왜 공간좌표를 배울까?
우리가 사는 세상은 3차원이에요. 건축 설계, 3D 그래픽·게임, 비행기 항로, 로봇 팔의 위치 — 모두 공간좌표로 표현돼요. 평면 좌표를 한 축 더 늘려 진짜 공간을 다루는 도구예요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 공간좌표로 위치를 나타낸다. ② 공간에서 두 점 사이 거리·중점을 구한다. ③ 구의 방정식을 다룬다. ④ 직선과 평면, 정사영 등 공간도형을 분석한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① 평면에서 두 점 거리 공식은?
② 거기에 한 좌표를 더하면?
① √(x차²+y차²) · ② √(x차²+y차²+z차²). 공간은 평면 공식에 z 한 줄을 더한 거예요.
공간에서의 위치 — 좌표축이 셋
평면이 x, y 두 좌표라면 공간은 x, y, z 세 좌표로 위치를 나타내요: P(a, b, c). 두 점 사이 거리: 평면의 거리 공식을 한 차원 늘려 d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²). 원점에서 점 (a,b,c)까지 거리는 √(a²+b²+c²) — 피타고라스를 공간으로 확장한 거예요.
기억해요 — 공간 거리 = √(x차²+y차²+z차²). 피타고라스의 3차원 확장
왜 공간좌표를 배울까
우리가 사는 세상은 3차원이에요. 건축 설계, 3D 그래픽·게임, 비행기 항로, 로봇 팔의 위치 — 모두 공간좌표로 표현돼요. 평면 좌표를 한 축 더 늘려 진짜 공간을 다루는 도구예요.z좌표 빠뜨리기
공간 거리·중점에서 z좌표를 빠뜨리면 안 돼요. 중점도 ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)로 세 좌표 모두 평균을 내요. 한 좌표만 빠져도 답이 틀려요.움직이는 그림 — 공간에서의 거리
세 축의 차이로 공간 거리를 구해요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
구의 방정식과 공간도형
구는 중심에서 거리가 일정한 점들의 모임이에요. 중심 (a,b,c), 반지름 r인 구의 방정식: (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r². 평면의 원을 공간으로 확장한 거예요. 직선과 평면: 공간에서 두 직선은 평행·만남·꼬임(만나지도 평행도 아님) 셋 중 하나예요. 직선과 평면, 두 평면이 이루는 각도 다뤄요.
기억해요 — 구 (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r². 원의 3차원 확장
기억 그림 · 정육면체의 대각선
한 변 a인 정육면체의 공간 대각선 = √(a²+a²+a²) = √3·a. 세 방향 거리를 한 번에 잰 것!
공간에서의 거리와 중점
두 점 A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂)에 대해 — 거리 AB = √((x차)²+(y차)²+(z차)²), 중점 M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2). 평면에서 배운 공식에 z좌표 한 줄을 더한 것이에요. 공간 분할(내분점)도 평면과 같은 방식으로 세 좌표 각각에 적용해요.
기억해요 — 공간 거리·중점·내분점 = 평면 공식에 z좌표 한 줄 추가
①공간좌표
P(a,b,c). 세 축 x,y,z로 위치 표현.
②두 점 거리
√((x차)²+(y차)²+(z차)²). 피타고라스 3차원.
③구의 방정식
(x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r². 중심·반지름.
④중점·내분점
각 좌표를 따로 평균·분할. z도 함께.
좌표평면·좌표축
공간에는 세 좌표평면(xy, yz, zx)이 있어요. 점 (a,b,c)를 xy평면에 정사영하면 (a,b,0). 어느 평면·축에 대한 대칭이동도 해당 좌표의 부호만 바꿔 구해요.정사영과 거리
공간의 도형을 평면에 비춘 그림자가 정사영이에요. 점과 평면 사이 거리, 꼬인 두 직선 사이 거리 등은 공간을 평면으로 적절히 잘라 평면 문제로 바꿔 풀어요.스스로 풀어요 (3단계)
공간 두 점 거리·중점·구의 방정식 기본부터. 평면 공식에 z를 더해요.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 공간 문제는 평면 공식에 z좌표 한 줄만 더하면 거의 풀려요. 「더 간결하게」: 구는 원의 방정식에 (z−c)² 추가 — 한 차원 늘린다고 생각하면 통일돼요.
객관식 진단 퀴즈 — 공간도형과공간좌표
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 원점에서 (a,b,c)까지 거리
a 1
b 2
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1공간좌표 P(a,b,c). 세 축 x,y,z로 위치.
- 2두 점 거리 √((x차)²+(y차)²+(z차)²). 피타고라스 3차원.
- 3구의 방정식 (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r². 원의 확장.
- 4중점·내분점: 세 좌표 각각에 평면 공식 적용.
이 단원의 말·기호
- 공간좌표
- 세 수 (a,b,c)로 공간의 위치를 나타냄.
- 공간 거리
- √(x차²+y차²+z차²).
- 구
- 중심에서 거리가 일정한 공간의 점들.
- 정사영
- 공간 도형을 평면에 비춘 그림자.
내 말로 설명하기
공간 거리 공식에 왜 z²이 더 들어가는지 설명해 봐요.
예시 — 평면에서는 가로·세로 두 방향의 차이로 직각삼각형을 만들어 √(x차²+y차²)였어요. 공간에는 높이(z) 방향이 하나 더 있어, 그 차이의 제곱까지 더해야 진짜 거리가 나와요. 그래서 피타고라스를 한 번 더 적용한 √(x차²+y차²+z차²)가 되는 거예요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.