01삼각비Ⅰ. 삼각비
01-1 삼각비의 뜻
각 C가 직각인 직각삼각형 ABC에서, 기준각 A에 대하여 (높이 , 밑변 , 빗변 )
삼각비의 값은 각의 크기가 정해지면 직각삼각형의 크기와 관계없이 일정하다.
➕ 개념플러스
- 한 삼각비의 값을 알면, 빗변·밑변·높이 중 두 변을 정하고 (피타고라스)로 나머지 삼각비를 구한다.
- ,
01-2 특수각의 삼각비
| (는 정의되지 않음)
➕ 개념플러스
- 각이 에서 로 커지면 sin은 로 증가, cos은 로 감소한다.
01-3 삼각비의 활용
직각삼각형에서 빗변 와 한 예각 를 알면 높이 , 밑변
두 변 와 끼인각 인 삼각형의 넓이 (가 둔각이면 )
두 대각선 가 이루는 각이 인 사각형의 넓이
➕ 개념플러스
- 삼각비의 표: 의 삼각비 값을 소수로 정리한 표. 표의 값을 읽어 그대로 대입한다.
- 실생활 활용(높이·거리)은 그림을 직각삼각형으로 보고 ·을 세운다.
유형별 문제 예상 정답률 | 기본 3 · 중간 3 · 상위 3
1유형 01직각삼각형에서의 삼각비의 정의01-1yh-m3-2-01-0101기본70%
대표각 C = 90도이고 BC = 4cm, AC = 3cm인 직각삼각형 ABC가 있다. 기준각 A에 대하여 sin A, cos A, tan A의 값을 각각 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
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01-1-ayh-m3-2-01-0101-c1a기본 70%
각 가 직각인 직각삼각형 ABC에서 , 일 때, 기준각 A에 대하여 의 값을 각각 구하시오.
정답 , ,
빗변 →
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01-1-byh-m3-2-01-0101-c1b기본 70%
각 가 직각인 직각삼각형 ABC에서 , 일 때, 기준각 A에 대하여 의 값을 각각 구하시오.
정답 , ,
빗변 →
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01-1-cyh-m3-2-01-0101-c1c기본 70%
각 가 직각인 직각삼각형 ABC에서 , 일 때, 기준각 A에 대하여 의 값을 각각 구하시오.
정답 , ,
빗변 →
도전 2세트
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01-1-dyh-m3-2-01-0101-c2a중간 50%
각 가 직각인 직각삼각형 ABC에서 빗변 , 일 때, 기준각 A에 대하여 의 값을 각각 구하시오.
정답 , ,
밑변 →
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01-1-eyh-m3-2-01-0101-c2b중간 50%
각 가 직각인 직각삼각형 ABC에서 빗변 , 일 때, 기준각 A에 대하여 의 값을 각각 구하시오.
정답 , ,
높이 →
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01-1-fyh-m3-2-01-0101-c2c중간 50%
각 가 직각인 직각삼각형 ABC에서 빗변 , 일 때, 기준각 A에 대하여 의 값을 각각 구하시오.
