02원의 성질Ⅱ. 원의 성질
02-1 원과 현
원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 수직이등분한다: 이면 .
반지름 , 중심에서 현까지의 거리 일 때 현의 길이: .
한 원에서 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 서로 같다(역도 성립).
➕ 개념플러스
- 현의 수직이등분선은 항상 원의 중심을 지난다.
02-2 원과 접선
접선은 접점을 지나는 반지름과 수직이다: .
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같다: .
원에 외접하는 사각형은 두 쌍의 대변의 길이의 합이 같다: .
➕ 개념플러스
- 직각삼각형(직각 C)의 내접원 반지름은 이고, 직각 꼭짓점에서 두 접점까지의 거리는 모두 이다.
02-3 원주각
한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 이다: .
반원(지름)에 대한 원주각의 크기는 항상 이다.
한 원에서 원주각의 크기는 그 호의 길이에 정비례한다.
원에 내접하는 사각형은 한 쌍의 대각의 크기의 합이 이고, 한 외각은 그와 이웃하지 않는 내대각과 같다.
➕ 개념플러스
- 같은 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다.
유형별 문제 예상 정답률 | 기본 4 · 중간 5 · 상위 0
1유형 01원의 중심에서 현에 내린 수선01-1yh-m3-2-02-0101기본70%
대표반지름의 길이가 5cm인 원 O가 있다. 이 원의 중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 M이라 하자. OM = 3cm 일 때, 현 AB의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm">
01-1-ayh-m3-2-02-0101-c1a기본 70%
반지름의 길이가 cm인 원 O의 중심에서 현 AB에 내린 수선의 발을 M이라 하자. cm일 때, 현 AB의 길이를 구하시오.
정답 cm
→ (cm)
cm">
01-1-byh-m3-2-02-0101-c1b기본 70%
반지름의 길이가 cm인 원 O의 중심에서 현 AB에 내린 수선의 발을 M이라 하자. cm일 때, 현 AB의 길이를 구하시오.
정답 cm
→ (cm)
cm">
01-1-cyh-m3-2-02-0101-c1c기본 70%
반지름의 길이가 cm인 원 O의 중심에서 현 AB에 내린 수선의 발을 M이라 하자. cm일 때, 현 AB의 길이를 구하시오.
정답 cm
→ (cm)
도전 2세트
cm">
01-1-dyh-m3-2-02-0101-c2a중간 50%
반지름의 길이가 cm인 원 O에서 현 AB의 길이가 cm이다. 원의 중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 M이라 할 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
→ (cm)
cm">
01-1-eyh-m3-2-02-0101-c2b중간 50%
반지름의 길이가 cm인 원 O에서 현 AB의 길이가 cm이다. 원의 중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 M이라 할 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
→ (cm)
cm">
01-1-fyh-m3-2-02-0101-c2c중간 50%
반지름의 길이가 cm인 원 O에서 현 AB의 길이가 cm이다. 원의 중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 M이라 할 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
→ (cm)
2유형 02원의 중심에서 두 현까지의 거리와 현의 길이02-1yh-m3-2-02-0201기본70%
대표한 원 O에서 중심 O로부터 두 현 AB, CD까지의 거리가 같다. 현 AB의 길이가 10cm 일 때, 현 CD의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm">
02-1-ayh-m3-2-02-0201-c1a기본 70%
한 원 O에서 중심 O로부터 두 현 AB, CD까지의 거리가 같다. 현 AB의 길이가 cm일 때, 현 CD의 길이를 구하시오.
정답 cm
중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 (cm)
cm">
02-1-byh-m3-2-02-0201-c1b기본 70%
한 원 O에서 중심 O로부터 두 현 AB, CD까지의 거리가 같다. 현 AB의 길이가 cm일 때, 현 CD의 길이를 구하시오.
