연 수학›중학교 1학년›정비례·반비례
중학교 1학년 · 변화와 관계
YEON MATH · GRADE 7

좌표평면과 그래프

순서쌍 · 정비례 y=ax · 반비례 y=a/x

정비례와 반비례 — 두 곡선
그림: 연라이프 살아있는 수학교과서 AI 생성(Nano Banana 2) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.

왜 정비례·반비례를 배울까?

속력과 거리, 물건 값과 총액처럼 두 양이 함께 변하는 관계는 세상에 정말 많아요. 그 관계를 식과 그래프로 그리면 예측할 수 있어요. 2학년 일차함수, 과학의 그래프 해석으로 곧장 이어져요.

좌표평면과 그래프 — 왜 배울까 장면
그림: 연라이프 「살아있는 수학교과서」 · AI 생성(Nano Banana Pro) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.
AI 선생님 목소리로 이 단원을 소개해 드려요
수퍼톤(HYBE) 음성 · 연라이프 수학교과서
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 좌표평면에 점을 나타내고 사분면을 안다. ② 정비례 y=ax를 이해하고 그래프를 그린다. ③ 반비례 y=a/x를 이해한다. ④ 그래프로 생활 속 관계를 해석한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 — 왜 그럴까 원리·직관 · 다른 방법 또 다른 풀이 · 흔한 실수 자주 틀리는 곳 · 더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.

출발 점검 — 준비됐나요?

이 두 가지를 떠올려 봐요.

① 점 (3, 2)에서 앞의 3은 가로·세로 중 무엇인가요?
② 한 개에 500원인 사탕 4개의 값은?
① 가로(x) · ② 2000원. 개수가 2배면 값도 2배 — 이게 정비례예요.

좌표평면 — 점에 ‘주소’를 붙여요

가로 직선(x축)과 세로 직선(y축)이 만나면, 평면 위의 모든 점에 (x, y)라는 주소가 생겨요. 도시의 ‘몇 번가, 몇 번지’처럼요. 두 축이 만나는 곳이 원점 O(0, 0). 네 구역을 사분면이라 부르고, 부호로 어느 칸인지 알 수 있어요. 기억해요 — 점의 주소는 (가로 x, 세로 y) 순서. 순서를 바꾸면 다른 점!

(x, y) 순서를 헷갈려요

(3, 2)와 (2, 3)은 다른 점이에요. 항상 가로(x) 먼저, 세로(y) 나중. x축 위의 점은 y=0, y축 위의 점은 x=0 이에요.

사분면을 외우는 다른 방법 — 부호 패턴으로

사분면 번호 대신 부호 쌍으로 기억해요. 1사분면(+,+), 2사분면(−,+), 3사분면(−,−), 4사분면(+,−). 시계 반대 방향으로 돌면서 x부호가 +→−→−→+ 로 바뀌어요. "도시 주소에서 동쪽(+x)·북쪽(+y)이 1사분면" 으로 연결 지으면 더 쉽게 기억할 수 있어요.

정비례 y = ax — 원점을 지나는 직선

x가 2배, 3배가 될 때 y도 똑같이 2배, 3배가 되면 정비례예요. 식으로는 y = ax. a를 비례상수라 하고, 그래프는 원점을 지나는 곧은 직선이에요. a가 클수록 더 가파르고, a가 음수면 오른쪽 아래로 내려가요. 기억해요 — 정비례 = 원점을 지나는 직선, a는 ‘기울기(가파른 정도)’

움직이는 그림 — y = 2x 그래프 그리기

점을 하나씩 찍고 직선으로 이어요. ▶ 다시보기·한 단계씩 볼 수 있어요.

y x O (1, 2) (2, 4) (3, 6) y = 2x

이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.

반비례 y = a/x — 한쪽이 커지면 다른 쪽은 작아져요

넓이가 정해진 직사각형은 가로가 길어지면 세로가 짧아지죠. 이렇게 x가 2배면 y가 ½배가 되면 반비례: y = a/x (즉 xy = a로 일정). 그래프는 직선이 아니라 매끄러운 곡선 두 갈래예요. 기억해요 — 반비례는 곱이 일정(xy = a). 한쪽이 커지면 다른 쪽은 작아진다

①정비례 찾기

x로 나눈 값 y/x 가 항상 같으면 정비례. 그 값이 a.

②반비례 찾기

곱 x·y 가 항상 같으면 반비례. 그 값이 a.

③그래프 모양

정비례=원점 지나는 직선, 반비례=두 갈래 곡선.

④지나는 점으로 a

한 점 (p, q)를 식에 넣으면 a를 바로 구해요.

