왜 삼각함수를 배울까?
주기적으로 반복되는 모든 것 — 파도, 소리, 빛, 교류 전기, 심장 박동, 계절 — 이 삼각함수로 표현돼요. 음악 신호 처리, 의료 영상, 건축 구조 계산까지. 회전과 진동의 언어가 바로 삼각함수랍니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 일반각·호도법을 이해하고 변환한다. ② 단위원으로 삼각함수를 정의하고 항등식 sin²θ+cos²θ=1을 안다. ③ 삼각함수의 그래프와 주기를 그린다. ④ 사인법칙·코사인법칙으로 삼각형을 푼다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① 180°는 호도법으로 몇 라디안?
② 직각삼각형에서 sin은 어느 변의 비?
① π 라디안 · ② 빗변 분의 높이(마주 변). 단위원에서는 점의 y좌표가 sin이에요.
일반각과 호도법 — 각을 자유롭게
회전을 따지면 각은 360°를 넘거나 음수가 될 수도 있어요. 이런 각을 일반각이라 해요. 각을 잴 때 호도법은 반지름과 같은 길이의 호가 만드는 중심각을 1라디안으로 삼아요. 180° = π(라디안). 호도법을 쓰면 호의 길이 ℓ=rθ, 부채꼴 넓이 S=½r²θ처럼 식이 깔끔해져요.
기억해요 — 180° = π 라디안. 호 길이 ℓ=rθ, 부채꼴 넓이 S=½r²θ
왜 삼각함수를 배울까
주기적으로 반복되는 모든 것 — 파도, 소리, 빛, 교류 전기, 심장 박동, 계절 — 이 삼각함수로 표현돼요. 음악 신호 처리, 의료 영상, 건축 구조 계산까지. 회전과 진동의 언어가 바로 삼각함수랍니다.각도법과 호도법 섞기
한 문제 안에서 도(°)와 라디안을 섞으면 안 돼요. 30°=π/6, 45°=π/4, 60°=π/3, 90°=π/2처럼 자주 쓰는 각은 호도법으로 외워 두면 실수가 줄어요.삼각함수 — 단위원 위의 좌표
반지름 1인 단위원 위에서 각 θ가 만드는 점 P의 좌표가 바로 (cosθ, sinθ)예요. y좌표가 sinθ, x좌표가 cosθ, 그 비가 tanθ=sinθ/cosθ. 점이 원 위에 있으니 피타고라스로 sin²θ + cos²θ = 1이 항상 성립해요. 각이 어느 사분면에 있느냐에 따라 부호가 정해져요(전부·사인·탄젠트·코사인).
기억해요 — 단위원 점 = (cosθ, sinθ). 항등식 sin²θ+cos²θ=1
기억 그림 · 사인함수의 그래프
사인함수는 2π마다 똑같이 반복되는 파동(주기 2π). −1과 1 사이를 부드럽게 오르내려요.
움직이는 그림 — 단위원의 사인과 코사인
단위원 위 한 점의 좌표가 그대로 코사인과 사인이 돼요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
사인법칙과 코사인법칙 — 삼각형을 푸는 열쇠
삼각형의 변과 각을 잇는 두 법칙이에요. 사인법칙: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R (R은 외접원 반지름). 코사인법칙: a² = b² + c² − 2bc·cosA. 두 변과 낀 각을 알면 코사인법칙으로 나머지 변을, 한 변과 두 각을 알면 사인법칙으로 다른 변을 구해요. 삼각형 넓이 S = ½bc·sinA도 함께 기억해요.
기억해요 — 사인법칙: 변/sin각 일정 / 코사인법칙: a²=b²+c²−2bc·cosA
①삼각함수 값
30°,45°,60°의 sin·cos·tan는 외워 두면 빠름. 단위원으로 부호 확인.
②그래프와 주기
y=sinx, y=cosx는 주기 2π. y=tanx는 주기 π, 점근선 있음.
③사인법칙
a/sinA=2R. 한 변과 마주 각, 또는 두 각이 주어질 때 강력해요.
④코사인법칙
두 변과 낀 각으로 나머지 변. 세 변으로 각의 cos도 구해요.
삼각함수의 변환
y=a·sin(bx+c)+d에서 a는 진폭(높이), b는 주기를 바꿔요(주기=2π/b), c는 좌우 이동, d는 위아래 이동. 파동의 모양을 자유롭게 조절하는 네 손잡이예요.삼각함수의 활용
사인·코사인법칙으로 직접 잴 수 없는 거리·높이를 구해요. 강 건너 건물 높이, 두 산봉우리 사이 거리 — 두 각과 한 변만 재면 삼각형을 풀어 알아낼 수 있어요.스스로 풀어요 (3단계)
호도법 변환·특수각 삼각함수 값·기본 그래프부터. 단위원을 그려 확인해요.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 삼각함수 값은 단위원 그림으로 부호부터 정하면 헷갈리지 않아요. 「더 간결하게」: 삼각형 문제는 아는 것이 (변+마주각)이면 사인법칙, (두 변+낀 각)이면 코사인법칙으로 길을 정해요.
객관식 진단 퀴즈 — 삼각함수
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 부채꼴 호의 길이 ℓ=rθ
반지름 r 3
중심각 θ(라디안) 2
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1호도법: 180°=π 라디안. 호 ℓ=rθ, 부채꼴 넓이 S=½r²θ.
- 2단위원 위 점 = (cosθ, sinθ). 항등식 sin²θ+cos²θ=1.
- 3그래프: y=sinx, y=cosx 주기 2π · y=tanx 주기 π.
- 4사인법칙 a/sinA=2R · 코사인법칙 a²=b²+c²−2bc cosA.
이 단원의 말·기호
- 호도법
- 반지름과 같은 호의 중심각=1라디안. 180°=π.
- 단위원
- 반지름 1인 원. 점의 좌표가 (cosθ, sinθ).
- 사인법칙
- a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.
- 코사인법칙
- a²=b²+c²−2bc cosA. 두 변과 낀 각으로 나머지 변.
내 말로 설명하기
단위원에서 왜 sin²θ+cos²θ=1인지 설명해 봐요.
예시 — 단위원 위의 점 P의 좌표는 (cosθ, sinθ)예요. P는 반지름 1인 원 위에 있으니 원의 방정식 x²+y²=1을 만족해요. 대입하면 cos²θ+sin²θ=1 — 피타고라스 정리가 그대로 항등식이 된 거예요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.