왜 입체도형을 배울까?
상자·캔·공처럼 우리가 쓰는 물건은 모두 입체예요. 겉넓이를 알면 포장지·페인트가 얼마나 들지, 부피를 알면 담기는 양을 알 수 있어요. 전개도로 펼쳐 보는 눈은 설계·디자인의 기본이에요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 다면체·회전체를 구분한다. ② 전개도로 겉넓이를 구한다. ③ 기둥·뿔·구의 부피를 구한다. ④ 회전체의 모양을 떠올린다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① 가로 3, 세로 4인 직사각형의 넓이는?
② 직육면체의 면은 모두 몇 개일까요?
① 12 · ② 6개. 밑넓이를 구할 줄 알면 기둥의 부피가 바로 나와요.
다면체와 회전체 — 입체의 두 집안
평평한 면(다각형)으로만 둘러싸인 입체가 다면체예요(각기둥·각뿔). 한편 평면도형을 한 직선(축) 둘레로 한 바퀴 돌려 만든 입체는 회전체예요(원기둥·원뿔·구). 직사각형을 돌리면 원기둥, 직각삼각형을 돌리면 원뿔, 반원을 돌리면 구가 돼요.
기억해요 — 다면체=평면으로 둘러쌈, 회전체=한 축으로 빙글 돌려 만든 입체
움직이는 그림 — 원기둥의 전개도
원기둥을 펼치면 어떤 모양인지 봐요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
겉넓이와 부피 — 펼쳐서, 쌓아서
겉넓이는 전개도의 모든 면 넓이를 더한 것 — 표면에 색칠하는 데 드는 종이예요. 부피는 속을 채우는 공간이에요. 기둥은 밑넓이 × 높이, 뿔은 그 3분의 1이에요. 기둥 부피 = (밑넓이)×(높이), 뿔 부피 = ⅓×(밑넓이)×(높이).
기억해요 — 기둥 부피 = 밑넓이 × 높이, 뿔은 그 ⅓. 겉넓이 = 전개도 면을 다 더하기
①각기둥·원기둥
부피 = 밑넓이 × 높이. 위아래 면이 같음.
②각뿔·원뿔
부피 = ⅓ × 밑넓이 × 높이. 위가 한 점.
③겉넓이
(밑넓이 × 2) + 옆넓이. 전개도로 보면 쉬움.
④구
부피 = (4/3)πr³, 겉넓이 = 4πr². 반원을 돌린 입체.
기억 그림 · 면·모서리·꼭짓점
면(F) + 꼭짓점(V) = 모서리(E) + 2 — 오일러의 다면체 공식이에요! 직육면체: 6+8=12+2 ✓
왜 뿔은 기둥의 ⅓일까
밑면과 높이가 같은 기둥에 뿔 모양으로 물을 부어 옮겨 담으면 꼭 세 번에 가득 차요. 그래서 뿔의 부피는 기둥의 3분의 1이에요. (직접 부어보는 실험으로도 확인돼요.)전개도로 겉넓이 구하기 — 펼쳐서 더하기
입체도형을 잘라 펼친 전개도를 떠올리면 겉넓이 공식을 외울 필요가 없어요. 원기둥 → 원 2개 + 직사각형 1개, 원뿔 → 원 1개 + 부채꼴 1개, 각기둥 → 밑면 2개 + 직사각형 여러 개. 전개도의 각 조각 넓이를 더하면 그대로 겉넓이예요. 공식이 기억 안 날 때는 머릿속으로 펼쳐 보세요.원기둥 옆넓이의 비밀
원기둥 옆면을 펼치면 직사각형인데, 가로가 바로 밑면의 둘레(2πr)예요. 그래서 옆넓이 = 2πr × h. 전개도를 떠올리면 외울 필요가 없어요.
스스로 풀어요 (3단계)
면·모서리 세기, 기둥·직육면체의 부피부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 부피는 ‘기둥=밑넓이×높이, 뿔=그 ⅓’ 두 가지로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 겉넓이·옆넓이는 전개도 그림 한 장으로 외울 것을 없앴습니다.
