왜 함수를 배울까?
함수는 변하는 두 양의 관계를 담는 그릇이에요. 시간과 위치, 가격과 수요, 입력과 출력 — 세상의 거의 모든 ~에 따라 ~가 정해진다가 함수예요. 미적분·통계·AI까지 모든 고등 수학이 함수 위에 세워져요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 함수의 뜻과 일대일대응을 이해한다. ② 합성함수를 구하고 순서의 중요성을 안다. ③ 역함수를 구하고 그래프가 y=x에 대칭임을 이해한다. ④ 유리함수·무리함수의 그래프를 평행이동으로 그린다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① f(x)=2x+1일 때 f(3)은?
② f(x)=x+5를 거꾸로 되돌리는 식은?
① 2·3+1=7 · ② x−5 (5를 더한 걸 도로 빼기 = 역함수의 핵심).
함수 — 하나의 입력에 하나의 출력
집합 X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응하는 규칙을 함수라 해요. X를 정의역, 대응되는 값 전체를 치역이라 해요. 서로 다른 입력이 서로 다른 출력을 가지면 일대일함수, 거기에 치역=공역까지 같으면 일대일대응이에요. 일대일대응이라야 역함수를 만들 수 있어요.
기억해요 — 함수 = 입력 하나에 출력 하나. 일대일대응이라야 역함수가 생겨요
왜 함수를 배울까
함수는 변하는 두 양의 관계를 담는 그릇이에요. 시간과 위치, 가격과 수요, 입력과 출력 — 세상의 거의 모든 「~에 따라 ~가 정해진다」가 함수예요. 미적분·통계·AI까지 모든 고등 수학이 함수 위에 세워져요.함수가 아닌 경우
한 입력에 출력이 둘 이상이면 함수가 아니에요. 그래프로는 세로선 검사 — 어떤 수직선이 그래프와 두 번 이상 만나면 함수가 아니에요. (예: x=y²은 함수 아님)합성함수 — 함수를 이어 붙이기
함수 f 다음에 g를 차례로 적용하는 것을 합성함수 (g∘f)(x) = g(f(x))라 해요. f의 출력이 g의 입력이 되도록 안쪽 f부터 계산해요. 주의: 일반적으로 g∘f ≠ f∘g — 순서가 중요해요. 예: f(x)=x+1, g(x)=x²이면 (g∘f)(x)=(x+1)², (f∘g)(x)=x²+1로 서로 달라요.
기억해요 — 합성은 안쪽 f부터. g∘f는 f 먼저, g 나중. 순서 바뀌면 결과도 달라요
움직이는 그림 — 역함수는 y=x에 대칭
함수와 역함수가 y=x 직선을 거울로 대칭이에요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
기억 그림 · 유리함수 y = k/x
유리함수 y=k/x는 x축·y축에 한없이 가까워지는 두 갈래 곡선(쌍곡선). 가까워지는 직선이 점근선이에요.
역함수 — 거꾸로 되돌리는 함수
일대일대응 f의 입력과 출력을 거꾸로 바꾼 함수가 역함수 f⁻¹이에요. y=f(x)에서 x와 y를 맞바꾼 뒤 y에 대해 풀면 역함수의 식이 나와요. 예: y=2x+1 → x=2y+1 → y=(x−1)/2 = f⁻¹(x). 함수와 역함수의 그래프는 직선 y=x에 대칭이에요.
기억해요 — 역함수: x↔y 맞바꿔 풀기. 그래프는 y=x에 대칭
①합성 순서
(g∘f)(x)=g(f(x)). 안쪽 f부터. g∘f와 f∘g는 보통 달라요.
②역함수 조건
일대일대응일 때만 역함수 존재. f⁻¹의 정의역=f의 치역.
③y=x 대칭
f의 점 (a,b) ↔ f⁻¹의 점 (b,a). 두 그래프는 y=x로 포개져요.
④유리·무리함수
y=k/x는 쌍곡선(점근선 축). y=√x는 x≥0에서 정의되는 곡선. 평행이동으로 변형해요.
합성과 역함수의 관계
함수와 그 역함수를 합성하면 제자리로 돌아와요 — (f⁻¹∘f)(x)=x, (f∘f⁻¹)(x)=x. 역함수는 f가 한 일을 정확히 되돌리는 함수라서 그래요.무리함수 y=√x
y=√x는 x≥0에서만 정의되고, y=x²(x≥0 부분)의 역함수예요. y=√(x−p)+q처럼 평행이동하면 시작점이 (p, q)로 옮겨가요. 정의역·치역을 늘 함께 확인해요.스스로 풀어요 (3단계)
함숫값·합성·기본 역함수부터. 안쪽부터 차근차근 계산해요.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 합성은 안쪽 함수부터 값을 넣으면 헷갈리지 않아요. 「더 간결하게」: 역함수는 x와 y를 맞바꿔 풀기 한 가지 방법으로 통일하면 실수가 줄어요.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 새 함수 문제가 나와요. 합성·역함수 값 계산이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요. 다양한 유형은 위의 ‘문제 은행 45’와 ‘특목’에서 만나요.
1번째 문제 · 기본 — 합성함수
스스로 풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인해요.
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 합성·역함수·유리·무리함수를 여러 유형으로.까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1합성함수 미정계수
f(x) = ax + b, g(x) = bx + a이고 (f∘g)(x) = (g∘f)(x)가 모든 x에 대해 성립할 때 a, b 사이의 관계는? (a ≠ b)
답: a + b = 1
f(g(x))=abx+a²+b, g(f(x))=abx+b²+a. 상수 비교 a²+b=b²+a → (a+b)(a−b)=a−b → a+b=1
f(g(x))=abx+a²+b, g(f(x))=abx+b²+a. 상수 비교 a²+b=b²+a → (a+b)(a−b)=a−b → a+b=1
2역함수 합성
함수 f(x) = (2x + 1)/(x − 2)에 대하여 (f∘f)(x)를 구하면?