정답 , ,
밑변 →
2유형 02한 삼각비의 값을 이용하여 다른 삼각비 구하기02-1yh-m3-2-01-0201중간50%
대표예각 A에 대하여 cos A = 12/13 일 때, tan A의 값을 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
">
02-1-ayh-m3-2-01-0201-c1a중간 50%
예각 A에 대하여 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
빗변 5, 높이 3인 직각삼각형에서 밑변 →
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02-1-byh-m3-2-01-0201-c1b중간 50%
예각 A에 대하여 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
빗변 17, 밑변 8인 직각삼각형에서 높이 →
">
02-1-cyh-m3-2-01-0201-c1c중간 50%
예각 A에 대하여 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
빗변 17, 밑변 15인 직각삼각형에서 높이 →
도전 2세트
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02-1-dyh-m3-2-01-0201-c2a상위 10%
예각 A에 대하여 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
높이 2, 밑변 1인 직각삼각형에서 빗변 →
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02-1-eyh-m3-2-01-0201-c2b상위 10%
예각 A에 대하여 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
높이 3, 밑변 1인 직각삼각형에서 빗변 →
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02-1-fyh-m3-2-01-0201-c2c상위 10%
예각 A에 대하여 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
빗변 3, 높이 1인 직각삼각형에서 밑변 →
3유형 03특수각의 삼각비의 연산03-1yh-m3-2-01-0301기본70%
대표다음 식의 값을 계산한 결과를 구하시오: sin 30도 × cos 60도 + cos 30도 × tan 60도 − sin 90도
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
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03-1-ayh-m3-2-01-0301-c1a기본 70%
다음 식의 값을 구하시오:
정답
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03-1-byh-m3-2-01-0301-c1b기본 70%
다음 식의 값을 구하시오:
정답
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03-1-cyh-m3-2-01-0301-c1c기본 70%
다음 식의 값을 구하시오:
정답
도전 2세트
">
03-1-dyh-m3-2-01-0301-c2a중간 50%
다음 식의 값을 구하시오:
정답
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03-1-eyh-m3-2-01-0301-c2b중간 50%
다음 식의 값을 구하시오:
정답
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03-1-fyh-m3-2-01-0301-c2c중간 50%
다음 식의 값을 구하시오:
정답
4유형 04삼각비 표 읽기04-1yh-m3-2-01-0401기본70%
대표삼각비의 값 표에 의하면 sin 35도 = 0.5736 이고, cos 36도 = 0.8090 이다. 이때 sin 35도 + cos 36도의 값을 소수로 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
">
04-1-ayh-m3-2-01-0401-c1a기본 70%
삼각비의 표에서 , 이다. 이때 의 값을 소수로 구하시오.
정답
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04-1-byh-m3-2-01-0401-c1b기본 70%
삼각비의 표에서 , 이다. 이때 의 값을 소수로 구하시오.
정답
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04-1-cyh-m3-2-01-0401-c1c기본 70%
삼각비의 표에서 , 이다. 이때 의 값을 소수로 구하시오.
정답
도전 2세트
">
04-1-dyh-m3-2-01-0401-c2a중간 50%
삼각비의 표에서 , 이다. 이때 의 값을 소수로 구하시오.
정답
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04-1-eyh-m3-2-01-0401-c2b중간 50%
삼각비의 표에서 , 이다. 이때 의 값을 소수로 구하시오.
정답
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04-1-fyh-m3-2-01-0401-c2c중간 50%
삼각비의 표에서 , 이다. 이때 의 값을 소수로 구하시오.
정답
5유형 05직각삼각형의 변의 길이와 실생활 활용05-1yh-m3-2-01-0501중간50%
대표어떤 사람이 건물로부터 10m 떨어진 지점 A에서 건물의 꼭대기를 올려다본 각의 크기가 30도였다. 사람의 눈높이를 무시할 때, 이 건물의 높이 h를 구하시오. (단, 답은 근호가 있는 기약 상태로 쓴다.)
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
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05-1-ayh-m3-2-01-0501-c1a중간 50%
나무로부터 떨어진 지점에서 나무 꼭대기를 올려다본 각의 크기가 였다. 눈높이를 무시할 때 나무의 높이를 구하시오.
정답
, →
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05-1-byh-m3-2-01-0501-c1b중간 50%
건물로부터 떨어진 지점에서 건물 꼭대기를 올려다본 각의 크기가 였다. 눈높이를 무시할 때 건물의 높이를 구하시오.
정답
, →
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05-1-cyh-m3-2-01-0501-c1c중간 50%
지면 위 한 지점에서 떨어진 깃대의 꼭대기를 올려다본 각의 크기가 였다. 눈높이를 무시할 때 깃대의 높이를 구하시오. (근호가 있는 기약 상태로 쓴다.)
