왜 경우의 수를 배울까?
확률·통계의 바탕이에요. 게임 확률, 로또 당첨 경우의 수, 비밀번호 보안 강도, AI 결정 트리 — 모두 경우의 수 계산에서 시작해요. 순열은 순서 있는 선택, 조합은 순서 없는 선택이라는 구분 하나로 대부분의 경우가 풀려요.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 합의 법칙·곱의 법칙으로 경우의 수를 구한다. ② 순열 ₙPᵣ = n!/(n−r)!을 계산한다. ③ 조합 ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!)을 계산한다. ④ 원형 배열·조건부 경우의 수를 구한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지가 떠오르면 좋아요.
① 주사위 1개·동전 1개를 동시에 던지면 경우는?
② 1, 2, 3을 늘어놓는 방법은 몇 가지?
① 6×2=12가지(곱의 법칙) · ② 3!=6가지. 경우의 수의 두 원리가 다 들어 있어요.
합의 법칙과 곱의 법칙 — 경우의 수 두 원리
경우의 수는 두 원리로 모두 계산돼요. 합의 법칙: 사건 A 또는 B가 일어나는 경우의 수 = m + n (A, B가 동시에 일어나지 않을 때). 곱의 법칙: 사건 A, B가 차례로 일어나는 경우의 수 = m × n. "셔츠 3벌 중 하나, 바지 4벌 중 하나를 입는 경우" → 3 × 4 = 12.
기억해요 — 또는(OR) → 더하기(+), 그리고(AND) 차례로 → 곱하기(×)
왜 경우의 수를 배울까
확률·통계의 바탕이에요. 게임 확률, 로또 당첨 경우의 수, 비밀번호 보안 강도, 인공지능 결정 트리 모두 경우의 수 계산에서 시작해요.합의 법칙 적용 조건 놓치기
합의 법칙은 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때만 바로 더할 수 있어요. 겹치는 경우가 있으면 포함-배제 원리(더하고 빼기)를 써야 해요.순열 — 순서가 있는 선택
서로 다른 n개 중 r개를 순서를 고려해 뽑는 경우의 수를 순열 ₙPᵣ이라 해요. ₙPᵣ = n × (n−1) × ⋯ × (n−r+1) = n!/(n−r)!. 5명 중 반장·부반장(순서 있음): ₅P₂ = 5 × 4 = 20.
기억해요 — 순열 = 순서 있음. n개에서 하나씩 줄여가며 r번 곱해요
기억 그림 · 3명 중 2명 순열 = 6가지
순열은 선택할 때마다 남은 수가 하나씩 줄어요. n, n−1, n−2, …를 r번 곱해요.
움직이는 그림 — 3명 중 2명 순서 선택
트리가 가지치기되며 모든 경우가 나타나요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
조합 — 순서 없는 선택
순서를 고려하지 않고 n개 중 r개를 고르는 경우를 조합 ₙCᵣ이라 해요. ₙCᵣ = ₙPᵣ / r! = n! / (r! × (n−r)!). 순열을 r!로 나누는 이유는 — 순서가 다른 같은 조합을 r!번 중복 셌기 때문이에요. ₅C₂ = 5×4/(2×1) = 10 (5명 중 대표 2명, 순서 무관).
기억해요 — 조합 = 순열 ÷ r! (순서 없애기)
①핵심 차이
순열: "1등 2등" 다름. 조합: "둘 다 선발" 같음. 문제에서 순서 여부를 꼭 확인해요.
②조합 공식
ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!). n=r이면 1, r=0이면 1. ₙCᵣ = ₙCₙ₋ᵣ 대칭 성질!
③원형 배열
n명을 원탁에 앉힐 때: (n−1)! 가지. 기준 1명을 고정해 회전을 제거해요.
④같은 것이 있는 순열
n개 중 같은 것이 p개, q개,…이면: n!/(p!×q!×⋯) 가지.
조합의 활용 — 경우 빼기
‘적어도 한 명’, ‘최소 조건’처럼 셈이 복잡한 경우는 전체 − 여사건이 편할 때가 많아요. "A, B가 동시에 포함되지 않는 경우" = 전체 − (A, B 모두 포함되는 경우).파스칼의 삼각형
ₙCᵣ + ₙCᵣ₊₁ = ₙ₊₁Cᵣ₊₁. 위 두 항을 더하면 아래 항이 나와요. 파스칼의 삼각형이 바로 조합 수의 테이블이에요. 이항식 (a+b)ⁿ의 계수가 이것에서 나와요.스스로 풀어요 (3단계)
합의·곱의 법칙·기본 순열·조합부터. 경우를 직접 나열해 확인해 봐요.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 순열인지 조합인지 헷갈리면 "순서가 의미 있는가?"를 먼저 물어봐요. ‘더 간결하게’: 어려운 경우는 전체 − 여사건, 이 방향이 훨씬 빠를 때가 많아요.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 새 경우의 수 문제가 나와요. nPr·nCr 계산이 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요. 다양한 유형은 위의 ‘문제 은행 45’와 ‘특목’에서 만나요.
