왜 미분을 배울까?
미분은 변화의 순간을 포착해요. 자동차의 순간 속도, 비용이 가장 적은 지점, 이익이 최대인 생산량. 곡선의 모양 분석, 최적화, 물리 법칙 — 지금 이 순간 얼마나 빠르게 변하는가를 답하는 도구예요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 평균변화율과 미분계수(순간변화율)를 이해한다. ② 도함수를 구하고 미분 공식 (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹을 활용한다. ③ 접선의 방정식을 세운다. ④ 도함수로 증가·감소·극값·최댓값을 구한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① 두 점 사이 평균 기울기는 어떻게 구할까?
② x²을 미분하면?
① (y의 차)÷(x의 차) · ② 2x. 평균 기울기의 극한이 바로 순간 기울기(미분계수)예요.
미분계수 — 순간의 기울기
두 점 사이의 평균변화율은 (f(b)−f(a))/(b−a) — 할선의 기울기예요. 여기서 b를 a에 한없이 다가가게 하면 할선이 접선이 되고, 그 기울기가 미분계수 f′(a)예요. f′(a) = lim(h→0) (f(a+h)−f(a))/h. 미분계수는 그 순간의 순간변화율 = 접선의 기울기랍니다.
기억해요 — 미분계수 f′(a) = 평균변화율의 극한 = 접선의 기울기
왜 미분을 배울까
미분은 변화의 순간을 포착해요. 자동차의 순간 속도, 비용이 가장 적은 지점, 이익이 최대인 생산량. 곡선의 모양 분석, 최적화, 물리 법칙 — 「지금 이 순간 얼마나 빠르게 변하는가」를 답하는 도구예요.미분가능과 연속
미분가능하면 연속이지만, 연속이라고 다 미분가능한 건 아니에요. 뾰족한 점(예: y=|x|의 원점)은 연속이지만 접선이 하나로 정해지지 않아 미분 불가능해요.움직이는 그림 — 할선이 접선으로
두 점을 지나는 할선이, 점이 겹치며 접선으로 변해요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
도함수 — 미분의 공식화
각 점의 미분계수를 함수로 나타낸 것이 도함수 f′(x)예요. 거듭제곱의 미분: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ — 가장 많이 쓰는 공식. 상수의 미분은 0, 상수배·합·차는 따로따로. 예: f(x)=x³이면 f′(x)=3x², f(x)=2x²+5x이면 f′(x)=4x+5.
기억해요 — (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹. 상수는 0, 합·차·상수배는 각각 미분
기억 그림 · 증가·감소와 도함수 부호
f′(x)>0이면 증가, f′(x)<0이면 감소. 부호가 바뀌는 곳이 극대·극소(접선 수평, f′=0)예요.
도함수의 활용 — 곡선을 읽다
도함수의 부호로 함수의 증가·감소를 알고, f′(x)=0이 되는 곳에서 극대·극소를 찾아요. 이걸로 곡선의 개형을 그리고 최댓값·최솟값을 구해요. 또 어떤 점에서의 접선의 방정식은 y−f(a)=f′(a)(x−a)로 세워요. 속도·가속도(위치의 미분이 속도, 속도의 미분이 가속도)에도 바로 쓰여요.
기억해요 — f′ 부호 → 증감, f′=0 → 극값, 접선 y−f(a)=f′(a)(x−a)
①평균·순간변화율
평균변화율=할선 기울기, 순간변화율=접선 기울기=미분계수.
②미분 공식
(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹, 상수′=0. 합·차·상수배는 각각 적용.
③접선의 방정식
점 (a, f(a))에서 기울기 f′(a) → y−f(a)=f′(a)(x−a).
④증감·극값
f′>0 증가, f′<0 감소. f′=0이고 부호 바뀌면 극값.
속도와 가속도
위치 x(t)를 시간으로 미분하면 속도 v(t)=x′(t), 속도를 또 미분하면 가속도 a(t)=v′(t)예요. 미분이 두 번 쌓여 운동을 완전히 설명해요. 던진 물체의 최고점은 속도가 0인 순간(v=0)이에요.최적화 문제
재료가 정해졌을 때 부피 최대인 상자, 비용 최소인 설계 — 미분으로 풀어요. 구하려는 양을 한 변수의 함수로 세우고, 미분해서 f′=0인 곳을 찾으면 최댓값·최솟값이 나와요.스스로 풀어요 (3단계)
평균변화율·미분계수·기본 도함수부터. 공식 (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹을 차근차근.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 미분은 (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ 하나면 거의 다 돼요. 항마다 따로 적용해요. 「더 간결하게」: 극값·최적화는 f′=0인 곳을 찾고 부호를 확인하는 한 흐름으로 통일해요.
객관식 진단 퀴즈 — 미분
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — x²의 미분계수
접점의 x 3
(사용 안 함) 0
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1미분계수 f′(a)=lim(h→0)(f(a+h)−f(a))/h = 접선의 기울기(순간변화율).
- 2도함수: (xⁿ)′=n xⁿ⁻¹, 상수′=0. 합·차·상수배는 각각.
- 3접선의 방정식: y−f(a)=f′(a)(x−a).
- 4f′>0 증가, f′<0 감소. f′=0이고 부호 바뀌면 극대·극소.
이 단원의 말·기호
- 평균변화율
- 두 점 사이 y의 차÷x의 차. 할선의 기울기.
- 미분계수
- 순간변화율. 접선의 기울기. 평균변화율의 극한.
- 도함수
- 각 점의 미분계수를 함수로 나타낸 것 f′(x).
- 극값
- f′=0이고 부호가 바뀌는 곳의 극대·극소값.
내 말로 설명하기
미분계수가 왜 접선의 기울기인지 설명해 봐요.
예시 — 두 점 A, B를 잇는 할선의 기울기가 평균변화율이에요. B를 A에 한없이 다가가게 하면(h→0) 할선이 A에 딱 닿는 접선으로 바뀌고, 그 극한값이 미분계수 f′(a) — 즉 A에서의 접선 기울기예요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.