왜 적분을 배울까?
적분은 잘게 쪼개 쌓아 더하는 도구예요. 곡선 아래 넓이, 움직인 거리, 누적된 양. 미분이 쪼개 보기라면 적분은 모아 보기 — 둘이 정반대이자 짝이에요(미적분의 기본정리). 물리·공학·통계의 핵심이에요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 부정적분이 미분의 역연산임을 이해한다. ② 정적분과 미적분의 기본정리 F(b)−F(a)를 활용한다. ③ 곡선과 x축, 두 곡선 사이의 넓이를 구한다. ④ 속도를 적분해 위치 변화(변위)를 구한다(이동 거리는 속력의 적분).
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 미분하면 2x가 되는 함수는?
② 곡선 아래 넓이는 어떻게 어림할까?
① x²(+상수) · ② 직사각형으로 채워 더하기. 잘게 쪼갤수록 정확해져요(정적분).
부정적분 — 미분의 거꾸로
미분하면 f(x)가 되는 함수 F(x)를 f(x)의 부정적분이라 하고 ∫f(x)dx = F(x) + C로 써요. (C는 적분상수 — 미분하면 사라지는 상수 때문에 붙여요) 거듭제곱의 적분: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n≠−1). 미분의 (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹을 거꾸로 돌린 거예요.
기억해요 — 적분은 미분의 역. ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
왜 적분을 배울까
적분은 잘게 쪼개 쌓아 더하는 도구예요. 곡선 아래 넓이, 움직인 거리, 누적된 양. 미분이 「쪼개 보기」라면 적분은 「모아 보기」 — 둘이 정반대이자 짝이에요(미적분의 기본정리). 물리·공학·통계의 핵심이에요.적분상수 C 빠뜨리기
부정적분에는 항상 +C를 붙여요. 상수는 미분하면 0이라, 원래 함수가 무엇이었는지 +C로 열어 두는 거예요. (정적분에서는 C가 빼는 과정에서 사라져 안 써요.)움직이는 그림 — 넓이를 직사각형으로
곡선 아래를 직사각형으로 채우고, 잘게 쪼갤수록 정확한 넓이가 돼요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
정적분 — 넓이로 읽는 적분
구간 [a, b]에서 곡선 아래 넓이를 정적분 ∫(a~b) f(x)dx라 해요. 미적분의 기본정리: F가 f의 부정적분이면 ∫(a~b) f(x)dx = F(b) − F(a). 잘게 쪼개 더하는 어려운 일이, 부정적분의 양 끝값 차로 간단히 풀려요! 예: ∫(0~2) 2x dx = [x²]₀² = 4−0 = 4.
기억해요 — 정적분 = F(b) − F(a). 미분의 역으로 넓이를 구해요
기억 그림 · 미적분의 기본정리
미분과 적분은 서로 역이에요. f를 적분하면 F, F를 미분하면 f — 정반대 두 연산이 짝을 이뤄요.
정적분의 활용 — 넓이와 거리
정적분으로 곡선과 x축 사이 넓이, 두 곡선 사이 넓이를 구해요. (넓이는 항상 양수이므로 x축 아래 부분은 부호에 주의해요.) 또 속도 v(t)를 시간으로 적분하면 위치 변화(변위)가 나와요 — 미분의 반대 방향이에요. (실제 이동 거리는 속력 |v(t)|를 적분해요.) 위치 변화 = ∫(a~b) v(t)dt.
기억해요 — 넓이·거리는 정적분. 속도를 적분하면 위치 변화(변위), 이동 거리는 속력의 적분
①부정적분
∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C (n≠−1). 항마다 따로, +C 꼭.
②정적분 계산
∫(a~b)f dx=F(b)−F(a). 부정적분 구한 뒤 끝값 대입.
③넓이
곡선과 x축 사이 = ∫|f|. 두 곡선 사이 = ∫(위−아래).
④속도와 거리
∫v(t)dt=위치 변화. 속력의 적분은 실제 이동 거리.
두 곡선 사이 넓이
두 곡선 y=f(x), y=g(x) 사이 넓이는 ∫(위 함수 − 아래 함수)dx로 구해요. 먼저 교점을 찾아 적분 구간을 정하고, 어느 쪽이 위인지 확인한 뒤 빼서 적분해요.미적분의 기본정리
적분(넓이 쌓기)과 미분(순간변화)이 정확히 역연산이라는 것이 미적분의 기본정리예요. 덕분에 넓이를 일일이 더하지 않고 부정적분의 끝값 차로 한 번에 구할 수 있어요. 수학사에서 가장 위대한 발견 중 하나랍니다.스스로 풀어요 (3단계)
부정적분·기본 정적분·간단한 넓이부터. ∫xⁿdx 공식을 차근차근.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 적분은 미분을 거꾸로 — ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C 하나면 시작돼요. 「더 간결하게」: 정적분은 부정적분 구하고 끝값 차 F(b)−F(a) 한 흐름으로 통일해요.
객관식 진단 퀴즈 — 적분
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 정적분(넓이)
위끝 a 2
(사용 안 함) 0
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1부정적분 ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C (n≠−1). 미분의 역, +C 꼭.
- 2정적분 ∫(a~b)f dx=F(b)−F(a) (미적분의 기본정리).
- 3넓이: 곡선과 x축 사이=∫|f|, 두 곡선 사이=∫(위−아래).
- 4속도를 적분하면 위치 변화(변위) = ∫v(t)dt. 실제 이동 거리는 ∫|v(t)|dt.
이 단원의 말·기호
- 부정적분
- 미분하면 f(x)가 되는 함수 F(x)+C.
- 적분상수 C
- 미분하면 사라지는 상수를 열어 두는 +C.
- 정적분
- 구간 [a,b]에서 곡선 아래 넓이. F(b)−F(a).
- 미적분의 기본정리
- 미분과 적분이 서로 역연산이라는 정리.
내 말로 설명하기
정적분이 왜 F(b)−F(a)로 구해지는지 설명해 봐요.
예시 — 곡선 아래 넓이를 잘게 쪼개 더하는 일은 어렵지만, 미적분의 기본정리 덕분에 f의 부정적분 F를 구하면 그 넓이가 F(b)−F(a)와 같아요. 미분과 적분이 서로 역연산이라 끝값의 차만으로 넓이가 한 번에 나오는 거예요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.