왜 벡터를 배울까?
방향이 있는 양은 숫자 하나로 안 돼요. 바람·힘·속도·전류 — 크기와 방향을 함께 다뤄야 해요. 물리·공학·컴퓨터 그래픽·AI(고차원 데이터)까지, 벡터는 현대 수학·과학의 공용 언어예요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 벡터의 합·차·실수배를 성분으로 계산한다. ② 내적으로 두 벡터의 각과 수직을 판단한다. ③ 위치벡터로 내분점·무게중심을 나타낸다. ④ 공간벡터로 확장해 공간도형을 다룬다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 벡터 (1,2)와 (3,4)를 더하면?
② 두 벡터가 수직이면 내적은?
① (4,6) 성분끼리 · ② 0 (cos90°=0). 내적이 0인지만 봐도 직각을 알 수 있어요.
벡터 — 크기와 방향을 함께
벡터는 크기와 방향을 함께 갖는 양이에요(속도·힘처럼). 화살표로 나타내요. 덧셈: 두 벡터를 평행사변형으로 이으면 대각선이 합. 실수배: 방향은 그대로, 크기만 늘이거나 줄여요. 좌표로는 성분으로 나타내요 — a=(a₁,a₂)이면 합·차·실수배를 성분끼리 계산해요. 크기 |a|=√(a₁²+a₂²).
기억해요 — 벡터=크기+방향. 합은 성분끼리 더하기. 크기 √(성분 제곱 합)
왜 벡터를 배울까
방향이 있는 양은 숫자 하나로 안 돼요. 바람·힘·속도·전류 — 크기와 방향을 함께 다뤄야 해요. 물리·공학·컴퓨터 그래픽·AI(고차원 데이터)까지, 벡터는 현대 수학·과학의 공용 언어예요.위치 vs 방향
벡터는 시작점이 달라도 크기·방향이 같으면 같은 벡터예요(평행이동해도 같음). 점의 「위치」와 벡터의 「방향+크기」를 구분해요. 성분은 (끝점 − 시작점)으로 구해요.움직이는 그림 — 벡터의 덧셈
두 벡터를 평행사변형으로 이으면 대각선이 합이 돼요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
벡터의 내적 — 방향의 닮음을 수로
두 벡터의 내적은 a·b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂예요(θ는 두 벡터가 이루는 각). 내적은 수(스칼라)가 나와요. 두 벡터가 수직이면 내적 = 0 (cos90°=0). 내적으로 두 벡터가 이루는 각, 한 벡터를 다른 벡터에 비춘 길이(정사영)를 구해요.
기억해요 — 내적 a·b = a₁b₁+a₂b₂ = |a||b|cosθ. 수직이면 내적 0
기억 그림 · 내적과 수직
두 벡터가 수직(90°)이면 cosθ=0이라 내적도 0. 내적이 0인지만 봐도 직각인지 알 수 있어요!
벡터의 활용 — 도형을 벡터로
점의 위치를 위치벡터로 나타내면 도형 문제가 깔끔해져요. 선분의 내분점, 삼각형의 무게중심도 벡터로 간단히 표현돼요(무게중심 = 세 위치벡터의 평균). 직선·평면의 벡터방정식으로 공간도형을 다루고, 내적으로 각과 수직을 따져요. 벡터는 복잡한 도형을 계산으로 바꾸는 강력한 언어예요.
기억해요 — 위치벡터로 도형 표현. 무게중심 = 세 꼭짓점 위치벡터의 평균
①벡터의 연산
합·차는 성분끼리. 실수배는 각 성분에. |a|=√(성분²합).
②내적
a·b=a₁b₁+a₂b₂=|a||b|cosθ. 수직이면 0.
③각과 정사영
cosθ=a·b/(|a||b|). 정사영 길이로 그림자 계산.
④위치벡터·도형
내분점·무게중심을 벡터로. 직선·평면의 벡터방정식.
공간벡터
평면벡터를 공간으로 늘리면 성분이 셋 — a=(a₁,a₂,a₃). 내적 a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃, 크기 |a|=√(a₁²+a₂²+a₃²). 평면에서 배운 모든 것이 z성분 하나를 더해 그대로 확장돼요.벡터와 물리
힘의 합성(여러 힘이 한 물체에), 일 = 힘·이동(내적!), 운동량 — 물리의 핵심 개념이 벡터예요. 내적이 「일」이 되는 것처럼, 추상적 벡터 연산이 그대로 물리적 의미를 가져요.스스로 풀어요 (3단계)
벡터의 성분 연산·크기·기본 내적부터. 성분끼리 계산해요.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 벡터 연산은 성분끼리 더하고 빼면 거의 끝나요. 「더 간결하게」: 각·수직은 내적 a·b 하나로 — 0이면 수직, cosθ=a·b/(|a||b|)로 각을 구해요.
객관식 진단 퀴즈 — 벡터
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 벡터 내적 (a,2)·(3,b)
a (첫 벡터 x) 1
b (둘째 벡터 y) 1
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1벡터=크기+방향. 합·차·실수배는 성분끼리. |a|=√(성분²합).
- 2내적 a·b=a₁b₁+a₂b₂=|a||b|cosθ. 수직이면 0.
- 3각·정사영: cosθ=a·b/(|a||b|).
- 4위치벡터로 내분점·무게중심. 공간벡터는 성분 셋.
이 단원의 말·기호
- 벡터
- 크기와 방향을 함께 가진 양.
- 내적
- a·b=a₁b₁+a₂b₂. 수가 나오는 곱. 수직이면 0.
- 위치벡터
- 원점에서 점까지의 벡터.
- 공간벡터
- 성분이 셋인 벡터 (a₁,a₂,a₃).
내 말로 설명하기
두 벡터가 수직이면 왜 내적이 0인지 설명해 봐요.
예시 — 내적은 a·b=|a||b|cosθ로, 두 벡터의 크기와 사잇각의 코사인을 곱한 거예요. 두 벡터가 수직이면 사잇각 θ=90°이고 cos90°=0이라, 크기가 아무리 커도 내적 전체가 0이 돼요. 그래서 내적이 0인지만 확인하면 두 벡터가 직각인지 알 수 있어요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.