왜 극한을 배울까?
극한은 미적분 전체의 토대예요. 순간 속도, 곡선의 접선, 곡선 아래 넓이 — 한없이 잘게 쪼개 다가간다는 생각이 극한이고, 이걸로 미분과 적분이 세워져요. 변화와 누적을 정밀하게 다루는 첫걸음이에요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 함수의 극한의 뜻을 이해한다. ② 극한의 성질로 0/0·∞ 꼴의 극한을 계산한다. ③ 함수의 연속을 판정한다. ④ 사잇값 정리로 방정식의 해의 존재를 보인다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 준비 완료예요.
① x가 2에 다가갈 때 x+3은 어디로?
② x=1에서 (x²−1)/(x−1)은 어떤 꼴?
① 5로 다가가요 · ② 0/0 꼴(약분하면 x+1 → 극한 2). 극한은 그 점의 값이 아니라 다가가는 값이에요.
함수의 극한 — 한없이 다가가는 값
x가 a에 한없이 가까워질 때 함수 f(x)가 어떤 값 L에 한없이 가까워지면, L을 x→a일 때 f(x)의 극한값이라 하고 lim(x→a) f(x) = L로 써요. 중요한 점: 극한은 x=a에서의 값이 아니라, a에 다가갈 때 향하는 값이에요. x=a에서 함수가 정의되지 않아도 극한은 존재할 수 있어요.
기억해요 — 극한 = a에 다가갈 때 향하는 값(그 점의 값과 다를 수 있음)
왜 극한을 배울까
극한은 미적분 전체의 토대예요. 순간 속도, 곡선의 접선, 넓이 — 「한없이 잘게 쪼개 다가간다」는 생각이 극한이고, 이걸로 미분과 적분이 세워져요. 변화와 누적을 정밀하게 다루는 첫걸음이에요.극한값 ≠ 함숫값
lim(x→a)f(x)와 f(a)는 다를 수 있어요. 0/0 꼴이 나오면 약분·유리화로 식을 정리한 뒤 대입해요. 예: (x²−1)/(x−1)은 x=1에서 0/0이지만, (x+1)로 약분하면 극한은 2.움직이는 그림 — x가 a에 다가갈 때
x가 a에 다가가며 함숫값이 L로 모여요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
극한의 계산 — 꼴을 정리하면 보인다
극한의 성질로 합·차·곱·몫의 극한을 따로따로 계산할 수 있어요. 0/0 꼴은 인수분해 후 약분, 무리식은 분자·분모를 유리화, ∞/∞ 꼴은 최고차항으로 나눠요. lim(x→∞) (2x²+1)/(x²+3) = 2 — 분자·분모를 x²로 나누면 최고차항 비만 남아요.
기억해요 — 0/0은 약분·유리화, ∞/∞는 최고차항으로 나누기
기억 그림 · 연속과 불연속
연속 = 끊김 없이 한 붓으로 그려지는 함수. 한 점에서 연속 = 극한값과 함숫값이 같음(lim f(x)=f(a)).
함수의 연속 — 끊김 없이 이어지기
함수 f가 x=a에서 연속이려면 세 가지가 모두 필요해요. ① f(a)가 정의됨, ② lim(x→a)f(x)가 존재함, ③ 둘이 같음(lim f(x)=f(a)). 다항함수는 모든 점에서 연속이에요. 사잇값 정리: 닫힌구간에서 연속인 함수는 두 끝값 사이의 모든 값을 적어도 한 번 가져요 — 방정식의 해가 있음을 보장하는 강력한 도구예요.
기억해요 — 연속 3조건: 함숫값 존재 + 극한 존재 + 둘이 같음
①극한의 존재
좌극한과 우극한이 같아야 극한이 존재해요. 다르면 극한 없음.
②0/0 정리
분자·분모를 인수분해해 공통인수를 약분한 뒤 대입.
③∞에서의 극한
분자·분모 최고차항 비교. 같으면 계수비, 분모가 크면 0.
④사잇값 정리
연속함수가 f(a)<0, f(b)>0이면 그 사이에 f(c)=0인 c가 존재 → 해 존재.
좌극한과 우극한
x가 a보다 작은 쪽에서 다가가는 좌극한과 큰 쪽에서 다가가는 우극한이 있어요. 둘이 같아야 극한이 존재해요. 절댓값 함수나 계단 함수는 좌우 극한이 달라 그 점에서 극한이 없을 수 있어요.극한과 무한
x→∞ 또는 함숫값→∞도 다뤄요. lim(x→∞) 1/x = 0처럼 무한히 커지면 0으로 다가가요. 다음 과정 미적분Ⅱ에서 수열의 극한·급수로 더 깊어져요.스스로 풀어요 (3단계)
대입으로 구하는 극한·기본 극한 성질·연속 판정부터. 정의대로 차근차근.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 극한은 일단 대입해 보고, 0/0이면 약분·유리화로 꼴을 바꿔요. 「더 간결하게」: ∞/∞ 꼴은 최고차항으로 나누기 한 방법으로 통일하면 빠르게 풀려요.
객관식 진단 퀴즈 — 함수의극한과연속
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 다항함수의 극한
다가가는 값 a 2
(사용 안 함) 0
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1극한 lim(x→a)f(x)=L : x가 a에 다가갈 때 f(x)가 다가가는 값(함숫값과 다를 수 있음).
- 20/0 꼴은 인수분해 후 약분, 무리식은 유리화. ∞/∞ 꼴은 최고차항으로 나누기.
- 3연속 3조건: f(a) 존재 + 극한 존재 + 둘이 같음(lim=f(a)).
- 4사잇값 정리: 연속함수는 두 끝값 사이 값을 모두 가짐 → 해의 존재 보장.
이 단원의 말·기호
- 극한값
- x가 a에 한없이 다가갈 때 f(x)가 다가가는 값.
- 좌극한·우극한
- a보다 작은/큰 쪽에서 다가갈 때의 극한. 둘이 같아야 극한 존재.
- 연속
- 한 점에서 lim f(x)=f(a). 끊김 없이 이어짐.
- 사잇값 정리
- 연속함수가 부호가 다른 두 값을 가지면 사이에 0이 있음.
내 말로 설명하기
극한값과 함숫값이 왜 다를 수 있는지 설명해 봐요.
예시 — 극한은 x가 a에 가까워질 때 f(x)가 향하는 목표값이고, f(a)는 바로 그 점에서의 실제 값이에요. 둘은 보통 같지만, x=1에서 (x²−1)/(x−1)처럼 그 점이 0/0이라 정의되지 않아도 다가가는 값(극한 2)은 존재할 수 있어요. 그래서 극한≠함숫값일 수 있어요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.