왜 집합·명제를 배울까?
집합은 수학의 공용어예요. 확률·함수·통계의 정의가 모두 집합으로 쓰여요. 명제는 참인지 거짓인지, 무엇이 무엇을 보장하는지 논리적으로 따지는 법이에요. 법률·프로그래밍·증명의 바탕이 되는 생각의 도구랍니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 집합을 기호로 나타내고 부분집합을 판단한다. ② 합·교·여집합과 드모르간 법칙으로 집합을 연산한다. ③ 명제의 역·이·대우를 만들고 참·거짓을 판단한다. ④ 필요충분조건을 진리집합으로 따지고 간단한 명제를 증명한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 준비됐나요?
① {1,2,3}의 부분집합은 몇 개?
② 「비가 오면 땅이 젖는다」가 참일 때, 땅이 안 젖었다면 비는?
① 2³=8개 · ② 비가 안 왔다(대우). 원명제와 대우는 참거짓이 항상 같아요.
집합 — 분명히 모을 수 있는 것들의 모임
어떤 기준으로 분명하게 구분되는 대상들의 모임을 집합이라 해요. 집합을 이루는 하나하나를 원소라 하고, a가 집합 A의 원소이면 a ∈ A로 써요. 집합 A의 모든 원소가 B에도 있으면 A는 B의 부분집합(A ⊂ B)이에요. 원소가 n개인 집합의 부분집합은 2ⁿ개예요.
기억해요 — 원소 ∈ 집합, 부분집합 ⊂. 부분집합 개수 = 2ⁿ
왜 집합·명제를 배울까
집합은 수학의 공용어예요. 확률·함수·통계의 정의가 모두 집합으로 쓰여요. 명제는 논리적으로 따지는 법이에요. 법률·프로그래밍·증명 — 「참인지 거짓인지, 무엇이 무엇을 보장하는지」 따지는 힘의 바탕이에요.공집합과 원소 0개
원소가 하나도 없는 집합을 공집합 ∅이라 해요. 공집합은 모든 집합의 부분집합이에요. 또 {0}은 원소 0을 가진 집합이라 공집합이 아니에요 — 0과 ∅은 달라요.집합의 연산 — 합·교·여집합과 드모르간
합집합 A∪B = A 또는 B에 속한 원소. 교집합 A∩B = A 그리고 B 모두에 속한 원소. 여집합 Aᶜ = 전체집합 U에서 A를 뺀 것. 차집합 A−B = A에서 B를 뺀 것. 드모르간 법칙: (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ, (A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ — 여집합을 씌우면 ∪와 ∩이 뒤바뀌어요.
기억해요 — 합집합=또는, 교집합=그리고. 드모르간: 여집합 씌우면 ∪↔∩ 뒤집힘
움직이는 그림 — 교집합과 합집합
두 집합이 겹치며 교집합·합집합·개수 공식이 드러나요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
기억 그림 · 진리집합의 포함관계
명제 「p이면 q」가 참 ⟺ 진리집합 P ⊂ Q. 조건이 좁을수록(P 작을수록) 더 강한 조건이에요.
명제 — 참·거짓을 가릴 수 있는 문장
참·거짓이 분명한 문장을 명제라 해요. 「p이면 q」(p→q)에서 p를 가정, q를 결론이라 해요. 역(q→p), 이(~p→~q), 대우(~q→~p). 핵심: 원명제와 대우는 참·거짓이 항상 같아요. 그래서 증명이 어려울 때 대우를 대신 증명해요. q가 성립하기 위해 p가 꼭 필요하면 p는 q의 필요조건, p이면 반드시 q이면 p는 충분조건이에요.
기억해요 — 원명제 ⟺ 대우(참거짓 일치). p→q 참이면 p는 충분, q는 필요
①필요·충분
p→q 참: p는 q의 충분조건, q는 p의 필요조건. p⟺q이면 필요충분조건.
②진리집합
조건 p의 진리집합 P. p→q 참 ⟺ P⊂Q. 「모든 P는 Q 안에」를 그림으로 확인해요.
③대우 증명
p→q를 직접 못 보이면 ~q→~p(대우)를 증명. 둘은 참거짓이 같아 안전해요.
④절대부등식
모든 실수에서 성립하는 부등식. (실수)²≥0과 산술·기하 평균이 강력한 도구예요.
산술·기하 평균
a>0, b>0일 때 (a+b)/2 ≥ √(ab) (등호는 a=b). 두 양수의 합이 일정하면 두 수가 같을 때 곱이 최대, 곱이 일정하면 같을 때 합이 최소예요. 최댓값·최솟값 문제의 단골 도구.「모든」과 「어떤」
「모든 x에 대해 p」는 단 하나의 반례로 거짓이 돼요. 「어떤 x에 대해 p」는 단 하나의 예만 찾으면 참. 부정하면 둘이 서로 바뀌어요 — 「모든」의 부정은 「어떤 ~」.스스로 풀어요 (3단계)
원소·부분집합·기본 연산부터. 벤다이어그램을 직접 그려 확인해요.
비평 데스크가 챙긴 것 — 「더 쉽게」: 집합 문제는 벤다이어그램부터 그리면 거의 보여요. 「더 간결하게」: 명제는 막히면 대우로 바꿔요 — 원명제와 참거짓이 같으니 안전해요.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 새 집합 문제가 나와요. 원소 개수 계산이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요. 다양한 유형은 위의 ‘문제 은행 45’와 ‘특목’에서 만나요.