정답 cm
중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 (cm)
cm">
02-1-cyh-m3-2-02-0201-c1c기본 70%
한 원 O에서 중심 O로부터 두 현 AB, CD까지의 거리가 같다. 현 AB의 길이가 cm일 때, 현 CD의 길이를 구하시오.
정답 cm
중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 (cm)
도전 2세트
cm">
02-1-dyh-m3-2-02-0201-c2a중간 50%
한 원 O에서 두 현 AB, CD의 길이가 같다. 원의 중심 O에서 현 AB까지의 거리가 cm일 때, 중심 O에서 현 CD까지의 거리를 구하시오.
정답 cm
길이가 같은 두 현은 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 O에서 CD까지의 거리도 (cm)
cm">
02-1-eyh-m3-2-02-0201-c2b중간 50%
한 원 O에서 두 현 AB, CD의 길이가 같다. 원의 중심 O에서 현 AB까지의 거리가 cm일 때, 중심 O에서 현 CD까지의 거리를 구하시오.
정답 cm
길이가 같은 두 현은 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 O에서 CD까지의 거리도 (cm)
cm">
02-1-fyh-m3-2-02-0201-c2c중간 50%
한 원 O에서 두 현 AB, CD의 길이가 같다. 원의 중심 O에서 현 AB까지의 거리가 cm일 때, 중심 O에서 현 CD까지의 거리를 구하시오.
정답 cm
길이가 같은 두 현은 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 O에서 CD까지의 거리도 (cm)
3유형 03원 외부의 한 점에서 그은 두 접선의 길이03-1yh-m3-2-02-0301중간50%
대표원 O의 외부의 한 점 P에서 원 O에 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B라 하자. PA = 8cm 이고 각 APB = 60도 일 때, 현 AB의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm">
03-1-ayh-m3-2-02-0301-c1a중간 50%
원 O 외부의 한 점 P에서 원에 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B라 하자. cm이고 일 때, 현 AB의 길이를 구하시오.
정답 cm
인 이등변삼각형에서 꼭지각이 이면 정삼각형 → (cm)
cm">
03-1-byh-m3-2-02-0301-c1b중간 50%
원 O 외부의 한 점 P에서 원에 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B라 하자. cm이고 일 때, 현 AB의 길이를 구하시오.
정답 cm
인 이등변삼각형에서 꼭지각이 이면 정삼각형 → (cm)
cm">
03-1-cyh-m3-2-02-0301-c1c중간 50%
원 O 외부의 한 점 P에서 원에 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B라 하자. cm이고 일 때, 현 AB의 길이를 구하시오.
정답 cm
인 이등변삼각형에서 꼭지각이 이면 정삼각형 → (cm)
도전 2세트
cm">
03-1-dyh-m3-2-02-0301-c2a상위 10%
원 O 외부의 한 점 P에서 원에 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B라 하자. cm이고 일 때, 현 AB의 길이를 구하시오. (근호는 기약 상태로 쓴다.)
정답 cm
이고 꼭지각이 인 직각이등변삼각형이므로 (cm)
cm">
03-1-eyh-m3-2-02-0301-c2b상위 10%
원 O 외부의 한 점 P에서 원에 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B라 하자. cm이고 일 때, 현 AB의 길이를 구하시오. (근호는 기약 상태로 쓴다.)
정답 cm
이고 꼭지각이 인 직각이등변삼각형이므로 (cm)
cm">
03-1-fyh-m3-2-02-0301-c2c상위 10%
원 O 외부의 한 점 P에서 원에 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B라 하자. cm이고 일 때, 현 AB의 길이를 구하시오. (근호는 기약 상태로 쓴다.)
