왜 행렬을 배울까?
연립방정식을 행렬로 쓰면 체계적으로 풀 수 있어요. 컴퓨터 그래픽(회전·반사·확대), AI 딥러닝의 가중치, 소셜네트워크 분석까지 — 모두 행렬 계산이에요. 2022 개정 교육과정에서 고1에 복귀한 이유가 바로 이것이에요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 행렬의 덧셈·뺄셈·스칼라곱을 계산한다. ② 행렬의 곱셈(행×열 내적)을 수행한다. ③ 역행렬 A⁻¹를 구하고 역행렬의 존재 조건(det≠0)을 판단한다. ④ 행렬 방정식 AX=B를 역행렬로 푼다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① 2×3 + 1×4 = ?
② 연립방정식 x+y=3, x−y=1 의 해는?
① 10 · ② x=2, y=1. 행렬 곱셈은 ①의 확장, 역행렬 풀기는 ②의 확장이에요.
행렬의 뜻 — 수를 직사각형으로 배열
숫자를 직사각형 모양으로 나란히 늘어놓은 것을 행렬이라 해요. m개의 가로 줄(행)과 n개의 세로 줄(열)로 이루어진 행렬을 m×n 행렬이라 해요. 덧셈·뺄셈은 같은 위치의 원소끼리, 스칼라곱은 모든 원소에 상수를 곱해요.
기억해요 — 같은 크기끼리만 더하고 뺄 수 있어요 / 스칼라곱은 모든 원소에 곱하기
왜 행렬을 배울까
연립방정식을 행렬로 표현하면 체계적으로 풀 수 있어요. 컴퓨터 그래픽(회전·반사·확대)과 인공지능(딥러닝의 가중치)이 모두 행렬 계산이에요. 2022 개정 교육과정에서 고1에 다시 포함된 이유가 바로 이것이에요.크기가 다르면 더하기 불가
행렬은 크기(m×n)가 같아야 덧셈·뺄셈이 돼요. 크기가 다른 두 행렬은 더할 수 없어요. 곱셈은 별도의 크기 조건이 있어요.
행렬의 곱셈 — 행 × 열 내적
A가 m×n 행렬, B가 n×p 행렬일 때 AB = m×p 행렬이에요. AB의 (i, j)원소 = A의 i번째 행과 B의 j번째 열의 원소별 곱의 합. 주의: 일반적으로 AB ≠ BA (교환법칙 성립 안 함).
기억해요 — 곱셈 = 앞 행렬의 (행) × 뒤 행렬의 (열) 내적. 크기 조건: 앞 행렬 열 수 = 뒤 행렬 행 수
기억 그림 · 행×열 내적 계산
A의 파란 행과 B의 황금 열을 원소별로 곱해 더하면 C의 한 원소가 나와요.
움직이는 그림 — A×B 행렬 곱셈
행(파란 줄)과 열(황금 줄)이 만나 결과 행렬 원소를 만들어요.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
역행렬 — 행렬의 나눗셈 대신
정수에서 a × (1/a) = 1이듯, 행렬에서 A × A⁻¹ = E(단위행렬)인 A⁻¹를 역행렬이라 해요. 2×2 행렬 A=[[a,b],[c,d]]의 역행렬은 A⁻¹ = 1/(ad−bc) × [[d,−b],[−c,a]]. 단, ad−bc ≠ 0일 때만 역행렬이 존재해요. (ad−bc를 행렬식(det)이라 해요.)
기억해요 — 역행렬 존재 ⟺ det(A)=ad−bc ≠ 0 / AX=B → X=A⁻¹B
①단위행렬 E
E=[[1,0],[0,1]]. 어떤 행렬과 곱해도 그 행렬 그대로. A×E=E×A=A.
②행렬식
det(A) = ad−bc. 이 값이 0이 아닐 때만 역행렬 존재.