1번째 문제 · 기본 — 순열 nPr
스스로 풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인해요.
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 순열·조합·분배를 다양한 상황으로.까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1중복순열
서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 4개를 택해 일렬로 나열하는 중복순열의 수는?
답: 81
중복순열 nʳ=3⁴=81
중복순열 nʳ=3⁴=81
2같은것순열
a,a,b,b,c,c 6개를 일렬로 나열하는 방법의 수는?
답: 90
같은 것이 있는 순열: 6!/(2!2!2!)=720/8=90
같은 것이 있는 순열: 6!/(2!2!2!)=720/8=90
3파스칼
nC2 = 15를 만족하는 자연수 n의 값은?
답: 6
n(n−1)/2=15 → n(n−1)=30 → n=6
n(n−1)/2=15 → n(n−1)=30 → n=6
4조합 성질 nCr
7C3 = nC4를 만족하는 자연수 n의 값은?
답: 7
7C4=7C3=35이므로 n=7 (nCr=nC(n−r))
7C4=7C3=35이므로 n=7 (nCr=nC(n−r))
5최단경로
가로 3칸·세로 3칸 격자에서 대각선 끝까지의 최단 경로의 수는?
답: 20
오른쪽 3·위 3 배열: 6!/(3!3!)=720/36=20
오른쪽 3·위 3 배열: 6!/(3!3!)=720/36=20
6이웃 배열
서로 다른 8개에서 5개를 뽑는 조합과 같은 값을 갖는 8Cr에서 또 다른 r은?
답: 3
8C5=8C3=56 (nCr=nC(n−r), 5+3=8)
8C5=8C3=56 (nCr=nC(n−r), 5+3=8)
7순열(nPr)
1부터 5까지의 자연수 중 서로 다른 3개를 뽑아 만든 세 자리 수의 개수는?
답: 60
5P3=5·4·3=60
5P3=5·4·3=60
8원형 교대 배열
남녀 각 3명, 총 6명을 원형 탁자에 남녀가 교대로 앉히는 방법의 수는?
답: 12
남자 원순열 (3−1)!=2, 사이 여자 3!=6 → 2·6=12
남자 원순열 (3−1)!=2, 사이 여자 3!=6 → 2·6=12
9원순열·팔찌
7개의 서로 다른 구슬로 원형 팔찌를 만드는 방법의 수는? (뒤집기 가능)
답: 360
원순열 (7−1)!=720, 뒤집으면 같으므로 ÷2 → 360
원순열 (7−1)!=720, 뒤집으면 같으므로 ÷2 → 360
10같은 것 순열
빨강 4개, 파랑 2개의 깃발을 일렬로 모두 배열하는 방법의 수는?
답: 15
같은 것이 있는 순열: 6!/(4!2!)=720/48=15
같은 것이 있는 순열: 6!/(4!2!)=720/48=15
11순열(nPr)
서로 다른 5권의 책 중 3권을 골라 책장 한 칸에 순서대로 꽂는 방법의 수는?
답: 60
순서 있음: 5P3=5·4·3=60
순서 있음: 5P3=5·4·3=60
객관식 진단 퀴즈 — 경우의수
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — 순열 ₙPᵣ
전체 n 5 명
뽑을 r 2 명
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1합의 법칙: A 또는 B → m+n. 곱의 법칙: A 그리고 B → m×n.
- 2순열 ₙPᵣ = n!/(n−r)! — 순서 있는 선택.
- 3조합 ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!) — 순서 없는 선택. ₙCᵣ=ₙPᵣ÷r!.
- 4원형 배열: (n−1)!. 같은 것 있는 순열: n!/(p!q!…).
이 단원의 말·기호
- 합의 법칙
- 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때 경우의 수 = 합.
- 곱의 법칙
- 두 사건이 차례로 일어날 때 경우의 수 = 곱.
- 순열
- 순서를 고려해 선택. ₙPᵣ=n!/(n−r)!.
- 조합
- 순서 무관 선택. ₙCᵣ=n!/(r!(n−r)!).
내 말로 설명하기
순열과 조합의 차이를 친구에게 설명해 봐요.
예시 — “대표 2명이면 조합(누가 뽑혔는지만 중요). 반장·부반장이면 순열(같은 2명이어도 역할 순서가 다르면 다른 경우). 그래서 ₅C₂는 ₅P₂를 2!로 나눈 거야.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.