정답 cm
이고 꼭지각이 인 직각이등변삼각형이므로 (cm)
4유형 04삼각형의 내접원과 접선의 길이04-1yh-m3-2-02-0401중간50%
대표직각삼각형 ABC의 두 직각변의 길이가 AC = 6cm, BC = 8cm 이고 내접원의 반지름의 길이가 2cm 일 때, 꼭짓점 A에서 내접원과 변 AC의 접점 E까지의 거리 AE의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm">
04-1-ayh-m3-2-02-0401-c1a중간 50%
인 직각삼각형 ABC에서 cm, cm이고 내접원의 반지름이 cm이다. 꼭짓점 A에서 변 AC 위의 접점 E까지의 거리 를 구하시오.
정답 cm
C가 직각이므로 → (cm)
cm">
04-1-byh-m3-2-02-0401-c1b중간 50%
인 직각삼각형 ABC에서 cm, cm이고 내접원의 반지름이 cm이다. 꼭짓점 A에서 변 AC 위의 접점 E까지의 거리 를 구하시오.
정답 cm
C가 직각이므로 → (cm)
cm">
04-1-cyh-m3-2-02-0401-c1c중간 50%
인 직각삼각형 ABC에서 cm, cm이고 내접원의 반지름이 cm이다. 꼭짓점 A에서 변 AC 위의 접점 E까지의 거리 를 구하시오.
정답 cm
C가 직각이므로 → (cm)
도전 2세트
cm">
04-1-dyh-m3-2-02-0401-c2a상위 10%
인 직각삼각형 ABC에서 cm, cm이다. 이 삼각형의 내접원의 반지름을 구한 뒤, 꼭짓점 A에서 변 AC 위의 접점 E까지의 거리 를 구하시오.
정답 cm
, → (cm)
cm">
04-1-eyh-m3-2-02-0401-c2b상위 10%
인 직각삼각형 ABC에서 cm, cm이다. 이 삼각형의 내접원의 반지름을 구한 뒤, 꼭짓점 A에서 변 AC 위의 접점 E까지의 거리 를 구하시오.
정답 cm
, → (cm)
cm">
04-1-fyh-m3-2-02-0401-c2c상위 10%
인 직각삼각형 ABC에서 cm, cm이다. 이 삼각형의 내접원의 반지름을 구한 뒤, 꼭짓점 A에서 변 AC 위의 접점 E까지의 거리 를 구하시오.
정답 cm
, → (cm)
5유형 05원외접사각형의 성질05-1yh-m3-2-02-0501중간50%
대표원 O에 외접하는 사각형 ABCD가 있다. AB = 7cm, BC = 9cm, CD = 8cm 일 때, 변 AD의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm">
05-1-ayh-m3-2-02-0501-c1a중간 50%
원 O에 외접하는 사각형 ABCD에서 cm, cm, cm일 때, 변 AD의 길이를 구하시오.
정답 cm
→ → (cm)
cm">
05-1-byh-m3-2-02-0501-c1b중간 50%
원 O에 외접하는 사각형 ABCD에서 cm, cm, cm일 때, 변 AD의 길이를 구하시오.
정답 cm
→ → (cm)
cm">
05-1-cyh-m3-2-02-0501-c1c중간 50%
원 O에 외접하는 사각형 ABCD에서 cm, cm, cm일 때, 변 AD의 길이를 구하시오.
정답 cm
→ → (cm)
도전 2세트
cm">
05-1-dyh-m3-2-02-0501-c2a상위 10%
원 O에 외접하는 사각형 ABCD에서 cm, cm, cm일 때, 변 CD의 길이를 구하시오.
정답 cm
→ → (cm)
cm">
05-1-eyh-m3-2-02-0501-c2b상위 10%
원 O에 외접하는 사각형 ABCD에서 cm, cm, cm일 때, 변 AB의 길이를 구하시오.
정답 cm
→ → (cm)
cm">
05-1-fyh-m3-2-02-0501-c2c상위 10%
원 O에 외접하는 사각형 ABCD에서 cm, cm, cm일 때, 변 BC의 길이를 구하시오.