기억 그림 · 정비례 vs 반비례 y x O y=ax x가 2배 → y도 2배 y x O y=a/x x가 2배 → y는 ½배
정비례: x가 커지면 y도 같이 커져요(y=ax). 반비례: x가 커지면 y는 작아져요(y=a/x).

왜 반비례 그래프는 곡선일까

xy = a 가 일정하므로, x가 커지면 y는 그만큼 작아져야 해요. 0에 가까이 갈수록 급히 치솟고 멀어질수록 0에 바싹 붙어요 — 그래서 직선이 아니라 부드러운 곡선이 됩니다.

표(값 목록)로 정비례·반비례 판별하기

식 없이 표만 있어도 판별할 수 있어요. y ÷ x가 모두 같으면 정비례, x × y가 모두 같으면 반비례. 한 쌍의 (x, y)로 a를 구한 뒤 나머지 쌍이 y=ax 또는 y=a/x를 만족하는지 확인하는 방법도 같은 원리예요. 그래프를 그리기 전에 표부터 채워 보면 식의 모양이 바로 보여요.

생활 속 정비례·반비례

정비례: 속력이 일정할 때 시간과 거리, 물건 1개 값과 총액. 반비례: 일정한 일을 나눌 때 사람 수와 걸리는 시간, 톱니 수와 회전수. 2학년 일차함수로 이어져요.
정비례반비례 개념 삽화
그림: 연라이프 살아있는 수학교과서 AI 생성(Nano Banana 2) — 자유롭게 가져가 쓰셔도 좋아요, 출처는 꼭.

스스로 풀어요 (3단계)

비례상수 구하기, 정비례·반비례 값 찾기부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 정비례는 y/x, 반비례는 x·y — 한 값이 일정한지만 보면 구분돼요. ‘더 간결하게’: a는 지나는 점 하나만 대입하면 바로 나오게 했습니다.

새 문제로 무한 연습

버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 정비례·반비례의 값과 비례상수가 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.

1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1

특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전

한 가지 유형만 반복하지 않아요. 자연수 점의 개수·교점·톱니바퀴·넓이 일정·그래프 사분면까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.

1정비례 점
두 점 (2, 6)과 (5, k)가 같은 정비례 그래프 위에 있을 때, k는?
2자연수 점
반비례 y = 36/x 그래프 위의 점 중 x좌표, y좌표가 모두 자연수인 점은 몇 개인가요?
3곱 일정
정비례 y=ax 와 반비례 y=b/x 가 점 (3, 6)에서 만날 때, a × b의 값은?
4교점
y = 3x 와 y = 12/x 의 교점 중 제1사분면에 있는 점의 좌표는?
5반비례 시간
거리 120km를 시속 x km로 갈 때 걸리는 시간 y는 반비례합니다. 시속 40km면 몇 시간 걸리나요?
6부호
정비례 y=ax 의 그래프가 제2사분면과 제4사분면을 지나면, a의 부호는?
7반비례 변화
반비례 y=a/x 에서 x가 2배가 되면 y는 몇 배가 되나요?
8두 점 기울기
정비례 y=ax 위의 두 점 (1, m)과 (4, m+9)에서 a는?
9톱니 회전
맞물려 도는 두 톱니바퀴에서 톱니 30개가 분당 20회전이면, 톱니 24개는 분당 몇 회전인가요?
10넓이 일정
넓이가 48로 일정한 직사각형에서 가로가 8일 때 세로는?
11정비례 점
정비례 그래프 y=ax 가 점 (−3, 9)를 지날 때, a는?

객관식 진단 퀴즈 — 정비례반비례

5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.

직접 해보기 — 정비례 y = ax

비례상수 a 2 x 3
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.

한 장 핵심

이 단원의 말·기호

좌표
점의 위치 (x, y).
사분면
좌표평면의 네 구역.
정비례
x가 2배면 y도 2배. y=ax.
반비례
x가 2배면 y는 ½배. y=a/x.

내 말로 설명하기

정비례와 반비례의 차이를 한 줄로?

예시 — “정비례는 x가 늘면 y도 같은 비로 늘어(직선). 반비례는 곱이 일정해서 x가 늘면 y가 줄어(곡선).”

이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?

기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.

1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)

◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트

내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)

잘 알아요 거의 복습 필요 아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.
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눈을 감아요

방금 배운 정비례와 반비례을 머릿속에 천천히 그려 봐요.
좌표(x, y) → 정비례(직선) → 반비례(곡선)
떠오르는 만큼만, 괜찮아요.

떠오르는 동안 잠시 기다려요…

이 교과서를 내 기기에 담아둘까요?
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