04이차함수Ⅳ. 이차함수
이 개념, 궁금하지?왜 던진 공은 포물선을 그리며 떨어질까? 곡선을 직접 그려 봐.
04-1 이차함수의 뜻과 의 그래프
이차함수: 가 에 대한 이차식 로 나타나는 함수.
의 그래프: 원점 을 꼭짓점으로 하고 축()을 축으로 하는 포물선. 이면 아래로 볼록, 이면 위로 볼록.
폭: 가 클수록 폭이 좁고(가파르고), 가 작을수록 폭이 넓다. 와 는 축에 대하여 대칭이다.
➕ 개념플러스
- 그래프가 점 을 지나면 을 만족하므로, 이 식에서 를 구할 수 있다.
04-2 의 그래프
평행이동: 의 그래프를 축 방향으로 , 축 방향으로 만큼 평행이동하면 .
꼭짓점: , 축의 방정식: . 볼록의 방향은 의 부호로 정해진다.
부호와 위치: 만큼 위·아래로, 만큼 좌·우로 옮긴 것이므로 그래프의 모양(폭)은 와 같다.
➕ 개념플러스
- 이면 꼭짓점에서 최솟값 , 이면 꼭짓점에서 최댓값 를 가진다.
04-3 의 그래프
표준형으로 고치기: 완전제곱식을 이용해 를 꼴로 바꾸면 꼭짓점과 축을 알 수 있다.
절편: 절편은 일 때의 값 , 절편은 일 때의 의 값(그래프와 축의 교점).
이차함수의 식 구하기: 꼭짓점 가 주어지면 로 놓고, 지나는 한 점을 대입하여 를 구한다.
➕ 개념플러스
- 그래프의 개형은 볼록 방향(), 꼭짓점의 위치, 절편()으로 판단하여 지나는 사분면을 알 수 있다.
유형별 문제 예상 정답률 | 기본 5 · 중간 3 · 상위 1
1유형 01이차함수의 정의와 판별01-1yh-m3-1-04-0101기본70%
대표다음 보기 중에서 y가 x에 대한 이차함수인 것만을 있는 대로 고르시오. [보기] ㄱ. y = 3x² − 1 ㄴ. y = x(x² − 1) − x³ ㄷ. y = 2/x² ㄹ. y = (x − 2)(x + 3) ㅁ. 가로의 길이가 x 이고 세로의 길이가 x + 2 인 직사각형의 넓이 y
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도전 1세트
01-1-ayh-m3-1-04-0101-c1a기본 70%
다음 보기 중에서 가 에 대한 이차함수인 것만을 있는 대로 고르시오. [보기] ㄱ. ㄴ. ㄷ. ㄹ.
정답 ㄱ, ㄷ
ㄱ(2차)·ㄷ(2차)는 이차함수, ㄴ은 1차식, ㄹ은 분모에 가 있는 분수식이므로 제외. 따라서 ㄱ, ㄷ.
01-1-byh-m3-1-04-0101-c1b기본 70%
다음 보기 중에서 가 에 대한 이차함수인 것만을 있는 대로 고르시오. [보기] ㄱ. ㄴ. ㄷ. ㄹ.
정답 ㄱ, ㄷ
ㄴ(1차), ㄹ(1차)은 제외. ㄷ(2차). 따라서 ㄱ, ㄷ.
01-1-cyh-m3-1-04-0101-c1c기본 70%
다음 보기 중에서 가 에 대한 이차함수인 것만을 있는 대로 고르시오. [보기] ㄱ. ㄴ. ㄷ. ㄹ.
정답 ㄱ, ㄷ, ㄹ
ㄴ(3차)만 제외. ㄷ, ㄹ은 이차식. 따라서 ㄱ, ㄷ, ㄹ.
01-1-dyh-m3-1-04-0101-c1d중간 50%
다음 보기 중에서 가 에 대한 이차함수인 것만을 있는 대로 고르시오. [보기] ㄱ. 한 변의 길이가 인 정사각형의 넓이 ㄴ. 가로 , 세로 인 직사각형의 둘레 ㄷ. ㄹ. 반지름의 길이가 인 원의 넓이
정답 ㄱ, ㄹ
ㄱ(O). ㄴ 둘레(1차 X). ㄷ(1차 X). ㄹ(O). 따라서 ㄱ, ㄹ.
01-1-eyh-m3-1-04-0101-c1e중간 50%
다음 보기 중에서 가 에 대한 이차함수인 것만을 있는 대로 고르시오. [보기] ㄱ. ㄴ. ㄷ. 밑변 , 높이 인 삼각형의 넓이 ㄹ.
정답 ㄱ, ㄷ, ㄹ
ㄴ(3차)만 제외. ㄱ, ㄷ, ㄹ 모두 이차함수. 따라서 ㄱ, ㄷ, ㄹ.