정답 cm
→ → (cm)
6유형 06원주각과 중심각의 성질06-1yh-m3-2-02-0601기본70%
대표원 O의 한 호 AB에 대한 중심각 각 AOB의 크기가 110도 일 때, 이 호에 대한 원주각 각 APB의 크기를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
">
06-1-ayh-m3-2-02-0601-c1a기본 70%
원 O에서 호 AB에 대한 중심각 의 크기가 일 때, 이 호에 대한 원주각 의 크기를 구하시오.
정답
">
06-1-byh-m3-2-02-0601-c1b기본 70%
원 O에서 호 AB에 대한 중심각 의 크기가 일 때, 이 호에 대한 원주각 의 크기를 구하시오.
정답
">
06-1-cyh-m3-2-02-0601-c1c기본 70%
원 O에서 호 AB에 대한 중심각 의 크기가 일 때, 이 호에 대한 원주각 의 크기를 구하시오.
정답
도전 2세트
">
06-1-dyh-m3-2-02-0601-c2a중간 50%
원 O에서 호 AB에 대한 원주각 의 크기가 일 때, 이 호에 대한 중심각 의 크기를 구하시오.
정답
">
06-1-eyh-m3-2-02-0601-c2b중간 50%
원 O에서 호 AB에 대한 원주각 의 크기가 일 때, 이 호에 대한 중심각 의 크기를 구하시오.
정답
">
06-1-fyh-m3-2-02-0601-c2c중간 50%
원 O에서 호 AB에 대한 원주각 의 크기가 일 때, 이 호에 대한 중심각 의 크기를 구하시오.
정답
7유형 07반원에 대한 원주각의 성질07-1yh-m3-2-02-0701기본70%
대표선분 AB가 원 O의 지름이고, 원 위의 한 점 C에 대하여 각 CAB = 35도 일 때, 각 CBA의 크기를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
">
07-1-ayh-m3-2-02-0701-c1a기본 70%
선분 AB가 원 O의 지름이고, 원 위의 한 점 C에 대하여 일 때, 의 크기를 구하시오.
정답
지름에 대한 원주각 →
">
07-1-byh-m3-2-02-0701-c1b기본 70%
선분 AB가 원 O의 지름이고, 원 위의 한 점 C에 대하여 일 때, 의 크기를 구하시오.
정답
지름에 대한 원주각 →
">
07-1-cyh-m3-2-02-0701-c1c기본 70%
선분 AB가 원 O의 지름이고, 원 위의 한 점 C에 대하여 일 때, 의 크기를 구하시오.
정답
지름에 대한 원주각 →
도전 2세트
">
07-1-dyh-m3-2-02-0701-c2a중간 50%
선분 AB가 원 O의 중심 O를 지난다. 원 위의 한 점 C에 대하여 일 때, 의 크기를 구하시오.
정답
AB가 중심을 지나므로 지름이고 →
">
07-1-eyh-m3-2-02-0701-c2b중간 50%
선분 AB가 원 O의 중심 O를 지난다. 원 위의 한 점 C에 대하여 일 때, 의 크기를 구하시오.
정답
AB가 중심을 지나므로 지름이고 →
">
07-1-fyh-m3-2-02-0701-c2c중간 50%
선분 AB가 원 O의 중심 O를 지난다. 원 위의 한 점 C에 대하여 일 때, 의 크기를 구하시오.
정답
AB가 중심을 지나므로 지름이고 →
8유형 08원주각의 크기와 호의 길이의 정비례 관계08-1yh-m3-2-02-0801중간50%
대표한 원 O에서 호 AB의 길이는 호 CD의 길이의 3배이다. 호 CD에 대한 원주각의 크기가 20도 일 때, 호 AB에 대한 원주각의 크기를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
">
08-1-ayh-m3-2-02-0801-c1a중간 50%
한 원 O에서 호 AB의 길이는 호 CD의 길이의 배이다. 호 CD에 대한 원주각의 크기가 일 때, 호 AB에 대한 원주각의 크기를 구하시오.
