03통계Ⅲ. 통계
이 개념, 궁금하지?숫자 수십 개를 하나로 요약하는 마법 — 대푯값을 직접 만들어 봐.
03-1 대푯값
대푯값은 자료 전체의 특징을 하나의 수로 나타낸 값으로 평균·중앙값·최빈값이 있다.
평균: (변량의 총합)÷(변량의 개수) = .
중앙값: 변량을 크기순으로 나열했을 때 한가운데 위치한 값. 개수가 짝수이면 가운데 두 값의 평균이다.
최빈값: 변량 중 가장 많이 나타나는 값. 두 개 이상일 수도, 없을 수도 있다.
➕ 개념플러스
- 극단적으로 크거나 작은 값(이상값)이 있으면 평균보다 중앙값이 자료를 더 잘 대표한다.
03-2 산포도 — 편차 · 분산 · 표준편차
편차 = (변량) − (평균). 한 자료에서 편차의 총합은 항상 이다.
분산 = (편차)²의 평균 = . 자료가 평균에서 흩어진 정도를 나타낸다.
표준편차 = 분산의 양의 제곱근 = . 단위가 변량과 같아 흩어짐을 직관적으로 비교할 수 있다.
➕ 개념플러스
- 분산·표준편차가 작을수록 자료가 평균 가까이 모여 있어 고르다.
- 변량에 모두 를 곱하면 평균은 배, 분산은 배가 된다(상수를 더해도 분산은 변하지 않는다).
03-3 상관관계 — 산점도
산점도: 두 변량 를 순서쌍 으로 좌표평면에 나타낸 그림.
양의 상관관계: 한 변량이 커질 때 다른 변량도 대체로 커진다(점들이 오른쪽 위로 향함).
음의 상관관계: 한 변량이 커질 때 다른 변량은 대체로 작아진다(점들이 오른쪽 아래로 향함).
점들이 한 직선에 가까이 모일수록 상관관계가 강하고, 넓게 흩어지거나 원 모양이면 상관관계가 약하거나 없다.
➕ 개념플러스
- 상관관계는 두 변량이 함께 변하는 경향일 뿐, 하나가 다른 하나의 원인임을 뜻하지는 않는다.
유형별 문제 예상 정답률 | 기본 6 · 중간 2 · 상위 1
1유형 01대푯값의 이해 (평균, 중앙값, 최빈값)01-1yh-m3-2-03-0101기본70%
대표다음은 학생 5명의 수학 수행평가 점수이다: 7, 8, 5, 8, 12. 이 자료의 평균을 m, 중앙값을 a, 최빈값을 b라 할 때, m + a + b의 값을 구하시오.
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도전 1세트
01-1-ayh-m3-2-03-0101-c1a기본 70%
다음은 어떤 자료이다: 6, 9, 4, 9, 7. 이 자료의 평균을 , 중앙값을 , 최빈값을 라 할 때, 의 값을 구하시오.
정답 23
평균 : . 크기순 나열 에서 중앙값 . 가장 많이 나온 값 . 따라서 .
01-1-byh-m3-2-03-0101-c1b기본 70%
다음은 어떤 자료이다: 10, 12, 8, 10, 15. 이 자료의 평균을 , 중앙값을 , 최빈값을 라 할 때, 의 값을 구하시오.
정답 31
평균 : . 크기순 나열 에서 중앙값 . 가장 많이 나온 값 . 따라서 .
01-1-cyh-m3-2-03-0101-c1c기본 70%
다음은 어떤 자료이다: 3, 5, 7, 5, 5. 이 자료의 평균을 , 중앙값을 , 최빈값을 라 할 때, 의 값을 구하시오.
정답 15
평균 : . 크기순 나열 에서 중앙값 . 가장 많이 나온 값 . 따라서 .
도전 2세트
01-2-ayh-m3-2-03-0101-c2a기본 70%
다음은 어떤 자료이다: 2, 4, 4, 6, 8, 12. 이 자료의 평균을 , 중앙값을 , 최빈값을 라 할 때, 의 값을 구하시오.
정답 15
평균 : . 크기순 나열 에서 중앙값 . 가장 많이 나온 값 . 따라서 .