③역행렬 공식
A⁻¹ = (1/det)×[[d,−b],[−c,a]]. 대각 원소 교환, 비대각 원소 부호 반전.
④연립방정식 풀기
AX=B이면 X=A⁻¹B. 역행렬을 왼쪽에 곱하면 X가 구해져요.
행렬 방정식 AX=B
역행렬이 있을 때만 양변에 A⁻¹를 곱해 X=A⁻¹B. 연립방정식을 행렬로 쓰면 — 예: 2x+y=3, x+y=2 → A=[[2,1],[1,1]], B=[[3],[2]]. det(A)=1이므로 A⁻¹=[[1,−1],[−1,2]], X=A⁻¹B=[[1],[1]].AB≠BA 주의
행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않아요. AX=B에서 역행렬을 곱할 때 반드시 같은 쪽에 곱해야 해요. 왼쪽에 A⁻¹을 곱하면 → A⁻¹AX = A⁻¹B → EX = A⁻¹B → X = A⁻¹B.스스로 풀어요 (3단계)
행렬 덧셈·스칼라곱·행렬 곱셈 기본. 한 원소씩 차근차근 계산해요.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 행렬의 곱은 앞 행렬의 행 번호 = 결과의 행, 뒤 행렬의 열 번호 = 결과의 열로 기억해요. ‘더 간결하게’: 역행렬은 det를 먼저 계산하고, det=0이면 계산 불필요.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 새 행렬 문제가 나와요. 합·실수배·곱이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요. 다양한 유형은 위의 ‘문제 은행 45’와 ‘특목’에서 만나요.
1번째 문제 · 기본 — 합
스스로 풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인해요.
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 행렬 연산과 성질을 다양한 유형으로.까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1(i,j)성분
A=[[1,2],[3,4]]에서 (1,1)성분과 (2,2)성분의 합(대각합)을 구하세요.
답: 5
(1,1)성분=1, (2,2)성분=4 → 1+4=5
(1,1)성분=1, (2,2)성분=4 → 1+4=5
2대각행렬 거듭제곱
A=[[2,1],[0,2]], B=[[1,3],[0,1]]일 때 AB를 구하세요.
답: [[2,7],[0,2]]
(1,1)=2·1+1·0=2,(1,2)=2·3+1·1=7,(2,1)=0·1+2·0=0,(2,2)=0·3+2·1=2
(1,1)=2·1+1·0=2,(1,2)=2·3+1·1=7,(2,1)=0·1+2·0=0,(2,2)=0·3+2·1=2
3행 교환행렬 A²=E
A=[[0,1],[1,0]]일 때 A²을 구하세요.
답: [[1,0],[0,1]]
(1,1)=0·0+1·1=1,(1,2)=0·1+1·0=0,(2,1)=1·0+0·1=0,(2,2)=1·1+0·0=1 → A²=E
(1,1)=0·0+1·1=1,(1,2)=0·1+1·0=0,(2,1)=1·0+0·1=0,(2,2)=1·1+0·0=1 → A²=E
4교환법칙 반례
[[a,b],[c,d]]가 모든 2×2 행렬 X에 대해 AX=XA를 만족하면 A는 어떤 꼴인가?
답: [[k,0],[0,k]] (kE 꼴)
단위행렬의 실수배(스칼라행렬)만 모든 행렬과 곱셈이 교환됨
단위행렬의 실수배(스칼라행렬)만 모든 행렬과 곱셈이 교환됨
5삼각행렬 거듭제곱
A=[[1,2],[0,1]]일 때 A²−2A+E를 구하세요.
답: [[0,0],[0,0]]
A²=[[1,4],[0,1]], 2A=[[2,4],[0,2]], A²−2A+E=[[1−2+1,4−4+0],[0,1−2+1]]=[[0,0],[0,0]]
A²=[[1,4],[0,1]], 2A=[[2,4],[0,2]], A²−2A+E=[[1−2+1,4−4+0],[0,1−2+1]]=[[0,0],[0,0]]
6성분 비교
A=[[3,1],[0,3]]일 때 A=3E+N으로 쓸 때 N²을 구하세요.
