 약수. 두 자리 약수 중 최대 = 90
한 외각 = 360/n 이 자연수 → n은 360의 약수. 두 자리 약수 중 최대 = 90
객관식 진단 퀴즈 — 평면도형의성질
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 다각형 내각의 합
n각형의 n 5
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1내각의 합 = (n−2)×180° (삼각형 (n−2)개).
- 2외각의 합 = 항상 360° (어떤 다각형이든).
- 3정n각형: 한 내각 = 내각합÷n, 한 외각 = 360÷n.
- 4부채꼴: 호·넓이 모두 중심각에 비례(×x/360).
이 단원의 말·기호
- 내각
- 다각형 안쪽의 각.
- 외각
- 한 변을 연장한 바깥쪽 각.
- 부채꼴
- 원을 중심각만큼 잘라낸 부분.
- 호
- 원둘레의 일부(부채꼴의 곡선 변).
내 말로 설명하기
다각형 내각의 합 공식을 왜 그렇게 쓰는지 설명해 봐요.
예시 — “n각형은 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 삼각형 (n−2)개로 나뉘어. 삼각형 하나가 180°니까 (n−2)×180°.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.