왜 적분법을 더 배울까?
곡선 아래 넓이뿐 아니라 회전체의 부피, 곡선의 길이, 일·에너지까지 적분으로 구해요. 진동·파동·성장처럼 다양한 함수의 누적을 다뤄야 물리·공학의 실제 문제를 풀 수 있어요. 적분의 힘을 완성하는 단원이에요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 삼각·지수·로그함수를 적분한다. ② 치환적분으로 복잡한 적분을 간단히 한다. ③ 부분적분으로 곱 꼴을 적분한다. ④ 넓이·회전체의 부피·거리를 정적분으로 구한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① ∫cos x dx 는?
② 미분하면 2x(x²+1)³이 되는 함수는? (치환)
① sin x+C · ② u=x²+1로 치환하면 (x²+1)⁴/4+C. 일부를 u로 바꾸면 간단해져요.
여러 함수의 적분 — 적분 도구 확장
미분법의 새 공식들을 거꾸로 돌려 더 많은 함수를 적분해요. 삼각함수: ∫cos x dx = sin x + C, ∫sin x dx = −cos x + C. 지수·로그: ∫eˣ dx = eˣ + C, ∫(1/x)dx = ln|x| + C. 치환적분과 부분적분으로 복잡한 함수도 적분할 수 있어요.
기억해요 — ∫cosx dx=sinx+C, ∫eˣdx=eˣ+C, ∫(1/x)dx=ln|x|+C
왜 적분법을 더 배울까
곡선 아래 넓이뿐 아니라 회전체의 부피, 곡선의 길이, 일·에너지까지 적분으로 구해요. 진동·파동·성장처럼 다양한 함수의 누적을 다뤄야 물리·공학의 실제 문제를 풀 수 있어요. 적분의 힘을 완성하는 단원이에요.치환 후 dx 바꾸기
치환적분에서 u=g(x)로 바꾸면 dx도 du로 바꿔야 해요(du=g′(x)dx). 정적분이면 적분 구간도 u값으로 바꿔요. 변수만 바꾸고 dx를 그대로 두면 틀려요.움직이는 그림 — 회전체의 부피
곡선을 회전시켜 생긴 입체를 얇은 원판으로 쌓아 적분해요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
치환적분과 부분적분
치환적분: 복잡한 식의 일부를 u로 바꿔 간단히 만들어요. ∫2x(x²+1)³dx에서 u=x²+1로 두면 ∫u³du로 간단해져요. 부분적분: 두 함수의 곱을 적분할 때 ∫f g′ dx = fg − ∫f′g dx. 곱의 미분을 거꾸로 돌린 거예요. ∫x·eˣ dx처럼 곱 꼴에 강력해요.
기억해요 — 치환: 일부를 u로 / 부분적분: ∫fg′=fg−∫f′g
기억 그림 · 정적분과 넓이·부피
두 곡선 사이 넓이 = ∫(위 함수 − 아래 함수)dx. 회전체 부피는 얇은 원판을 쌓아 π∫y²dx.
적분법의 활용 — 넓이·부피·거리
정적분으로 두 곡선 사이 넓이, 회전체의 부피(π∫y²dx), 움직인 거리(∫|v|dt)를 구해요. 곡선 y=f(x)를 x축 둘레로 회전시키면 반지름 y인 얇은 원판이 쌓여 부피가 돼요. 미분이 변화의 순간이라면, 적분은 그 변화를 모두 쌓아 올린 총량이에요.
기억해요 — 넓이 ∫(위−아래), 회전체 부피 π∫y²dx, 거리 ∫|v|dt
①새 적분 공식
∫cosx=sinx+C, ∫eˣ=eˣ+C, ∫(1/x)=ln|x|+C.
②치환적분
일부를 u로 치환, dx도 du로. 구간도 함께 바꿈.
③부분적분
∫fg′=fg−∫f′g. 곱의 미분의 역.
④넓이·부피
두 곡선 사이 ∫(위−아래). 회전체 V=π∫y²dx.
정적분과 평균
구간 [a,b]에서 함수의 평균값은 (1/(b−a))∫(a~b)f dx로 구해요. 넓이를 구간 길이로 나눈 것 — 곡선의 높이를 평평하게 고른 평균 높이예요.미적분의 큰 그림
미분(쪼개 보기)과 적분(모아 보기)이 서로 역이라는 미적분의 기본정리가 모든 걸 잇는 다리예요. 속도를 적분하면 거리, 가속도를 적분하면 속도 — 변화와 누적이 동전의 양면처럼 연결돼요.스스로 풀어요 (3단계)
삼각·지수로그 기본 적분·간단한 정적분부터. 공식을 거꾸로 적용해요.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 적분은 미분을 거꾸로 떠올리면 공식이 보여요. 「더 간결하게」: 복잡하면 치환(일부를 u로) 먼저, 곱 꼴이면 부분적분으로 길을 정해요.
객관식 진단 퀴즈 — 적분법
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 정적분 ∫(0~a) 3x²dx
위끝 a 2
(사용 안 함) 0
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1새 적분: ∫cosx=sinx+C, ∫eˣ=eˣ+C, ∫(1/x)=ln|x|+C.
- 2치환적분: 일부를 u로 바꿔 간단히. dx도 du로, 구간도 함께.
- 3부분적분: ∫fg′=fg−∫f′g (곱의 미분의 역).
- 4활용: 두 곡선 사이 ∫(위−아래), 회전체 부피 π∫y²dx.
이 단원의 말·기호
- 치환적분
- 일부를 u로 치환해 간단히 만드는 적분.
- 부분적분
- 곱 꼴의 적분. ∫fg′=fg−∫f′g.
- 회전체의 부피
- 곡선을 축 둘레로 회전한 입체. V=π∫y²dx.
- 정적분의 평균값
- (1/(b−a))∫f dx. 평균 높이.
내 말로 설명하기
회전체의 부피가 왜 π∫y²dx인지 설명해 봐요.
예시 — 곡선 y=f(x)를 x축 둘레로 회전하면 각 x에서 단면은 반지름 y인 원이에요. 그 원판의 넓이는 πy², 두께는 아주 얇은 dx라 부피는 πy²dx. 이 얇은 원판들을 구간 전체에 걸쳐 적분(쌓아 더하기)하면 회전체의 부피 V=π∫y²dx가 나와요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.