01-2-byh-m3-2-03-0101-c2b기본 70%
다음은 어떤 자료이다: 1, 3, 3, 5, 6, 12. 이 자료의 평균을 , 중앙값을 , 최빈값을 라 할 때, 의 값을 구하시오.
정답 12
평균 : . 크기순 나열 에서 중앙값 . 가장 많이 나온 값 . 따라서 .
01-2-cyh-m3-2-03-0101-c2c기본 70%
다음은 어떤 자료이다: 4, 8, 6, 8, 10, 12. 이 자료의 평균을 , 중앙값을 , 최빈값을 라 할 때, 의 값을 구하시오.
정답 24
평균 : . 크기순 나열 에서 중앙값 . 가장 많이 나온 값 . 따라서 .
2유형 02평균이 주어질 때 미지수 구하기02-1yh-m3-2-03-0201기본70%
대표4개의 변량 6, 8, x, 12의 평균이 9 일 때, x의 값을 구하시오.
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도전 1세트
02-1-ayh-m3-2-03-0201-c1a기본 70%
변량 5, x, 7, 11의 평균이 일 때, 의 값을 구하시오.
정답 9
평균 공식: . 양변에 4을 곱하면 . 따라서 .
02-1-byh-m3-2-03-0201-c1b기본 70%
변량 4, x, 10, 8의 평균이 일 때, 의 값을 구하시오.
정답 6
평균 공식: . 양변에 4을 곱하면 . 따라서 .
02-1-cyh-m3-2-03-0201-c1c기본 70%
변량 12, x, 9, 15의 평균이 일 때, 의 값을 구하시오.
정답 12
평균 공식: . 양변에 4을 곱하면 . 따라서 .
도전 2세트
02-2-ayh-m3-2-03-0201-c2a기본 70%
변량 3, 7, x, 9, 11의 평균이 일 때, 의 값을 구하시오.
정답 10
평균 공식: . 양변에 5을 곱하면 . 따라서 .
02-2-byh-m3-2-03-0201-c2b기본 70%
변량 2, 5, x, 8, 10의 평균이 일 때, 의 값을 구하시오.
정답 5
평균 공식: . 양변에 5을 곱하면 . 따라서 .
02-2-cyh-m3-2-03-0201-c2c기본 70%
변량 10, 14, x, 8, 6의 평균이 일 때, 의 값을 구하시오.
정답 12
평균 공식: . 양변에 5을 곱하면 . 따라서 .
3유형 03편차의 성질03-1yh-m3-2-03-0301기본70%
대표다음은 학생 5명의 몸무게 편차를 나타낸 것이다: −2, 3, x, −1, 2. 이때 x의 값을 구하시오.
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도전 1세트
03-1-ayh-m3-2-03-0301-c1a기본 70%
어떤 자료의 편차가 각각 3, -4, x, 2, -3일 때, 의 값을 구하시오.
정답 2
편차의 총합은 항상 0이다: . 상수 합이 이므로 .
03-1-byh-m3-2-03-0301-c1b기본 70%
어떤 자료의 편차가 각각 -1, 5, x, -2, -3일 때, 의 값을 구하시오.
정답 1
편차의 총합은 항상 0이다: . 상수 합이 이므로 .
03-1-cyh-m3-2-03-0301-c1c기본 70%
어떤 자료의 편차가 각각 6, -2, x, -5, 1일 때, 의 값을 구하시오.
정답 0
편차의 총합은 항상 0이다: . 상수 합이 이므로 .
도전 2세트
03-2-ayh-m3-2-03-0301-c2a기본 70%
어떤 자료의 편차가 각각 2, -5, 3, x, -1, 4일 때, 의 값을 구하시오.
정답 -3
편차의 총합은 항상 0이다: . 상수 합이 이므로 .
03-2-byh-m3-2-03-0301-c2b기본 70%
어떤 자료의 편차가 각각 -4, 6, -2, x, -1, 3일 때, 의 값을 구하시오.
정답 -2
편차의 총합은 항상 0이다: . 상수 합이 이므로 .