01-1-fyh-m3-1-04-0101-c1f중간 50%
다음 보기 중에서 가 에 대한 이차함수인 것만을 있는 대로 고르시오. [보기] ㄱ. ㄴ. ㄷ. ㄹ. 한 모서리의 길이가 인 정육면체의 부피
정답 ㄱ
ㄱ(O). ㄴ 분수식(X). ㄷ(1차 X). ㄹ(3차 X). 따라서 ㄱ만 이차함수.
2유형 02이차함수 그래프의 폭 비교02-1yh-m3-1-04-0201기본70%
대표다음 이차함수의 그래프 중 그 폭이 가장 좁은 것을 고르시오. (1) y = 1/2 x² (2) y = −3x² (3) y = 4x² (4) y = −1/4 x² (5) y = 2x²
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도전 2세트
02-1-ayh-m3-1-04-0201-c2a기본 70%
다음 이차함수의 그래프 중 그 폭이 가장 좁은 것을 고르시오. (1) (2) (3) (4) (5)
정답 (4)
가 클수록 폭이 좁다. 가 최대이므로 (4) .
02-1-byh-m3-1-04-0201-c2b기본 70%
다음 이차함수의 그래프 중 그 폭이 가장 좁은 것을 고르시오. (1) (2) (3) (4) (5)
정답 (1)
가 최대이므로 (1) 가 가장 폭이 좁다.
02-1-cyh-m3-1-04-0201-c2c기본 70%
다음 이차함수의 그래프 중 그 폭이 가장 좁은 것을 고르시오. (1) (2) (3) (4) (5)
정답 (2)
가 최대이므로 (2) 가 가장 폭이 좁다.
02-1-dyh-m3-1-04-0201-c2d중간 50%
다음 이차함수의 그래프 중 그 폭이 가장 넓은 것을 고르시오. (1) (2) (3) (4) (5)
정답 (4)
폭이 가장 넓은 것은 가 가장 작은 것. 이 최소이므로 (4).
02-1-eyh-m3-1-04-0201-c2e중간 50%
다음 이차함수의 그래프 중 그 폭이 가장 넓은 것을 고르시오. (1) (2) (3) (4) (5)
정답 (3)
가 최소이므로 (3) 가 가장 폭이 넓다.
02-1-fyh-m3-1-04-0201-c2f중간 50%
다음 이차함수의 그래프 중 그 폭이 가장 넓은 것을 고르시오. (1) (2) (3) (4) (5)
정답 (4)
이 최소이므로 (4)가 가장 폭이 넓다.
3유형 03이차함수 y = ax^2 그래프 상의 좌표 대입03-1yh-m3-1-04-0301기본70%
대표이차함수 y = ax² 의 그래프가 점 (−3, 6)을 지날 때, 이 그래프가 지나는 다른 한 점 (2, k)에 대하여 k의 값을 구하시오.
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도전 3세트
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03-1-ayh-m3-1-04-0301-c3a기본 70%
이차함수 의 그래프가 점 을 지날 때, 이 그래프가 지나는 다른 한 점 에 대하여 의 값을 구하시오.
정답
→ , .
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03-1-byh-m3-1-04-0301-c3b기본 70%
이차함수 의 그래프가 점 을 지날 때, 이 그래프가 지나는 다른 한 점 에 대하여 의 값을 구하시오.
정답
→ , .
">
03-1-cyh-m3-1-04-0301-c3c기본 70%
이차함수 의 그래프가 점 을 지날 때, 이 그래프가 지나는 다른 한 점 에 대하여 의 값을 구하시오.
정답
→ , .
">
03-1-dyh-m3-1-04-0301-c3d중간 50%
이차함수 의 그래프가 점 을 지날 때, 이 그래프가 지나는 다른 한 점 에 대하여 의 값을 구하시오.
정답
→ , .
">
03-1-eyh-m3-1-04-0301-c3e중간 50%
이차함수 의 그래프가 점 을 지날 때, 이 그래프가 지나는 다른 한 점 에 대하여 의 값을 구하시오.
정답
→ , .
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03-1-fyh-m3-1-04-0301-c3f중간 50%
이차함수 의 그래프가 점 을 지날 때, 이 그래프가 지나는 다른 한 점 에 대하여 의 값을 구하시오.
정답
→ , .
4유형 04이차함수 y = a(x - p)^2 + q 의 꼭짓점과 축04-1yh-m3-1-04-0401기본70%
대표이차함수 y = −2(x − 3)² + 5 그래프의 꼭짓점의 좌표를 (p, q), 축의 방정식을 x = r이라 할 때, p + q + r의 값을 구하시오.
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도전 4세트
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04-1-ayh-m3-1-04-0401-c4a기본 70%
이차함수 의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 , 축의 방정식을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
정답
꼭짓점 , 축 → .