답: [[0,0],[0,0]]
N=A−3E=[[0,1],[0,0]], N²=[[0,0],[0,0]] (영행렬)
N=A−3E=[[0,1],[0,0]], N²=[[0,0],[0,0]] (영행렬)
7단위행렬 성질
A=[[1,1],[1,1]]일 때 Aⁿ을 추측하세요(n은 자연수).
답: [[2ⁿ⁻¹,2ⁿ⁻¹],[2ⁿ⁻¹,2ⁿ⁻¹]]
A²=2A, A³=4A, … Aⁿ=2ⁿ⁻¹A=2ⁿ⁻¹[[1,1],[1,1]]
A²=2A, A³=4A, … Aⁿ=2ⁿ⁻¹A=2ⁿ⁻¹[[1,1],[1,1]]
8A²=2A
[[x,y],[y,x]]+[[x,−y],[−y,x]]를 구하세요.
답: [[2x,0],[0,2x]]
성분끼리 더함: x+x=2x, y+(−y)=0, y+(−y)=0, x+x=2x → 2xE
성분끼리 더함: x+x=2x, y+(−y)=0, y+(−y)=0, x+x=2x → 2xE
9A²=−E
A=[[2,0],[0,2]]=2E일 때 임의의 2×2 행렬 B에 대해 AB−BA를 구하세요.
답: [[0,0],[0,0]]
A=2E는 스칼라행렬이므로 AB=2B=BA → AB−BA=O
A=2E는 스칼라행렬이므로 AB=2B=BA → AB−BA=O
10케일리 관계
A=[[1,2],[2,4]]일 때 A²을 구하세요.
답: [[5,10],[10,20]]
(1,1)=1·1+2·2=5,(1,2)=1·2+2·4=10,(2,1)=2·1+4·2=10,(2,2)=2·2+4·4=20
(1,1)=1·1+2·2=5,(1,2)=1·2+2·4=10,(2,1)=2·1+4·2=10,(2,2)=2·2+4·4=20
11분배법칙
A=[[0,2],[0,0]], B=[[0,0],[3,0]]일 때 AB를 구하세요.
답: [[6,0],[0,0]]
(1,1)=0·0+2·3=6,(1,2)=0·0+2·0=0,(2,1)=0·0+0·3=0,(2,2)=0·0+0·0=0
(1,1)=0·0+2·3=6,(1,2)=0·0+2·0=0,(2,1)=0·0+0·3=0,(2,2)=0·0+0·0=0
객관식 진단 퀴즈 — 행렬
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 2×2 행렬식(det)
a (1,1) 2
d (2,2) 3
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1행렬의 곱: AB의 (i,j)원소 = A의 i행과 B의 j열의 원소별 곱의 합.
- 2AB ≠ BA (교환법칙 성립 안 함).
- 3역행렬 A⁻¹: AA⁻¹=E. det=ad−bc≠0 일 때만 존재.
- 4행렬 방정식 AX=B → X=A⁻¹B (역행렬을 왼쪽에 곱하기).
이 단원의 말·기호
- 행렬
- 수를 직사각형으로 배열한 것. m×n 행렬.
- 단위행렬
- 주대각선이 1, 나머지 0. E라 씀. AE=EA=A.
- 역행렬
- AA⁻¹=E인 A⁻¹. det≠0일 때 존재.
- 행렬식
- det(A)=ad−bc. 역행렬 존재 조건.
내 말로 설명하기
역행렬이 없는 조건을 한 줄로 설명해 봐요.
예시 — “A⁻¹=(1/det)×[[d,−b],[−c,a]]인데 det=0이면 1/0이 돼서 불가능. 기하학적으론 행렬이 평면을 선으로 납작하게 만들어 버려서 되돌릴 수 없는 상황이야.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.