03-2-cyh-m3-2-03-0301-c2c기본 70%
어떤 자료의 편차가 각각 5, -3, -2, x, 1, -2일 때, 의 값을 구하시오.
정답 1
편차의 총합은 항상 0이다: . 상수 합이 이므로 .
4유형 04분산과 표준편차의 계산04-1yh-m3-2-03-0401중간50%
대표세 변량 3, 5, 7의 분산과 표준편차를 각각 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
04-1-ayh-m3-2-03-0401-c1a기본 70%
변량 4, 6, 8의 분산과 표준편차를 각각 구하시오.
정답 분산 8/3, 표준편차 2√6/3
평균 . 편차 . 분산 . 표준편차 .
04-1-byh-m3-2-03-0401-c1b기본 70%
변량 1, 5, 9의 분산과 표준편차를 각각 구하시오.
정답 분산 32/3, 표준편차 4√6/3
평균 . 편차 . 분산 . 표준편차 .
04-1-cyh-m3-2-03-0401-c1c중간 50%
변량 3, 6, 9의 분산과 표준편차를 각각 구하시오.
정답 분산 6, 표준편차 √6
평균 . 편차 . 분산 . 표준편차 .
도전 2세트
04-2-ayh-m3-2-03-0401-c2a중간 50%
변량 1, 2, 3, 4, 5의 분산과 표준편차를 각각 구하시오.
정답 분산 2, 표준편차 √2
평균 . 편차 . 분산 . 표준편차 .
04-2-byh-m3-2-03-0401-c2b중간 50%
변량 2, 4, 6, 8, 10의 분산과 표준편차를 각각 구하시오.
정답 분산 8, 표준편차 2√2
평균 . 편차 . 분산 . 표준편차 .
04-2-cyh-m3-2-03-0401-c2c중간 50%
변량 10, 20, 30, 40, 50의 분산과 표준편차를 각각 구하시오.
정답 분산 200, 표준편차 10√2
평균 . 편차 . 분산 . 표준편차 .
5유형 05변량의 변환과 평균 및 분산의 관계05-1yh-m3-2-03-0501상위10%
대표세 변량 a, b, c의 평균이 5 이고 분산이 4 일 때, 새로운 세 변량 2a, 2b, 2c의 평균과 분산을 각각 구하시오.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
05-1-ayh-m3-2-03-0501-c1a중간 50%
세 변량 의 평균이 , 분산이 일 때, 새로운 변량 의 평균과 분산을 각각 구하시오.
정답 평균 12, 분산 27
각 변량에 를 곱하면 평균은 배: . 분산은 배: .
05-1-byh-m3-2-03-0501-c1b중간 50%
세 변량 의 평균이 , 분산이 일 때, 새로운 변량 의 평균과 분산을 각각 구하시오.
정답 평균 12, 분산 20
각 변량에 를 곱하면 평균은 배: . 분산은 배: .
05-1-cyh-m3-2-03-0501-c1c중간 50%
세 변량 의 평균이 , 분산이 일 때, 새로운 변량 의 평균과 분산을 각각 구하시오.
정답 평균 12, 분산 32
각 변량에 를 곱하면 평균은 배: . 분산은 배: .
도전 2세트
05-2-ayh-m3-2-03-0501-c2a중간 50%
변량 의 평균이 , 분산이 일 때, 로 정해지는 새 변량 의 평균과 분산을 각각 구하시오.
정답 평균 13, 분산 16
평균: (상수 는 평균에 더해짐). 분산: 상수의 덧셈은 분산을 바꾸지 않고 배는 배가 되므로 .
05-2-byh-m3-2-03-0501-c2b상위 10%
변량 의 평균이 , 분산이 일 때, 로 정해지는 새 변량 의 평균과 분산을 각각 구하시오.
정답 평균 22, 분산 54
평균: (상수 는 평균에 더해짐). 분산: 상수의 덧셈은 분산을 바꾸지 않고 배는 배가 되므로 .
05-2-cyh-m3-2-03-0501-c2c상위 10%
변량 의 평균이 , 분산이 일 때, 로 정해지는 새 변량 의 평균과 분산을 각각 구하시오.