정답
, →
도전 2세트
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05-1-dyh-m3-2-01-0501-c2a상위 10%
높이가 인 탑의 꼭대기를 지면 위의 한 지점에서 올려다본 각의 크기가 였다. 눈높이를 무시할 때, 이 지점에서 탑까지의 수평거리를 구하시오.
정답
, →
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05-1-eyh-m3-2-01-0501-c2b상위 10%
높이가 인 건물의 꼭대기를 지면 위의 한 지점에서 올려다본 각의 크기가 였다. 눈높이를 무시할 때, 이 지점에서 건물까지의 수평거리를 구하시오.
정답
, →
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05-1-fyh-m3-2-01-0501-c2c상위 10%
높이가 인 나무의 꼭대기를 지면 위의 한 지점에서 올려다본 각의 크기가 였다. 눈높이를 무시할 때, 이 지점에서 나무까지의 수평거리를 구하시오.
정답
, →
6유형 06일반 삼각형의 변의 길이 구하기06-1yh-m3-2-01-0601상위10%
대표삼각형 ABC에서 AB = 6cm, BC = 8cm 이고 그 끼인각 각 B = 60도이다. 변 AC의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
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06-1-ayh-m3-2-01-0601-c1a중간 50%
삼각형 ABC에서 , 이고 끼인각 이다. 변 의 길이를 구하시오. (근호가 있으면 기약 상태로 쓴다.)
정답
A에서 BC에 수선 AH: , , → →
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06-1-byh-m3-2-01-0601-c1b중간 50%
삼각형 ABC에서 , 이고 끼인각 이다. 변 의 길이를 구하시오. (근호가 있으면 기약 상태로 쓴다.)
정답
A에서 BC에 수선 AH: , , → →
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06-1-cyh-m3-2-01-0601-c1c중간 50%
삼각형 ABC에서 , 이고 끼인각 이다. 변 의 길이를 구하시오. (근호가 있으면 기약 상태로 쓴다.)
정답
A에서 BC에 수선 AH: , , → →
도전 2세트
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06-1-dyh-m3-2-01-0601-c2a상위 10%
삼각형 ABC에서 , 이고 끼인각 이다. 변 의 길이를 구하시오. (근호가 있으면 기약 상태로 쓴다.)
정답
A에서 BC의 연장선에 수선 AH: , , → →
">
06-1-eyh-m3-2-01-0601-c2b상위 10%
삼각형 ABC에서 , 이고 끼인각 이다. 변 의 길이를 구하시오. (근호가 있으면 기약 상태로 쓴다.)
정답
A에서 BC의 연장선에 수선 AH: , , → →
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06-1-fyh-m3-2-01-0601-c2c상위 10%
삼각형 ABC에서 , 이고 끼인각 이다. 변 의 길이를 구하시오. (근호가 있으면 기약 상태로 쓴다.)