정답
호의 길이는 원주각에 정비례하므로
">
08-1-byh-m3-2-02-0801-c1b중간 50%
한 원 O에서 호 AB의 길이는 호 CD의 길이의 배이다. 호 CD에 대한 원주각의 크기가 일 때, 호 AB에 대한 원주각의 크기를 구하시오.
정답
호의 길이는 원주각에 정비례하므로
">
08-1-cyh-m3-2-02-0801-c1c중간 50%
한 원 O에서 호 AB의 길이는 호 CD의 길이의 배이다. 호 CD에 대한 원주각의 크기가 일 때, 호 AB에 대한 원주각의 크기를 구하시오.
정답
호의 길이는 원주각에 정비례하므로
도전 2세트
">
08-1-dyh-m3-2-02-0801-c2a상위 10%
한 원 O에서 호 CD의 길이는 호 AB의 길이의 배이다. 호 AB에 대한 원주각의 크기가 일 때, 호 CD에 대한 원주각의 크기를 구하시오.
정답
호의 길이는 원주각에 정비례하므로
">
08-1-eyh-m3-2-02-0801-c2b상위 10%
한 원 O에서 호 AB와 호 CD의 길이의 비가 이다. 호 AB에 대한 원주각의 크기가 일 때, 호 CD에 대한 원주각의 크기를 구하시오.
정답
원주각의 비도 이므로
">
08-1-fyh-m3-2-02-0801-c2c상위 10%
한 원 O에서 호 AB와 호 CD의 길이의 비가 이다. 호 CD에 대한 원주각의 크기가 일 때, 호 AB에 대한 원주각의 크기를 구하시오.
정답
원주각의 비도 이므로
9유형 09원에 내접하는 사각형의 성질09-1yh-m3-2-02-0901중간50%
대표원 O에 내접하는 사각형 ABCD가 있다. 각 DAB = 85도 이고 각 ABC = 95도 일 때, 각 BCD와 각 ADC의 크기를 각각 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
, ">
09-1-ayh-m3-2-02-0901-c1a중간 50%
원 O에 내접하는 사각형 ABCD에서 , 일 때, 와 의 크기를 각각 구하시오.
정답 ,
대각의 합은 → ,
, ">
09-1-byh-m3-2-02-0901-c1b중간 50%
원 O에 내접하는 사각형 ABCD에서 , 일 때, 와 의 크기를 각각 구하시오.
정답 ,
대각의 합은 → ,
, ">
09-1-cyh-m3-2-02-0901-c1c중간 50%
원 O에 내접하는 사각형 ABCD에서 , 일 때, 와 의 크기를 각각 구하시오.
정답 ,
대각의 합은 → ,
도전 2세트
, ">
09-1-dyh-m3-2-02-0901-c2a상위 10%
원 O에 내접하는 사각형 ABCD에서 대각인 와 의 크기의 비가 이다. 와 의 크기를 각각 구하시오.
정답 ,
대각의 합은 이므로 , → ,
, ">
09-1-eyh-m3-2-02-0901-c2b상위 10%
원 O에 내접하는 사각형 ABCD에서 대각인 가 보다 만큼 크다. 와 의 크기를 각각 구하시오.
정답 ,
, → , ,
">
09-1-fyh-m3-2-02-0901-c2c상위 10%
원 O에 내접하는 사각형 ABCD에서 의 외각의 크기가 이다. 의 크기를 구하시오.
정답
내접사각형의 한 외각은 그와 이웃하지 않는 내대각과 같으므로
빈 문제가 있으면 확인 후 접수합니다. 제출하면 전체 답지·해설이 각 문제 아래에 바로 열립니다.
답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~9). 모든 정답은 전수 검산 후 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 원의 중심에서 현에 내린 수선
간략 → (cm).