정답 평균 -19, 분산 20
평균: (상수 는 평균에 더해짐). 분산: 상수의 덧셈은 분산을 바꾸지 않고 배는 배가 되므로 .
6유형 06산점도의 분석06-1yh-m3-2-03-0601기본70%
대표학생 10명의 수학 점수와 영어 점수를 나타낸 산점도에서 수학 점수가 영어 점수보다 높은 학생의 수를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
06-1-ayh-m3-2-03-0601-c1a기본 70%
아래는 학생 5명의 수학 점수()와 영어 점수()를 나타낸 산점도이다. 수학 점수가 영어 점수보다 높은 학생은 몇 명인지 구하시오.
정답 3명
기준선 아래쪽(수학>영어)에 있는 점의 개수 = 3명.
06-1-byh-m3-2-03-0601-c1b기본 70%
아래는 학생 6명의 수학 점수()와 영어 점수()를 나타낸 산점도이다. 수학 점수가 영어 점수보다 높은 학생은 몇 명인지 구하시오.
정답 2명
기준선 아래쪽 점의 개수 = 2명.
06-1-cyh-m3-2-03-0601-c1c기본 70%
아래는 학생 5명의 수학 점수()와 영어 점수()를 나타낸 산점도이다. 수학 점수가 영어 점수보다 높은 학생은 몇 명인지 구하시오.
정답 4명
기준선 아래쪽 점의 개수 = 4명.
도전 2세트
06-2-ayh-m3-2-03-0601-c2a중간 50%
아래는 학생 6명의 수학 점수()와 영어 점수()를 나타낸 산점도이다. 두 과목 점수가 모두 80점 이상인 학생은 몇 명인지 구하시오.
정답 2명
이고 인 오른쪽 위 영역의 점을 센다 = 2명.
06-2-byh-m3-2-03-0601-c2b기본 70%
아래는 학생 6명의 수학 점수()와 영어 점수()를 나타낸 산점도이다. 수학 점수와 영어 점수가 서로 같은 학생은 몇 명인지 구하시오.
정답 3명
기준선 위에 있는 점의 개수 = 3명.
06-2-cyh-m3-2-03-0601-c2c중간 50%
아래는 학생 5명의 수학 점수()와 영어 점수()를 나타낸 산점도이다. 수학 점수와 영어 점수의 차가 20점 이상인 학생은 몇 명인지 구하시오.
정답 3명
기준선 에서 멀리 떨어진 점(차 )을 센다 = 3명.
7유형 07상관관계의 판단07-1yh-m3-2-03-0701기본70%
대표다음 보기의 두 변량 사이의 상관관계 중 음의 상관관계가 있는 것만을 있는 대로 고르시오. [보기] ㄱ. 산의 높이와 기온 ㄴ. 키와 몸무게 ㄷ. 통화 시간과 배터리 잔량 ㄹ. 시력과 몸무게
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
07-1-ayh-m3-2-03-0701-c1a기본 70%
다음 중 두 변량 사이에 음의 상관관계가 있는 것을 모두 고르시오. [보기] ㄱ. 기온과 아이스크림 판매량 ㄴ. 자동차의 속력과 목적지 도착 시간 ㄷ. 키와 발의 크기 ㄹ. 운동량과 체지방률
정답 ㄴ, ㄹ
속력↑ 도착시간↓(ㄴ), 운동량↑ 체지방률↓(ㄹ)이 음의 상관관계. ㄱ·ㄷ은 양의 상관관계.
07-1-byh-m3-2-03-0701-c1b기본 70%
다음 중 두 변량 사이에 음의 상관관계가 있는 것을 모두 고르시오. [보기] ㄱ. 해발 고도와 기압 ㄴ. 공부 시간과 성적 ㄷ. 물건의 가격과 판매량 ㄹ. 도시의 인구와 자동차 수
정답 ㄱ, ㄷ
고도↑ 기압↓(ㄱ), 가격↑ 판매량↓(ㄷ)이 음의 상관관계. ㄴ·ㄹ은 양의 상관관계.