정답
A에서 BC의 연장선에 수선 AH: , , → →
7유형 07삼각형의 넓이 구하기 (예각)07-1yh-m3-2-01-0701중간50%
대표두 변의 길이가 각각 8cm, 10cm 이고 그 끼인각의 크기가 45도인 삼각형 ABC의 넓이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
">
07-1-ayh-m3-2-01-0701-c1a중간 50%
두 변의 길이가 각각 , 이고 그 끼인각의 크기가 인 삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
">
07-1-byh-m3-2-01-0701-c1b중간 50%
두 변의 길이가 각각 , 이고 그 끼인각의 크기가 인 삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
">
07-1-cyh-m3-2-01-0701-c1c중간 50%
두 변의 길이가 각각 , 이고 그 끼인각의 크기가 인 삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
도전 2세트
">
07-1-dyh-m3-2-01-0701-c2a상위 10%
두 변의 길이가 각각 , 이고 그 끼인각의 크기가 인 삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
">
07-1-eyh-m3-2-01-0701-c2b상위 10%
두 변의 길이가 각각 , 이고 그 끼인각의 크기가 인 삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
">
07-1-fyh-m3-2-01-0701-c2c상위 10%
두 변의 길이가 각각 , 이고 그 끼인각의 크기가 인 삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
8유형 08둔각삼각형의 넓이 구하기08-1yh-m3-2-01-0801상위10%
대표두 변의 길이가 각각 6cm, 10cm 이고 그 끼인각의 크기가 120도인 둔각삼각형 ABC의 넓이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
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08-1-ayh-m3-2-01-0801-c1a중간 50%
두 변의 길이가 각각 , 이고 그 끼인각의 크기가 인 둔각삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
">
08-1-byh-m3-2-01-0801-c1b중간 50%
두 변의 길이가 각각 , 이고 그 끼인각의 크기가 인 둔각삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
">
08-1-cyh-m3-2-01-0801-c1c중간 50%
두 변의 길이가 각각 , 이고 그 끼인각의 크기가 인 둔각삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
도전 2세트
">
08-1-dyh-m3-2-01-0801-c2a상위 10%
두 변의 길이가 각각 , 이고 그 끼인각의 크기가 인 둔각삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
">
08-1-eyh-m3-2-01-0801-c2b상위 10%
두 변의 길이가 각각 , 이고 그 끼인각의 크기가 인 둔각삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
">
08-1-fyh-m3-2-01-0801-c2c상위 10%
두 변의 길이가 각각 , 이고 그 끼인각의 크기가 인 둔각삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
9유형 09대각선을 이용한 사각형의 넓이09-1yh-m3-2-01-0901상위10%
대표두 대각선의 길이가 각각 8cm, 12cm 이고 두 대각선이 이루는 예각의 크기가 60도인 사각형 ABCD의 넓이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
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09-1-ayh-m3-2-01-0901-c1a중간 50%
두 대각선의 길이가 각각 , 이고 두 대각선이 이루는 예각의 크기가 인 사각형의 넓이를 구하시오.
정답
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09-1-byh-m3-2-01-0901-c1b중간 50%
두 대각선의 길이가 각각 , 이고 두 대각선이 이루는 예각의 크기가 인 사각형의 넓이를 구하시오.
정답
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09-1-cyh-m3-2-01-0901-c1c중간 50%
두 대각선의 길이가 각각 , 이고 두 대각선이 이루는 예각의 크기가 인 사각형의 넓이를 구하시오.
정답
도전 2세트
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09-1-dyh-m3-2-01-0901-c2a상위 10%
두 대각선의 길이가 각각 , 이고 두 대각선이 이루는 예각의 크기가 인 사각형의 넓이를 구하시오.
정답
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09-1-eyh-m3-2-01-0901-c2b상위 10%
두 대각선의 길이가 각각 , 이고 두 대각선이 이루는 예각의 크기가 인 사각형의 넓이를 구하시오.
정답
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09-1-fyh-m3-2-01-0901-c2c상위 10%
두 대각선의 길이가 각각 , 이고 두 대각선이 이루는 예각의 크기가 인 사각형의 넓이를 구하시오.
정답
빈 문제가 있으면 확인 후 접수합니다. 제출하면 전체 답지·해설이 각 문제 아래에 바로 열립니다.
답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~9). 모든 정답은 전수 검산 후 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 직각삼각형에서의 삼각비의 정의
간략빗변 →
- 직각삼각형 ABC에서 피타고라스 정리를 사용하여 빗변 AB의 길이를 먼저 구합니다: AB = √(BC² + AC²).
- 길이 수치를 공식에 대입합니다: AB = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √(25) = 5(cm).
- 기준각 A에 대한 삼각비의 기본 정의를 적용합니다.
- sin A = 높이 / 빗변 = BC / AB = 4/5 입니다.