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 쪼개기·회전체·부피비·모든 모서리 합·공간 대각선·단면·오일러까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1쪼개기
한 모서리가 6인 정육면체를 한 모서리가 2인 작은 정육면체로 모두 자르면 몇 개가 되나요?
답: 27개
(6÷2)³ = 3³ = 27개
(6÷2)³ = 3³ = 27개
2정육면체 부피
겉넓이가 54인 정육면체의 부피는?
답: 27
6a²=54 → a=3 → 부피 3³ = 27
6a²=54 → a=3 → 부피 3³ = 27
3회전체
가로 4, 세로 6인 직사각형을 가로(길이 4)를 축으로 돌린 회전체의 부피는?
답: 144π
반지름 6, 높이 4인 원기둥 → π×6²×4 = 144π
반지름 6, 높이 4인 원기둥 → π×6²×4 = 144π
4부피비
반지름이 같은 (원뿔, 구, 원기둥)의 부피의 비는? (단, 높이는 모두 지름과 같음)
답: 1 : 2 : 3
원뿔 ⅔πr³ : 구 4/3πr³ : 원기둥 2πr³ = 1 : 2 : 3
원뿔 ⅔πr³ : 구 4/3πr³ : 원기둥 2πr³ = 1 : 2 : 3
5모든 모서리 합
정육면체의 모든 모서리의 길이의 합이 60일 때, 한 모서리의 길이는?
답: 5
모서리 12개 → 12a=60 → a=5
모서리 12개 → 12a=60 → a=5
6원뿔 겉넓이
밑면의 반지름 3, 높이 4인 원뿔의 겉넓이는?
답: 24π
모선 5. 밑넓이 9π + 옆넓이 πrl=15π = 24π
모선 5. 밑넓이 9π + 옆넓이 πrl=15π = 24π
7세제곱근
부피가 1000인 정육면체의 한 모서리의 길이는?
답: 10
∛1000 = 10
∛1000 = 10
8공간 대각선
세 모서리의 길이가 각각 2, 3, 4인 직육면체의 대각선의 길이는?
답: √29
√(2²+3²+4²) = √(4+9+16) = √29
√(2²+3²+4²) = √(4+9+16) = √29
9단면
원기둥을 밑면에 수직인 평면으로 자르면 그 단면은 어떤 도형인가요?
답: 직사각형
원기둥을 축에 평행하게(밑면에 수직) 자르면 직사각형
원기둥을 축에 평행하게(밑면에 수직) 자르면 직사각형
10단면
구를 중심을 지나는 평면으로 자를 때 생기는 가장 큰 단면은 어떤 도형인가요?
답: 원
구의 가장 큰 단면은 중심을 지나는 원(대원)
구의 가장 큰 단면은 중심을 지나는 원(대원)
11오일러
정사면체(삼각뿔)의 면의 개수, 모서리의 개수, 꼭짓점의 개수를 모두 더하면?
답: 14
면 4 + 모서리 6 + 꼭짓점 4 = 14
면 4 + 모서리 6 + 꼭짓점 4 = 14
객관식 진단 퀴즈 — 입체도형의성질
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 기둥의 부피
밑넓이 12
높이 5
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1다면체(평면으로 둘러쌈) · 회전체(축으로 돌려 만든 입체).
- 2기둥 부피 = 밑넓이 × 높이.
- 3뿔 부피 = 기둥의 ⅓ (⅓×밑넓이×높이).
- 4겉넓이 = 전개도의 모든 면 넓이의 합.
이 단원의 말·기호
- 다면체
- 평면(다각형)으로만 둘러싸인 입체.
- 회전체
- 평면도형을 한 축으로 돌려 만든 입체.
- 전개도
- 입체를 펼쳐 평면에 그린 그림.
- 겉넓이
- 입체의 모든 겉면 넓이의 합.
내 말로 설명하기
뿔의 부피가 왜 기둥의 ⅓인지 한 줄로?
예시 — “밑면과 높이가 같은 기둥에 뿔 모양으로 물을 부으면 꼭 세 번에 가득 차. 그래서 뿔은 기둥의 ⅓.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.