07-1-cyh-m3-2-03-0701-c1c기본 70%
다음 중 두 변량 사이에 음의 상관관계가 있는 것을 모두 고르시오. [보기] ㄱ. 기온과 온풍기 판매량 ㄴ. 강수량과 우산 판매량 ㄷ. 자동차의 무게와 연비 ㄹ. 책의 두께와 무게
정답 ㄱ, ㄷ
기온↑ 온풍기 판매↓(ㄱ), 무게↑ 연비↓(ㄷ)이 음의 상관관계. ㄴ·ㄹ은 양의 상관관계.
도전 2세트
07-2-ayh-m3-2-03-0701-c2a기본 70%
다음 중 두 변량 사이에 양의 상관관계가 있는 것을 모두 고르시오. [보기] ㄱ. 기온과 난방비 ㄴ. 수면 시간과 피로도 ㄷ. 키와 앉은키 ㄹ. 가족 수와 한 달 생활비
정답 ㄷ, ㄹ
키↑ 앉은키↑(ㄷ), 가족 수↑ 생활비↑(ㄹ)이 양의 상관관계. ㄱ·ㄴ은 음의 상관관계.
07-2-byh-m3-2-03-0701-c2b기본 70%
다음 중 두 변량 사이에 상관관계가 거의 없는 것을 모두 고르시오. [보기] ㄱ. 발의 크기와 수학 성적 ㄴ. 기온과 냉방비 ㄷ. 이름의 길이와 몸무게 ㄹ. 운동량과 근육량
정답 ㄱ, ㄷ
발 크기·수학 성적(ㄱ), 이름 길이·몸무게(ㄷ)는 서로 관련이 없어 상관관계가 없다. ㄴ·ㄹ은 양의 상관관계.
07-2-cyh-m3-2-03-0701-c2c기본 70%
다음 중 두 변량 사이에 음의 상관관계가 있는 것을 모두 고르시오. [보기] ㄱ. 고도와 산소량 ㄴ. 광고비와 판매량 ㄷ. 흡연량과 폐 건강 ㄹ. 기온과 두꺼운 옷 판매량 ㅁ. 소득과 저축액
정답 ㄱ, ㄷ, ㄹ
고도↑ 산소량↓(ㄱ), 흡연량↑ 폐 건강↓(ㄷ), 기온↑ 두꺼운 옷 판매↓(ㄹ). ㄴ·ㅁ은 양의 상관관계.
8유형 08산점도의 모양과 상관관계의 강도08-1yh-m3-2-03-0801기본70%
대표양의 상관관계가 가장 강한 산점도의 특징을 고르시오. (1) 점들이 넓게 분포하여 원 모양을 이룬다. (2) 점들이 오른쪽 아래로 향하는 좁은 띠 모양을 이룬다. (3) 점들이 오른쪽 위로 향하는 좁은 띠 모양을 이룬다. (4) 점들이 오른쪽 위로 향하는 넓은 띠 모양을 이룬다. (5) 점들이 x축에 평행하게 한 줄로 나열된다.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
08-1-ayh-m3-2-03-0801-c1a기본 70%
음의 상관관계가 가장 강한 산점도의 특징을 고르시오. (1) 점들이 원 모양으로 넓게 흩어진다. (2) 점들이 오른쪽 위로 향하는 좁은 띠 모양을 이룬다. (3) 점들이 오른쪽 아래로 향하는 좁은 띠 모양을 이룬다. (4) 점들이 오른쪽 아래로 향하는 넓은 띠 모양을 이룬다. (5) 점들이 x축에 평행하게 한 줄로 나열된다.
정답 (3)
음의 상관관계는 오른쪽 아래로 향하고, 강할수록 좁은 띠에 밀집한다. 따라서 (3).
08-1-byh-m3-2-03-0801-c1b기본 70%
다음 중 두 변량 사이에 상관관계가 없는 산점도를 고르시오. (1) 오른쪽 위로 향하는 좁은 띠 (2) 오른쪽 아래로 향하는 좁은 띠 (3) 점들이 원 모양으로 넓게 흩어짐 (4) 오른쪽 위로 향하는 넓은 띠 (5) 오른쪽 아래로 향하는 넓은 띠
정답 (3)
특정한 방향 없이 원 모양으로 흩어지면 상관관계가 없다. 따라서 (3).
