왜 미분법을 더 배울까?
세상의 변화는 다항함수만으로 안 끝나요. 진동(삼각), 성장·붕괴(지수), 정보량(로그)까지 미분해야 물리·공학·경제의 진짜 문제를 풀 수 있어요. 미분의 도구 상자를 완성하는 단원이에요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 곱·몫의 미분법을 활용한다. ② 삼각·지수·로그함수를 미분한다. ③ 연쇄법칙으로 합성함수를 미분한다. ④ 이계도함수로 오목·볼록과 변곡점을 분석한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① sin x를 미분하면?
② (2x+1)²을 미분하면? (연쇄법칙)
① cos x · ② 2(2x+1)×2=4(2x+1). 합성함수는 겉미분에 속미분을 곱해요.
여러 함수의 미분 — 도구 상자를 넓혀요
미적분Ⅰ의 다항함수를 넘어 더 많은 함수를 미분해요. 곱의 미분: (fg)′ = f′g + fg′. 몫의 미분: (f/g)′ = (f′g−fg′)/g². 삼각함수: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x. 지수·로그: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x. 이 공식들로 거의 모든 함수를 미분할 수 있어요.
기억해요 — 곱 f′g+fg′ / 몫 (f′g−fg′)/g² / (sinx)′=cosx / (eˣ)′=eˣ
왜 미분법을 더 배울까
세상의 변화는 다항함수만으로 안 끝나요. 진동(삼각), 성장·붕괴(지수), 정보량(로그)까지 미분해야 물리·공학·경제의 진짜 문제를 풀 수 있어요. 미분의 도구 상자를 완성하는 단원이에요.합성함수 빠뜨리기
sin(2x)를 미분할 때 안쪽 2x의 미분(2)을 빠뜨리면 안 돼요. 연쇄법칙으로 (sin2x)′ = cos2x × 2 = 2cos2x. 겉함수 미분 × 속함수 미분을 항상 함께 해요.움직이는 그림 — 연쇄법칙
x→u→y로 이어진 변화율을 곱해요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
합성함수의 미분 — 연쇄법칙
합성함수 y=f(g(x))의 미분은 겉함수 미분 × 속함수 미분이에요. dy/dx = dy/du × du/dx (연쇄법칙). 예: (x²+1)³의 미분은 3(x²+1)² × 2x = 6x(x²+1)². 겉(세제곱)을 먼저 미분하고, 속(x²+1)의 미분 2x를 곱하는 거예요. 연쇄법칙은 복잡한 함수를 미분하는 가장 강력한 도구예요.
기억해요 — 연쇄법칙: 겉함수 미분 × 속함수 미분. 안쪽 미분 잊지 말기
기억 그림 · 도함수와 곡선의 오목·볼록
이계도함수 f″로 곡선의 오목·볼록을 알아요. f″>0 아래로 볼록, f″<0 위로 볼록, 부호 바뀌는 곳이 변곡점.
미분법의 활용 — 정밀한 곡선 분석
새 미분 공식들로 더 복잡한 곡선의 접선·극값·변곡점을 찾고 그래프를 그려요. 이계도함수 f″의 부호로 오목·볼록과 변곡점을 알 수 있어요. 또 매개변수로 주어진 곡선, 음함수의 미분, 속도·가속도 분석에도 쓰여요. 미분법은 곡선의 모양을 가장 정밀하게 읽는 현미경이에요.
기억해요 — f′로 증감·극값, f″로 오목볼록·변곡점
①곱·몫의 미분
(fg)′=f′g+fg′, (f/g)′=(f′g−fg′)/g².
②삼각·지수·로그
(sinx)′=cosx, (cosx)′=−sinx, (eˣ)′=eˣ, (lnx)′=1/x.
③연쇄법칙
합성함수 y=f(g(x)): 겉미분×속미분. 안쪽 잊지 않기.
④이계도함수
f″>0 아래로 볼록, f″<0 위로 볼록. 부호 바뀌면 변곡점.
음함수·매개변수 미분
y가 x의 식으로 깔끔히 안 풀려도(예: x²+y²=1) 양변을 x로 미분해 dy/dx를 구할 수 있어요(음함수 미분). 또 x=f(t), y=g(t)처럼 매개변수로 주어지면 dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)로 구해요.미분과 근사
복잡한 함숫값을 접선으로 근사할 수 있어요. f(a) 근처에서 f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a). √(4.1) 같은 값을 손으로 어림할 때, 그리고 공학의 선형 근사에 쓰여요.스스로 풀어요 (3단계)
곱·몫·삼각·지수로그 기본 미분부터. 공식을 하나씩 적용해요.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 미분은 어떤 함수인지 보고 맞는 공식을 고르면 돼요. 「더 간결하게」: 합성함수는 겉미분 × 속미분 연쇄법칙 한 흐름으로 통일해요. 안쪽 미분을 꼭 곱하기!
객관식 진단 퀴즈 — 미분법
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — x³의 미분계수
접점 x 2
(사용 안 함) 0
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1곱 (fg)′=f′g+fg′ · 몫 (f/g)′=(f′g−fg′)/g².
- 2삼각·지수·로그: (sinx)′=cosx, (cosx)′=−sinx, (eˣ)′=eˣ, (lnx)′=1/x.
- 3연쇄법칙: 합성함수 y=f(g(x)) → 겉미분×속미분. 안쪽 잊지 않기.
- 4이계도함수 f″: >0 아래로 볼록, <0 위로 볼록, 부호 바뀌면 변곡점.
이 단원의 말·기호
- 곱의 미분
- (fg)′=f′g+fg′.
- 연쇄법칙
- 합성함수 미분. 겉함수 미분×속함수 미분.
- 이계도함수
- 도함수를 또 미분한 f″. 오목·볼록 판정.
- 변곡점
- f″의 부호가 바뀌어 오목·볼록이 뒤바뀌는 점.
내 말로 설명하기
합성함수를 미분할 때 왜 안쪽 미분을 곱하는지 설명해 봐요.
예시 — 합성함수 y=f(g(x))에서 x가 조금 변하면 먼저 u=g(x)가 du/dx 비율로 변하고, 그 u의 변화가 다시 y를 dy/du 비율로 바꿔요. 두 변화가 사슬처럼 이어지니 전체 변화율은 dy/du×du/dx — 그래서 겉미분에 속미분을 곱해요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.