- cos A = 밑변 / 빗변 = AC / AB = 3/5 입니다.
- tan A = 높이 / 밑변 = BC / AC = 4/3 입니다.
- 검산: 직각삼각형의 세 변의 비가 3 : 4 : 5 이며 기준각이 A(밑변 AC=3, 높이 BC=4, 빗변 AB=5)일 때 삼각비 sin A = 4/5, cos A = 3/5, tan A = 4/3 이 성립함을 기하학적으로 재확인합니다.
장대경 선생님풀이 추천불러오는 중…
아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
2유형 02 · 한 삼각비의 값을 이용하여 다른 삼각비 구하기
간략밑변 , 빗변 → 높이 →
- cos A = 12/13 이므로 빗변의 길이가 13, 밑변의 길이가 12인 직각삼각형을 설정할 수 있습니다.
- 피타고라스 정리를 사용하여 직각삼각형의 높이 h를 구합니다: h = √(13² − 12²).
- 높이를 계산합니다: h = √(169 − 144) = √(25) = 5.
- 구하고자 하는 tan A의 값은 높이 / 밑변의 비입니다: tan A = 5/12.
- 검산: 대수 공식 sin² A + cos² A = 1 로부터 sin A = √(1 − (12/13)²) = √(25/169) = 5/13 이며, tan A = sin A / cos A = (5/13) / (12/13) = 5/12 가 됨을 확인합니다.
장대경 선생님풀이 추천불러오는 중…
아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
3유형 03 · 특수각의 삼각비의 연산
간략
- 특수각 삼각비의 정의에 따른 기본 수치들을 준비합니다.
- sin 30도 = 1/2, cos 60도 = 1/2.
- cos 30도 = √(3)/2, tan 60도 = √(3).
- sin 90도 = 1.
- 수치들을 식에 대입하여 순서대로 계산합니다: (1/2 × 1/2) + (√(3)/2 × √(3)) − 1.
- 계산하면: 1/4 + 3/2 − 1 = 1/4 + 6/4 − 4/4 = 3/4.
- 검산: 소수로 전개하여 검산합니다: 0.25 + (1.732/2 × 1.732) − 1 = 0.25 + 1.5 − 1 = 0.75 = 3/4 이 정확히 성립합니다.
장대경 선생님풀이 추천불러오는 중…
아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
4유형 04 · 삼각비 표 읽기
간략표의 값을 대입 →
- 표에서 읽어낸 두 소수값을 식에 대입합니다.
- 대입: 0.5736 + 0.8090.
- 소수의 덧셈 연산을 실행합니다: 0.5736 + 0.8090 = 1.3826.
- 검산: 1.3826 − 0.5736 = 0.8090 이 성립하므로 단순 연산에 착오가 없음을 입증합니다.
장대경 선생님풀이 추천불러오는 중…
아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
5유형 05 · 직각삼각형의 변의 길이와 실생활 활용
간략, →
- 건물의 높이 h와 지면과의 거리 10m, 그리고 올려다본 각 30도는 직각삼각형을 이룹니다.
- 밑변의 길이 10m와 각 30도, 높이 h 사이의 탄젠트 관계식을 수립합니다: tan 30도 = h / 10.
- 특수각 탄젠트 값 tan 30도 = √(3)/3 을 대입합니다: √(3)/3 = h / 10.
- 방정식을 풀어 높이 h를 계산합니다: h = 10 × √(3)/3 = 10*√(3)/3 (m).
- 검산: 높이 10*√(3)/3 m 와 밑변 10m 로 탄젠트를 구하면 (10*√(3)/3) / 10 = √(3)/3 = tan 30도가 정확히 성립하므로 참입니다.
장대경 선생님풀이 추천불러오는 중…
아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
6유형 06 · 일반 삼각형의 변의 길이 구하기
간략, , → →
- 꼭짓점 A에서 대변 BC에 내린 수선의 발을 H라고 놓습니다.