08-1-cyh-m3-2-03-0801-c1c기본 70%
양의 상관관계가 있지만 그 정도가 가장 약한 산점도를 고르시오. (1) 오른쪽 위로 향하는 좁은 띠 (2) 오른쪽 위로 향하는 넓은 띠 (3) 오른쪽 아래로 향하는 좁은 띠 (4) 점들이 원 모양으로 흩어짐 (5) x축에 평행하게 나열
정답 (2)
오른쪽 위(양의 상관)이면서 띠가 넓을수록 상관이 약하다. (4)는 상관이 없으므로 제외. 따라서 (2).
도전 2세트
08-2-ayh-m3-2-03-0801-c2a중간 50%
두 산점도 A(오른쪽 위로 향하는 좁은 띠)와 B(오른쪽 위로 향하는 넓은 띠) 중 상관관계가 더 강한 것을 고르시오. (1) A (2) B (3) 서로 같다 (4) 알 수 없다 (5) 둘 다 상관관계 없음
정답 (1)
같은 방향이면 띠가 좁을수록(직선에 가까울수록) 상관관계가 강하다. 따라서 A, 즉 (1).
08-2-byh-m3-2-03-0801-c2b중간 50%
다음 중 두 변량 사이의 상관관계가 가장 강한 산점도를 고르시오. (1) 오른쪽 아래로 향하는 넓은 띠 (2) 오른쪽 위로 향하는 좁은 띠 (3) 점들이 원 모양으로 흩어짐 (4) 오른쪽 위로 향하는 넓은 띠 (5) 오른쪽 아래로 향하는 넓은 띠
정답 (2)
상관의 강도는 방향과 무관하게 점들이 직선에 가까울수록(띠가 좁을수록) 강하다. 가장 좁은 띠는 (2).
08-2-cyh-m3-2-03-0801-c2c중간 50%
산점도에서 점들이 한 직선에 가까이 모여 있을수록 나타나는 현상으로 옳은 것을 고르시오. (1) 상관관계가 약해진다. (2) 상관관계가 강해진다. (3) 상관관계가 없어진다. (4) 평균이 커진다. (5) 분산이 커진다.
정답 (2)
점들이 직선에 가까울수록 두 변량의 상관관계는 강해진다. 따라서 (2).
9유형 09실제 분포 자료의 평균과 분산 구하기09-1yh-m3-2-03-0901중간50%
대표5개의 변량 4, 5, 6, 7, 8의 평균과 분산을 각각 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
09-1-ayh-m3-2-03-0901-c1a기본 70%
5개의 변량 5, 6, 7, 8, 9의 평균과 분산을 각각 구하시오.
정답 평균 7, 분산 2
평균 . 편차 . 분산 .
09-1-byh-m3-2-03-0901-c1b기본 70%
5개의 변량 1, 4, 7, 10, 13의 평균과 분산을 각각 구하시오.
정답 평균 7, 분산 18
평균 . 편차 . 분산 .
09-1-cyh-m3-2-03-0901-c1c중간 50%
5개의 변량 4, 6, 8, 10, 12의 평균과 분산을 각각 구하시오.
정답 평균 8, 분산 8
평균 . 편차 . 분산 .
도전 2세트
09-2-ayh-m3-2-03-0901-c2a중간 50%
7개의 변량 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7의 평균과 분산을 각각 구하시오.
정답 평균 4, 분산 4
평균 . 편차 . 분산 .
09-2-byh-m3-2-03-0901-c2b중간 50%
7개의 변량 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15의 평균과 분산을 각각 구하시오.
정답 평균 9, 분산 16
평균 . 편차 . 분산 .
09-2-cyh-m3-2-03-0901-c2c중간 50%
7개의 변량 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70의 평균과 분산을 각각 구하시오.
정답 평균 40, 분산 400
평균 . 편차 . 분산 .
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답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~9). 모든 정답은 전수 검산 후 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 대푯값의 이해 (평균, 중앙값, 최빈값)
간략평균 , 중앙값 , 최빈값 이므로 .