답: x
f(f(x))=(2·(2x+1)+(x−2))/((2x+1)−2(x−2))=(5x)/5=x (대합함수)
f(f(x))=(2·(2x+1)+(x−2))/((2x+1)−2(x−2))=(5x)/5=x (대합함수)
3분수함수 점근선합
f(x) = 3x − 1일 때 f⁻¹∘f⁻¹(x)를 구하면?
답: (x + 4)/9
f⁻¹(x)=(x+1)/3. f⁻¹(f⁻¹(x))=((x+1)/3+1)/3=(x+4)/9
f⁻¹(x)=(x+1)/3. f⁻¹(f⁻¹(x))=((x+1)/3+1)/3=(x+4)/9
4무리함수 그래프교점
함수 f(x) = (x + 1)/(x − 1)에 대하여 (f∘f)(x)를 구하면?
답: x
f(f(x))=((x+1)+(x−1))/((x+1)−(x−1))=(2x)/2=x (대합함수)
f(f(x))=((x+1)+(x−1))/((x+1)−(x−1))=(2x)/2=x (대합함수)
5역함수 자기대응
f(x) = x/(x + 1)일 때 f(f(f(x)))를 구하면?
답: x/(3x + 1)
f(x)=x/(x+1), f²(x)=x/(2x+1), f³(x)=x/(3x+1) (규칙 x/(nx+1))
f(x)=x/(x+1), f²(x)=x/(2x+1), f³(x)=x/(3x+1) (규칙 x/(nx+1))
6일대일대응 조건
유리함수 y = (ax + b)/(cx + d)의 그래프가 점근선 x = 2, y = 3을 가지고 점 (0, 1)을 지날 때 이 함수가 점 (3, k)를 지나면 k의 값은?
답: 7
식=3+e/(x−2). (0,1): 3+e/(−2)=1 → e=4. (3,k): 3+4/1=7
식=3+e/(x−2). (0,1): 3+e/(−2)=1 → e=4. (3,k): 3+4/1=7
7합성 반복
f(x) = 2x + 3, g가 (g∘f)(x) = x를 만족할 때 g(7)의 값은?
답: 2
g=f⁻¹. f(a)=7 → 2a+3=7 → a=2 → g(7)=2
g=f⁻¹. f(a)=7 → 2a+3=7 → a=2 → g(7)=2
8분수함수 평행이동
일대일대응 f: {1,2,3} → {1,2,3}이 f(1) ≠ 1, f(2) ≠ 2, f(3) ≠ 3을 만족하는 함수(완전순열)의 개수는?
답: 2
교란순열 D₃=2: (2,3,1),(3,1,2)
교란순열 D₃=2: (2,3,1),(3,1,2)
9역함수 값
무리함수 y = √(4 − x²) (−2 ≤ x ≤ 2)의 치역은?
답: 0 ≤ y ≤ 2
반원(반지름2 위쪽). y=√(4−x²)는 0부터 2까지 → 0≤y≤2
반원(반지름2 위쪽). y=√(4−x²)는 0부터 2까지 → 0≤y≤2
10무리함수 정의역치역
f(x) = (x − 1)/(x + 1)일 때 f⁻¹(x)를 구하면?
답: (1 + x)/(1 − x)
y=(x−1)/(x+1) → y(x+1)=x−1 → yx+y=x−1 → x(y−1)=−1−y → x=(1+y)/(1−y)
y=(x−1)/(x+1) → y(x+1)=x−1 → yx+y=x−1 → x(y−1)=−1−y → x=(1+y)/(1−y)
11합성 항등식
함수 f가 모든 실수 x에 대해 f(x + 1) = f(x) + 2, f(0) = 1을 만족할 때 f(5)의 값은?
답: 11
f(x)=2x+1 (등차). f(5)=2·5+1=11
f(x)=2x+1 (등차). f(5)=2·5+1=11
객관식 진단 퀴즈 — 함수와그래프
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 합성함수 (g∘f)(x)
입력 x 2
(사용 안 함) 0
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1함수 = 입력 하나에 출력 하나. 일대일대응이라야 역함수가 생김.
- 2합성함수 (g∘f)(x)=g(f(x)) — 안쪽 f부터. 보통 g∘f≠f∘g.
- 3역함수 f⁻¹: x와 y를 맞바꿔 풀기. 그래프는 y=x에 대칭.
- 4유리함수 y=k/x(쌍곡선·점근선) · 무리함수 y=√x(x≥0).
이 단원의 말·기호
- 일대일대응
- 서로 다른 입력→서로 다른 출력이고 치역=공역. 역함수 존재 조건.
- 합성함수
- f 다음 g를 차례로. (g∘f)(x)=g(f(x)).
- 역함수
- 입력·출력을 거꾸로 바꾼 함수. y=x에 대칭.
- 점근선
- 유리함수가 한없이 가까워지는 직선.
내 말로 설명하기
역함수의 그래프가 왜 y=x에 대칭인지 설명해 봐요.
예시 — 함수 위의 점 (a, b)는 역함수에서 입력·출력이 뒤바뀌어 (b, a)가 돼요. 점 (a,b)와 (b,a)는 직선 y=x에 대해 서로 대칭이므로, 함수와 역함수의 그래프 전체가 y=x를 거울로 포개져요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.