그림을 보며 따라가 보세요
- 원의 중심 O에서 현 AB에 내린 수선은 그 현을 수직이등분하므로 AM = BM 이고 각 OMA = 90도 입니다.
- 직각삼각형 OAM에서 선분 OA는 원 O의 반지름이므로 5cm 이고, OM = 3cm 입니다.
- 피타고라스 정리에 의해 선분 AM의 길이를 구합니다: AM = √(OA² − OM²) = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √(16) = 4(cm).
- 현 AB의 길이는 AM의 길이의 2배이므로: AB = 2 × AM = 2 × 4 = 8(cm) 입니다.
- 검산: AM = 4cm 이면 직각삼각형 OAM의 세 변이 3 : 4 : 5 이 되어 반지름 OA = 5cm 와 완벽하게 맞아떨어지고, 수직이등분 관계에 의해 AB = 8cm 임이 기하학적으로 참입니다.
장대경 선생님풀이 추천불러오는 중…
아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
2유형 02 · 원의 중심에서 두 현까지의 거리와 현의 길이
간략중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 (cm).
- 한 원 또는 합동인 두 원에서 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 서로 같습니다.
- 문제 조건에 의해 중심 O에서 두 현 AB, CD에 이르는 거리가 같으므로 두 현의 길이는 동일합니다.
- 따라서 CD = AB = 10(cm) 입니다.
- 검산: 현의 길이는 중심으로부터의 최단 거리가 결정하므로 거리가 동일하다면 현의 대칭 합동성에 의해 CD의 길이 역시 10cm와 완전히 일치함을 검증합니다.
장대경 선생님풀이 추천불러오는 중…
아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
3유형 03 · 원 외부의 한 점에서 그은 두 접선의 길이
간략두 접선의 길이가 같아 인 이등변삼각형이고 꼭지각이 이므로 정삼각형 → (cm).
그림을 보며 따라가 보세요
- 원 외부의 한 점 P에서 원 O에 그은 두 접선의 길이는 서로 같으므로 PA = PB = 8(cm) 입니다.
- 따라서 삼각형 PAB는 두 변 PA와 PB의 길이가 같은 이등변삼각형이 됩니다.
- 이등변삼각형 PAB의 꼭짓각의 크기가 각 APB = 60도 이므로, 두 밑각의 크기는 각각 (180도 − 60도) / 2 = 60도 입니다.
- 삼각형 PAB의 세 내각의 크기가 모두 60도로 동일하므로 삼각형 PAB는 정삼각형입니다.
- 정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같으므로 현 AB의 길이는 접선 PA의 길이와 같습니다: AB = PA = 8(cm).
- 검산: 이등변삼각형에서 꼭짓각이 60도이면 세 내각이 모두 60도가 되어 정삼각형으로 수렴하므로, 밑변인 현 AB 역시 8cm 임이 수학적으로 완벽합니다.
장대경 선생님풀이 추천불러오는 중…
아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
4유형 04 · 삼각형의 내접원과 접선의 길이
간략직각 꼭짓점 C에서 접점까지 → (cm).
- 직각삼각형 ABC의 꼭짓점 C가 직각이므로, 내접원 반지름 r = 2cm 에 의해 꼭짓점 C를 한 꼭짓점으로 하는 내접원과의 정사각형 OECF가 형성됩니다.
- 따라서 꼭짓점 C에서 두 접점 E, F까지의 거리는 반지름의 길이와 같습니다: CE = CF = 2(cm).
- 변 AC의 총 길이 6cm 로부터 구하고자 하는 접선 길이 AE를 차로 구합니다.
- AE = AC − CE = 6 − 2 = 4(cm).
- 검산: 접선의 성질에 의해 AD = AE = 4cm 이고, BD = BF = BC − CF = 8 − 2 = 6cm 이 되므로, 빗변 AB = AD + BD = 4 + 6 = 10cm 가 유도됩니다. 이는 피타고라스 정리 AB = √(6² + 8²) = 10 과 무오류로 만족됩니다.