- 평균 m은 모든 변량의 합을 자료의 개수인 5로 나눈 값입니다: m = (7 + 8 + 5 + 8 + 12) / 5 = 40 / 5 = 8.
- 중앙값 a는 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열했을 때 한가운데 위치하는 값입니다: 5, 7, 8, 8, 12. 자료의 개수가 5개(홀수)이므로 세 번째 값인 8이 중앙값입니다: a = 8.
- 최빈값 b는 자료 중 가장 빈번하게 나타나는 값입니다: 8점의 빈도가 2회로 가장 많으므로 최빈값 b = 8 입니다.
- 상수들의 합 m + a + b를 구합니다: 8 + 8 + 8 = 24.
- 검산: 총합 40/5 = 평균 8(참), 순서 나열 시 5-7-[8]-8-12 이므로 가운데 8(참), 빈도가 2번인 유일한 수는 8(참) 이므로 합 24가 정확합니다.
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2유형 02 · 평균이 주어질 때 미지수 구하기
간략 → → .
- 평균의 공식은 (변량들의 총합) / (변량의 개수) 입니다.
- 평균 공식을 세웁니다: (6 + 8 + x + 12) / 4 = 9.
- 양변에 4를 곱하여 분자를 고정합니다: 26 + x = 36.
- x의 값을 구합니다: x = 10.
- 검산: x = 10 일 때 네 변량의 합은 6 + 8 + 10 + 12 = 36 이고, 4로 나누면 평균 9가 정확히 얻어지므로 참입니다.
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3유형 03 · 편차의 성질
간략편차의 총합은 0이므로 → → .
- 자료에서 각 변량의 편차(변량 − 평균)들의 총합은 항상 0이 되는 성질을 갖습니다.
- 편차의 합 공식을 세웁니다: (−2) + 3 + x + (−1) + 2 = 0.
- 상수들을 모두 합하여 정리합니다: 2 + x = 0.
- 방정식을 풀어 x의 값을 구합니다: x = −2.
- 검산: 구한 x = −2를 대입해 편차들의 총합을 계산합니다: −2 + 3 − 2 − 1 + 2 = 0 이 정확하게 충족되므로 확실합니다.
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4유형 04 · 분산과 표준편차의 계산
간략평균 , 편차 → 분산 , 표준편차 .
- 변량의 평균을 구합니다: 평균 = (3 + 5 + 7) / 3 = 15 / 3 = 5.
- 각 변량의 편차(변량 − 평균)를 구합니다.
- 3의 편차: 3 − 5 = −2, 5의 편차: 5 − 5 = 0, 7의 편차: 7 − 5 = 2.
- 분산은 편차들의 제곱의 평균입니다: 분산 = ((−2)² + 0² + 2²) / 3 = (4 + 0 + 4) / 3 = 8/3.
- 표준편차는 분산의 양의 제곱근이므로: 표준편차 = √(8/3) = √(24)/3 = 2*√(6)/3.
- 검산: 편차의 제곱 합인 4 + 0 + 4 = 8을 변량 개수 3으로 나눈 분산 8/3과, 그것의 근호 형태인 2*√(6)/3 이 완벽하게 참임을 대조 검증합니다.
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5유형 05 · 변량의 변환과 평균 및 분산의 관계
간략각 변량에 2를 곱하면 평균은 2배 , 분산은 배 .
- 변량들에 공통적으로 실수 k를 곱했을 때 대푯값과 산포도의 선형 변환 성질을 활용합니다.
- 새로운 변량의 평균 E(2X)는 원래 평균 E(X)의 2배가 됩니다: 새로운 평균 = 5 × 2 = 10.
- 새로운 변량의 분산 V(2X)는 원래 분산 V(X)의 2² = 4배가 됩니다: 새로운 분산 = 4 × 4 = 16.
- 검산: 변량들이 평균 5, 분산 4를 가질 때의 예시 값들을 임의로 상정하여 곱해 보았을 때, 평균은 배율 그대로 2배(10)가 되고 분산은 편차 제곱으로 인해 제곱배율인 4배(16)가 됨이 수학적으로 확실합니다.
