왜 수열을 배울까?
규칙적으로 변하는 값의 누적을 다루는 도구예요. 적금 이자, 인구 변화, 약물 농도, 계단식 요금. 컴퓨터 알고리즘의 반복, 그리고 다음 과정 미적분의 극한이 모두 수열에서 출발해요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 등차·등비수열의 일반항을 구한다. ② 등차·등비수열의 합과 시그마(Σ) 공식을 활용한다. ③ 여러 가지 수열의 합을 구한다. ④ 수학적 귀납법으로 자연수에 관한 명제를 증명한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 2, 5, 8, 11 다음 수는?
② 1+2+3+⋯+10은?
① 14 (3씩 더하는 등차수열) · ② 55 (=10×11/2). 규칙과 합이 수열의 두 기둥이에요.
등차수열과 등비수열 — 규칙으로 이어지는 수
수를 일정한 규칙으로 늘어놓은 것을 수열, 각 수를 항이라 해요. 등차수열은 같은 수(공차 d)를 더해 가요: 일반항 aₙ = a₁ + (n−1)d. 등비수열은 같은 수(공비 r)를 곱해 가요: 일반항 aₙ = a₁·rⁿ⁻¹. 더하기로 자라면 등차, 곱하기로 자라면 등비예요.
기억해요 — 등차: 일반항 a₁+(n−1)d / 등비: 일반항 a₁·rⁿ⁻¹
왜 수열을 배울까
규칙적으로 변하는 값의 누적을 다루는 도구예요. 적금 이자, 인구 변화, 약물 농도, 계단식 요금. 컴퓨터 알고리즘의 반복, 그리고 다음 과정 미적분의 극한이 모두 수열에서 출발해요.항의 번호 n 헷갈리기
일반항에서 (n−1)인지 n인지 주의해요. 첫째 항 a₁은 n=1일 때라 등차는 a₁+(1−1)d=a₁, 등비는 a₁·r⁰=a₁이 되어야 맞아요. 번호와 항을 표로 몇 개 적어 확인하면 실수를 막을 수 있어요.움직이는 그림 — 등차수열의 합
막대를 짝지으면 등차수열의 합 공식이 보여요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
수열의 합 — 시그마와 합 공식
등차수열의 합 Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 = n{2a₁+(n−1)d}/2 — (첫항+끝항)×개수÷2. 등비수열의 합 Sₙ = a₁(rⁿ−1)/(r−1) (r≠1). 합의 기호 Σ(시그마)는 여러 항의 합을 짧게 써요: Σ(k=1~n) k = n(n+1)/2, Σ k² = n(n+1)(2n+1)/6.
기억해요 — 등차합 = (첫+끝)×개수÷2 / Σk = n(n+1)/2
기억 그림 · 1부터 n까지의 합
1+2+⋯+n은 계단을 두 개 붙이면 n×(n+1) 직사각형의 절반 = n(n+1)/2!
수학적 귀납법 — 도미노로 증명하기
자연수 전체에서 성립함을 보이는 증명법이에요. 두 단계만 보이면 돼요. (1) n=1일 때 성립한다(첫 도미노가 쓰러진다). (2) n=k에서 성립하면 n=k+1에서도 성립한다(어떤 도미노가 쓰러지면 다음도 쓰러진다). 이 둘이면 모든 자연수에서 성립해요 — 도미노가 끝없이 쓰러지듯이. 귀납적 정의: aₙ₊₁ = aₙ + d처럼 앞 항으로 다음 항을 정하는 방식이에요.
기억해요 — 귀납법 = ① n=1 성립 ② k 성립이면 k+1 성립 → 모든 자연수 성립
①등차 일반항·합
aₙ=a₁+(n−1)d. 합 Sₙ=(첫+끝)×개수÷2.
②등비 일반항·합
aₙ=a₁rⁿ⁻¹. 합 Sₙ=a₁(rⁿ−1)/(r−1), r≠1.
③시그마 공식
Σk=n(n+1)/2, Σk²=n(n+1)(2n+1)/6, Σk³={n(n+1)/2}².
④귀납법
n=1 확인 → k 가정 → k+1 유도. 도미노처럼 전체로 퍼져요.
계차수열·부분분수
이웃 항의 차로 이루어진 수열이 계차수열이에요. 또 1/{k(k+1)} = 1/k − 1/(k+1)처럼 부분분수로 쪼개면 중간이 줄줄이 지워져(망원경 합) 합이 깔끔하게 구해져요.수열의 극한 맛보기
항이 무한히 이어질 때 어디로 다가가는지 따지는 것이 수열의 극한이에요. 등비수열에서 |r|<1이면 rⁿ은 0으로 다가가, 무한등비급수의 합 a₁/(1−r)이 나와요. (다음 과정에서 깊이 배워요)스스로 풀어요 (3단계)
등차·등비 일반항, 기본 합, 시그마 계산부터. 규칙을 직접 적어 확인해요.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 수열은 처음 몇 항을 직접 써 보면 등차인지 등비인지 바로 보여요. 「더 간결하게」: 합은 등차면 (첫+끝)×개수÷2, 등비면 a₁(rⁿ−1)/(r−1) 두 공식으로 통일해요.
객관식 진단 퀴즈 — 수열
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 1부터 n까지의 합
끝 수 n 10
(사용 안 함) 0
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1등차수열 일반항 aₙ=a₁+(n−1)d (공차 d씩 더하기).
- 2등비수열 일반항 aₙ=a₁rⁿ⁻¹ (공비 r씩 곱하기).
- 3합: 등차 (첫+끝)×개수÷2 · Σk=n(n+1)/2 · Σk²=n(n+1)(2n+1)/6.
- 4수학적 귀납법: ① n=1 성립 ② k 성립이면 k+1 성립 → 모든 자연수 성립.
이 단원의 말·기호
- 공차
- 등차수열에서 이웃 항의 일정한 차 d.
- 공비
- 등비수열에서 이웃 항의 일정한 비 r.
- 시그마 Σ
- 여러 항의 합을 짧게 쓰는 기호.
- 수학적 귀납법
- n=1과 k→k+1을 보여 모든 자연수에서 성립을 증명.
내 말로 설명하기
1부터 n까지의 합이 왜 n(n+1)/2인지 설명해 봐요.
예시 — 합 S=1+2+⋯+n과 거꾸로 S=n+⋯+2+1을 위아래로 더하면, 각 자리가 모두 (n+1)이고 그런 짝이 n개라 2S=n(n+1). 따라서 S=n(n+1)/2 — 가우스가 어릴 때 쓴 방법이에요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.