왜 지수·로그를 배울까?
세포 증식·복리 이자·방사성 붕괴처럼 일정 비율로 커지거나 줄어드는 현상은 모두 지수예요. 지진 규모, 소리 데시벨, 산성도 pH처럼 너무 큰 수를 다루기 쉽게 줄인 것이 로그예요. 과학·공학·금융의 필수 언어랍니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 지수를 실수로 확장하고 로그의 정의를 이해한다. ② 로그의 성질과 밑변환·상용로그를 활용한다. ③ 지수함수·로그함수의 그래프를 그리고 서로 역함수임을 안다. ④ 지수·로그 방정식과 부등식을 푼다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 준비 완료예요.
① 2를 5번 곱하면?
② 2를 몇 번 곱해야 32가 될까?
① 2⁵=32 · ② 5번 (=log₂32). 지수와 로그는 같은 사실을 앞뒤로 묻는 거예요.
지수와 로그 — 거듭제곱을 거꾸로 묻기
지수는 「2를 5번 곱하면?」을 묻고(2⁵=32), 로그는 그 반대로 「2를 몇 번 곱하면 32?」를 물어요(log₂32=5). 지수의 범위를 정수에서 유리수·실수로 넓히면 aˣ를 모든 실수 x에서 정의할 수 있어요. 로그의 정의: aˣ = N ⟺ x = logₐN (단 a>0, a≠1, N>0).
기억해요 — 로그는 「지수를 거꾸로 묻는 것」. aˣ=N ⟺ x=logₐN
왜 지수·로그를 배울까
세포 증식·복리 이자·방사성 붕괴처럼 일정 비율로 커지거나 줄어드는 현상은 모두 지수예요. 지진 규모, 소리 데시벨, 산성도 pH — 너무 큰 수를 다루기 쉽게 줄인 것이 로그예요. 과학·공학·금융의 필수 언어랍니다.로그의 진수·밑 조건
logₐN에서 밑 a는 양수이고 1이 아니어야 하고, 진수 N은 양수여야 해요. log(음수)나 log(0)은 정의되지 않아요 — 어떤 수를 거듭제곱해도 양수만 나오기 때문이에요.로그의 성질 — 곱을 합으로 바꾸는 마법
로그는 곱셈을 덧셈으로 바꿔 줘요. logₐ(MN) = logₐM + logₐN, logₐ(M/N) = logₐM − logₐN, logₐMᵏ = k·logₐM. 밑변환: logₐb = logₓb / logₓa로 밑을 바꿀 수 있어요. 이 성질들 덕분에 큰 수의 곱셈이 덧셈으로 단순해져요.
기억해요 — 곱→합, 나눗셈→차, 거듭제곱→곱. 로그는 연산을 한 단계 낮춰요
기억 그림 · 상용로그와 자릿수
상용로그(밑 10)의 정수부 + 1이 그 수의 자릿수예요. log N의 정수부가 n이면 N은 (n+1)자리 수!
움직이는 그림 — 지수함수와 로그함수의 대칭
지수함수와 로그함수가 y=x를 거울로 서로 대칭이에요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
지수함수·로그함수 — 마주 보는 두 곡선
지수함수 y=aˣ(a>0, a≠1): 항상 점 (0,1)을 지나고, a>1이면 증가, 0로그함수 y=logₐx: 지수함수의 역함수라서 항상 점 (1,0)을 지나고 y축이 점근선이에요. 두 함수의 그래프는 직선 y=x에 대칭이에요.
기억해요 — 지수함수는 (0,1) 통과, 로그함수는 (1,0) 통과. 둘은 y=x 대칭
①지수함수 모양
y=aˣ는 (0,1) 통과. a>1 증가, 0
②로그함수 모양
y=logₐx는 (1,0) 통과. 정의역 양수 전체, 점근선 y축. 지수함수의 역함수.
③지수방정식
밑을 같게 만들어 지수끼리 비교, 또는 양변에 로그를 취해 풀어요.
④로그방정식
진수 조건(>0)을 먼저 확인! 로그의 성질로 한 덩어리로 묶은 뒤 진수끼리 비교해요.
지수·로그 부등식
밑 a>1이면 부등호 방향 그대로, 0자연상수 e
복리를 한없이 잘게 나누면 다가가는 값이 e ≈ 2.718이에요. 밑이 e인 로그를 자연로그 ln이라 하고, 미적분에서 지수·로그를 다룰 때 가장 자연스러운 밑이에요. (다음 과정 미적분에서 깊이 배워요)스스로 풀어요 (3단계)
지수·로그 계산, 로그의 성질, 기본 그래프부터. 정의를 차근차근 적용해요.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 로그 문제는 밑을 같게 맞추는 것부터 시작하면 거의 풀려요. 「더 간결하게」: 지수방정식은 밑 통일 또는 양변 로그 두 길 중 하나로 통일해요. 진수 조건(>0)은 항상 먼저 확인!
객관식 진단 퀴즈 — 지수함수와로그함수
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 2의 거듭제곱(지수)
지수 x 5
(사용 안 함) 0
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1로그의 정의: aˣ=N ⟺ x=logₐN (a>0, a≠1, N>0).
- 2로그 성질: 곱→합 logₐMN=logₐM+logₐN, 거듭제곱→곱 logₐMᵏ=k logₐM.
- 3지수함수 y=aˣ는 (0,1) 통과 · 로그함수 y=logₐx는 (1,0) 통과.
- 4지수함수와 로그함수는 서로 역함수(y=x에 대칭).
이 단원의 말·기호
- 로그
- aˣ=N일 때 x=logₐN. 지수를 거꾸로 묻는 것.
- 상용로그
- 밑이 10인 로그. 정수부+1이 자릿수.
- 밑변환
- logₐb=logₓb/logₓa로 밑을 바꿈.
- 점근선
- 지수함수는 x축, 로그함수는 y축에 한없이 가까워짐.
내 말로 설명하기
로그가 왜 곱셈을 덧셈으로 바꾸는지 설명해 봐요.
예시 — M=aˣ, N=aʸ라 하면 MN=aˣ⁺ʸ예요. 로그는 그 지수를 읽어 주니까 logₐ(MN)=x+y=logₐM+logₐN. 지수의 덧셈 성질이 로그에서 곱을 합으로 바꾸는 거예요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.