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6유형 06 · 산점도의 분석
간략기준선 의 아래쪽(수학>영어)에 있는 점이 4개이므로 4명.
그림을 보며 따라가 보세요
- 산점도에서 수학 점수와 영어 점수가 같은 기준선인 y = x (Math = Eng) 점선 경계를 그립니다.
- 수학 점수가 영어 점수보다 높은 학생(x > y)은 이 경계선의 아래쪽(하단부)에 위치한 붉은색 점의 개수와 같습니다.
- 산점도를 보면 경계선 아래쪽 영역에 위치한 점은 (70, 50), (80, 60), (90, 70), (100, 80)에 해당하는 4개입니다.
- 따라서 해당하는 학생 수는 4명입니다.
- 검산: 각 점들의 구체적 위치를 확인합니다. 경계선상에 2개, 경계선 위에 x < y 인 점 4개, 경계선 아래에 x > y 인 점 4개가 존재하므로 합산 인원 10명이 일치하며 아래쪽 4명이 정확합니다.
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7유형 07 · 상관관계의 판단
간략고도↑ 기온↓(ㄱ), 통화 시간↑ 배터리 잔량↓(ㄷ)이 음의 상관관계이므로 ㄱ, ㄷ.
- 음의 상관관계는 한 변량이 증가할 때 다른 변량은 대체로 감소하는 경향을 나타내는 관계입니다.
- ㄱ: 산의 높이가 증가할수록(높아질수록) 기온은 대체로 낮아지므로 음의 상관관계가 성립합니다.
- ㄴ: 일반적으로 키가 커질수록 몸무게도 증가하므로 양의 상관관계입니다.
- ㄷ: 휴대전화 통화 시간이 길어질수록 배터리 잔량은 감소하므로 음의 상관관계가 성립합니다.
- ㄹ: 시력과 몸무게는 상관성이 없으므로 상관관계가 없습니다.
- 따라서 음의 상관관계가 있는 것은 ㄱ, ㄷ 입니다.
- 검산: 한쪽이 커질 때 다른 쪽이 감소하는 역의 비례 관계가 나타나는 것은 고도에 따른 기온 하강(ㄱ) 및 사용량 대비 배터리 소모(ㄷ)가 유일하여 무오류입니다.
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8유형 08 · 산점도의 모양과 상관관계의 강도
간략양의 상관관계(오른쪽 위)이면서 가장 강한(좁은 띠) 것은 (3).
- 양의 상관관계는 한 변량이 증가할 때 다른 변량도 증가하는 형태이므로 점들이 오른쪽 위를 향해야 합니다.
- 상관관계가 강할수록 점들이 흩어지지 않고 하나의 좁은 직선형 띠 모양에 집중적으로 밀집되어 나타납니다.
- 따라서 양의 상관관계가 가장 강한 것은 점들이 오른쪽 위로 향하는 좁은 띠 모양인 (3)입니다.
- 검산: 오른쪽 위(기울기 양수) 조건과 강도 강함(띠의 폭이 좁아 1대1 선형에 가까움) 조건이 충족되는 것은 (3)이 유일하므로 참입니다.
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9유형 09 · 실제 분포 자료의 평균과 분산 구하기
간략평균 , 편차 제곱의 합 → 분산 .
- 5개 변량의 평균을 구합니다: 평균 = (4 + 5 + 6 + 7 + 8) / 5 = 30 / 5 = 6.
- 평균 6을 기준으로 각 변량의 편차를 계산합니다.
- 편차: 4−6 = −2, 5−6 = −1, 6−6 = 0, 7−6 = 1, 8−6 = 2.
- 편차들의 제곱을 연산합니다: (−2)² = 4, (−1)² = 1, 0² = 0, 1² = 1, 2² = 4.
- 편차 제곱들의 평균인 분산을 구합니다: 분산 = (4 + 1 + 0 + 1 + 4) / 5 = 10 / 5 = 2.
- 검산: 등차 분포의 성질에 의해 평균은 중앙값 6과 같고, 분산 역시 편차 제곱합 10을 5로 나눈 2가 정확히 만족됨을 최종 확인합니다.
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