- 직각삼각형 ABH에서 빗변 AB = 6cm 이고 각 B = 60도 이므로 삼각비를 사용해 두 변의 길이를 구합니다.
- 높이 AH = AB × sin 60도 = 6 × √(3)/2 = 3*√(3)(cm).
- 밑변 BH = AB × cos 60도 = 6 × 1/2 = 3(cm).
- 선분 HC의 길이를 계산합니다: HC = BC − BH = 8 − 3 = 5(cm).
- 직각삼각형 AHC에서 피타고라스 정리를 사용하여 AC의 길이를 계산합니다: AC² = AH² + HC².
- 대입: AC² = (3*√(3))² + 5² = 27 + 25 = 52.
- 변의 길이는 양수이므로: AC = √(52) = 2*√(13)(cm).
- 검산: 보조 수선 H로 양분된 오른쪽 직각삼각형 AHC에서 직각변이 3*√(3)cm와 5cm이므로 제곱합 27 + 25 = 52가 되며 AC = 2*√(13)cm가 명백하게 성립합니다.
장대경 선생님풀이 추천불러오는 중…
아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
7유형 07 · 삼각형의 넓이 구하기 (예각)
간략
- 삼각형에서 두 변의 길이 a, b와 그 끼인각의 크기 C(예각)가 주어졌을 때 넓이 공식 S = 1/2 × a × b × sin C 를 적용합니다.
- 공식에 수치들을 대입합니다: S = 1/2 × 8 × 10 × sin 45도.
- 특수각 사인값 sin 45도 = √(2)/2 를 대입합니다: S = 40 × √(2)/2.
- 약분하여 계산을 마무리합니다: S = 20*√(2)(cm²).
- 검산: 꼭짓점에서 내린 높이 h = 8 × sin 45도 = 4*√(2)cm 이며, 밑변이 10cm이므로 삼각형 넓이 공식인 1/2 × 밑변 × 높이 = 1/2 × 10 × 4*√(2) = 20*√(2)cm² 가 만족됨을 확인합니다.
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8유형 08 · 둔각삼각형의 넓이 구하기
간략 →
- 삼각형에서 두 변의 길이 a, b와 그 끼인각 C가 둔각(90도 초과)일 때 넓이 공식 S = 1/2 × a × b × sin(180도 − C) 를 적용합니다.
- 수치들을 공식에 대입합니다: S = 1/2 × 6 × 10 × sin(180도 − 120도).
- sin(60도) = √(3)/2 이므로: S = 30 × √(3)/2.
- 약분하여 계산합니다: S = 15*√(3)(cm²).
- 검산: 보조 수선을 연장선상에 내려 높이를 구하면 h = 6 × sin(180도 − 120도) = 6 × sin 60도 = 3*√(3)cm 입니다. 밑변 10cm에 대해 넓이는 1/2 × 10 × 3*√(3) = 15*√(3)cm² 가 정확하게 만족됩니다.
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9유형 09 · 대각선을 이용한 사각형의 넓이
간략
- 사각형에서 두 대각선의 길이 p, q와 대각선이 이루는 예각의 크기 x가 주어졌을 때 넓이 공식 S = 1/2 × p × q × sin x 를 사용합니다.
- 수치들을 공식에 대입합니다: S = 1/2 × 8 × 12 × sin 60도.
- sin 60도 = √(3)/2 이므로 식을 정리합니다: S = 48 × √(3)/2.
- 계산합니다: S = 24*√(3)(cm²).
- 검산: 대각선들과 평행하도록 사각형 각 꼭짓점을 지나는 평행선으로 큰 평행사변형을 만들면, 그 넓이는 8 × 12 × sin 60도 = 48*√(3)cm² 이고 구하는 사각형 넓이는 이 평행사변형 넓이의 절반이 되므로 24*√(3)cm² 가 맞습니다.
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