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5유형 05 · 원외접사각형의 성질
간략 → → (cm).
- 원에 외접하는 사각형은 대변(마주 보는 변)의 길이의 합이 서로 같다는 성질을 갖습니다.
- 공식을 수립합니다: AB + CD = AD + BC.
- 주어진 각 변의 수치들을 식에 대입합니다: 7 + 8 = AD + 9.
- 15 = AD + 9 이므로 AD의 길이를 계산합니다: AD = 6(cm).
- 검산: 마주 보는 대변의 합 AB+CD = 7+8 = 15 이며, AD+BC = 6+9 = 15 로 등식이 대칭 성립하여 참임을 검증합니다.
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6유형 06 · 원주각과 중심각의 성질
간략원주각은 중심각의 절반이므로 .
그림을 보며 따라가 보세요
- 원 위의 임의의 점 P에 대하여 호 AB에 대한 원주각 각 APB의 크기는 동일 호에 대한 중심각 각 AOB의 크기의 정확히 1/2배입니다.
- 공식을 세웁니다: 각 APB = 1/2 × 각 AOB.
- 주어진 중심각 110도를 식에 대입합니다: 각 APB = 1/2 × 110도 = 55도.
- 검산: 원주각 55도의 2배가 중심각 110도가 되는 수학적 비가 무오류로 존재함을 확인합니다.
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7유형 07 · 반원에 대한 원주각의 성질
간략지름에 대한 원주각 → .
- 원 O의 지름 AB에 대한 원주각 각 ACB의 크기는 호의 지름 대칭성에 의해 항상 90도(직각)입니다.
- 삼각형 ABC는 각 C = 90도 인 직각삼각형이 되므로, 세 내각의 총합 180도 규칙을 적용합니다.
- 각 CBA = 180도 − (각 ACB + 각 CAB) = 180도 − (90도 + 35도).
- 각 CBA = 180도 − 125도 = 55도.
- 검산: 두 예각인 35도와 55도의 합이 직각삼각형의 나머지 각인 90도를 형성하므로 등식이 완벽히 만족합니다.
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8유형 08 · 원주각의 크기와 호의 길이의 정비례 관계
간략원주각은 호의 길이에 정비례하므로 .
- 동일한 원에서 호의 길이는 그 호에 대한 원주각의 크기에 정비례합니다.
- 따라서 비례식을 세웁니다: (호 AB의 길이) : (호 CD의 길이) = (호 AB의 원주각) : (호 CD의 원주각).
- 조건에서 길이 비가 3 : 1 이므로: 3 : 1 = (호 AB의 원주각) : 20도.
- 호 AB에 대한 원주각을 계산합니다: 3 × 20도 = 60도.
- 검산: 호 AB의 원주각이 60도 이면 호 CD의 원주각 20도와 비교했을 때 정확히 3배 비례가 유지되므로 성립합니다.
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9유형 09 · 원에 내접하는 사각형의 성질
간략내접사각형의 대각의 합은 이므로 , .
- 원 O에 내접하는 사각형의 성질 중, 대각(마주 보는 각)의 합은 항상 180도 입니다.
- 각 DAB 와 마주 보는 각은 각 BCD 이므로: 각 DAB + 각 BCD = 180도.
- 대입: 85도 + 각 BCD = 180도 => 각 BCD = 95도.
- 각 ABC 와 마주 보는 각은 각 ADC 이므로: 각 ABC + 각 ADC = 180도.
- 대입: 95도 + 각 ADC = 180도 => 각 ADC = 85도.
- 검산: 사각형의 마주 보는 두 쌍의 대각 합이 85 + 95 = 180도 로서 각각 정확히 성립하며, 사각형 전체의 네 각 합도 85 + 95 + 95 + 85 = 360도 가 되어 완벽합니다.
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