1번째 문제 · 기본 — 합집합
스스로 풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인해요.
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 집합과 명제를 여러 각도로 — 원소 개수·조건·역이대우까지.까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1벤다이어그램 분배
전체집합 U에서 A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)임을 이용해, A={1,2,3,4}, B={2,4}, C={3,4}일 때 A∩(B∪C)를 구하세요.
답: {2, 3, 4}
B∪C={2,3,4}, A와 교집합 → {2,3,4} (분배법칙)
B∪C={2,3,4}, A와 교집합 → {2,3,4} (분배법칙)
2드모르간
(A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ임을 이용해, U={1,2,3,4,5,6}, A={1,2,3}, B={3,4}일 때 (A∪B)ᶜ를 구하세요.
답: {5, 6}
드모르간: A∪B={1,2,3,4} → 여집합 {5,6}
드모르간: A∪B={1,2,3,4} → 여집합 {5,6}
3대칭차집합
A△B = (A−B)∪(B−A)로 정의할 때, A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}이면 A△B는?
답: {1, 2, 5, 6}
A−B={1,2}, B−A={5,6} → 합집합 {1,2,5,6}
A−B={1,2}, B−A={5,6} → 합집합 {1,2,5,6}
4부분집합 개수 조건
집합 {1,2,3,4,5,6}의 부분집합 중 적어도 한 개의 짝수를 포함하는 것의 개수는?
답: 56
전체 2⁶=64, 짝수 전혀 없는 것(홀수만)=2³=8 → 64−8=56
전체 2⁶=64, 짝수 전혀 없는 것(홀수만)=2³=8 → 64−8=56
5명제 모순
명제 '자연수 a, b에 대해 ab가 홀수이면 a+b는 짝수이다'의 참·거짓은?
답: 참
ab가 홀수면 a,b가 모두 홀수 → 홀수+홀수=짝수 → 참
ab가 홀수면 a,b가 모두 홀수 → 홀수+홀수=짝수 → 참
6코시-슈바르츠형
'세 실수 a, b, c에 대해 a²+b²+c² ≥ ab+bc+ca'에서 등호가 성립할 조건은?
답: a = b = c
2(좌−우)=(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²≥0, 등호는 셋이 모두 같을 때
2(좌−우)=(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²≥0, 등호는 셋이 모두 같을 때
7역이대우 진리
조건 p의 진리집합 P, q의 진리집합 Q에 대해 'p는 q이기 위한 필요조건'이면 P와 Q의 포함 관계는?
답: Q ⊂ P
p가 q의 필요조건 ⟺ q→p 참 ⟺ Q⊂P
p가 q의 필요조건 ⟺ q→p 참 ⟺ Q⊂P
8조건부 최솟값
a>0일 때 (a + 1/a)(a + 4/a)의 최솟값은?
답: 9
전개 a²+4/a²+5, a²+4/a²≥2√4=4 → 최소 4+5=9 (a²=2)
전개 a²+4/a²+5, a²+4/a²≥2√4=4 → 최소 4+5=9 (a²=2)
9필요충분 판정
전체집합 U의 원소 40개 중 A에 속하는 것 25개, B에 속하는 것 20개, 어디에도 안 속하는 것 8개일 때 n(A∩B)는?
답: 13
n(A∪B)=40−8=32, n(A∩B)=25+20−32=13
n(A∪B)=40−8=32, n(A∩B)=25+20−32=13
10부정 한정사
명제 'x, y가 실수일 때 xy가 무리수이면 x 또는 y가 무리수이다'의 대우는?
답: x, y가 모두 유리수이면 xy는 유리수이다
~q='x,y 모두 유리수', ~p='xy는 유리수' (대우, 참인 명제)
~q='x,y 모두 유리수', ~p='xy는 유리수' (대우, 참인 명제)
11특수 절대부등식
x>0, y>0이고 2x+y=6일 때 xy의 최댓값은?
답: 9/2
2x·y ≤ ((2x+y)/2)²=9 → 2xy≤9 → xy≤9/2 (2x=y=3, x=3/2)
2x·y ≤ ((2x+y)/2)²=9 → 2xy≤9 → xy≤9/2 (2x=y=3, x=3/2)
객관식 진단 퀴즈 — 집합과명제
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 부분집합의 개수
원소 개수 n 3 개
(사용 안 함) 0
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1합집합 A∪B (또는) · 교집합 A∩B (그리고) · 여집합 Aᶜ.
- 2드모르간: (A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ, (A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ — 여집합 씌우면 ∪↔∩.
- 3개수 공식: n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B).
- 4대우(~q→~p)는 원명제와 참거짓이 같음. p→q 참 ⟺ 진리집합 P⊂Q.
이 단원의 말·기호
- 부분집합
- A의 모든 원소가 B에도 있으면 A⊂B. 개수 2ⁿ.
- 드모르간 법칙
- 여집합을 씌우면 합집합과 교집합이 뒤바뀜.
- 대우
- p→q의 ~q→~p. 원명제와 참거짓이 항상 같음.
- 필요충분조건
- p→q와 q→p가 모두 참. p⟺q.
내 말로 설명하기
명제를 증명할 때 왜 대우를 써도 되는지 설명해 봐요.
예시 — 명제 p→q와 그 대우 ~q→~p는 논리적으로 동치(참거짓이 항상 일치)예요. 그래서 p→q를 직접 보이기 어려울 때 ~q에서 출발해 ~p를 이끌어 내면, 원명제를 증명한 것과 똑같아요.
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.