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04-1-byh-m3-1-04-0401-c4b기본 70%
이차함수 의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 , 축의 방정식을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
정답
꼭짓점 , 축 → .
">
04-1-cyh-m3-1-04-0401-c4c기본 70%
이차함수 의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 , 축의 방정식을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
정답
꼭짓점 , 축 → .
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04-1-dyh-m3-1-04-0401-c4d중간 50%
이차함수 의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 , 축의 방정식을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
정답
꼭짓점 , 축 → .
">
04-1-eyh-m3-1-04-0401-c4e중간 50%
이차함수 의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 , 축의 방정식을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
정답
꼭짓점 , 축 → .
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04-1-fyh-m3-1-04-0401-c4f중간 50%
이차함수 의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 , 축의 방정식을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
정답
꼭짓점 , 축 → .
5유형 05이차함수 그래프의 평행이동05-1yh-m3-1-04-0501기본70%
대표이차함수 y = 3x² 의 그래프를 x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 −4만큼 평행이동한 그래프의 식을 구하시오.
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도전 5세트
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05-1-ayh-m3-1-04-0501-c5a기본 70%
이차함수 의 그래프를 축 방향으로 만큼, 축 방향으로 만큼 평행이동한 그래프의 식을 구하시오.
정답
에 대입.
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05-1-byh-m3-1-04-0501-c5b기본 70%
이차함수 의 그래프를 축 방향으로 만큼, 축 방향으로 만큼 평행이동한 그래프의 식을 구하시오.
정답
대입 → .
">
05-1-cyh-m3-1-04-0501-c5c기본 70%
이차함수 의 그래프를 축 방향으로 만큼, 축 방향으로 만큼 평행이동한 그래프의 식을 구하시오.
정답
대입 → .
">
05-1-dyh-m3-1-04-0501-c5d중간 50%
이차함수 의 그래프를 축 방향으로 만큼, 축 방향으로 만큼 평행이동한 그래프의 식을 구하시오.
정답
대입 → .
">
05-1-eyh-m3-1-04-0501-c5e중간 50%
이차함수 의 그래프를 축 방향으로 만큼, 축 방향으로 만큼 평행이동한 그래프의 식을 구하시오.
정답
대입 → .
">
05-1-fyh-m3-1-04-0501-c5f중간 50%
이차함수 의 그래프를 축 방향으로 만큼, 축 방향으로 만큼 평행이동한 그래프의 식을 구하시오.
정답
대입 → .
6유형 06일반형 이차함수를 표준형으로 변형06-1yh-m3-1-04-0601중간50%
대표이차함수 y = −x² + 6x − 4 의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 6세트
">
06-1-ayh-m3-1-04-0601-c6a중간 50%
이차함수 의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
정답
→ 꼭짓점 .
">
06-1-byh-m3-1-04-0601-c6b중간 50%
이차함수 의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
정답
→ 꼭짓점 .
">
06-1-cyh-m3-1-04-0601-c6c중간 50%
이차함수 의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
정답
→ 꼭짓점 .
">
06-1-dyh-m3-1-04-0601-c6d상위 10%
이차함수 의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
정답
→ 꼭짓점 .
">
06-1-eyh-m3-1-04-0601-c6e상위 10%
이차함수 의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
정답
→ 꼭짓점 .
">
06-1-fyh-m3-1-04-0601-c6f상위 10%
이차함수 의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
정답
→ 꼭짓점 .
7유형 07이차함수 그래프가 지나는 사분면 판별07-1yh-m3-1-04-0701중간50%
대표이차함수 y = (x − 2)² − 3 의 그래프가 지나지 않는 사분면을 구하시오.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 7세트
07-1-ayh-m3-1-04-0701-c7a중간 50%
이차함수 의 그래프가 지나지 않는 사분면을 구하시오.
정답 제4사분면
꼭짓점 , 아래로 볼록, 절편 (둘 다 음수), 절편 (양수) → 제4사분면을 지나지 않는다.
07-1-byh-m3-1-04-0701-c7b중간 50%
이차함수 의 그래프가 지나지 않는 사분면을 구하시오.
정답 제3사분면
꼭짓점 , 아래로 볼록, 절편 (둘 다 양수), 절편 → 제3사분면을 지나지 않는다.
07-1-cyh-m3-1-04-0701-c7c중간 50%
이차함수 의 그래프가 지나지 않는 사분면을 구하시오.
정답 제3사분면
꼭짓점 , 아래로 볼록, 절편 (둘 다 양수), 절편 → 제3사분면을 지나지 않는다.
07-1-dyh-m3-1-04-0701-c7d상위 10%
이차함수 의 그래프가 지나지 않는 사분면을 구하시오.
정답 제3사분면
꼭짓점 , 아래로 볼록, 절편 (둘 다 양수), 절편 → 제3사분면을 지나지 않는다.
07-1-eyh-m3-1-04-0701-c7e상위 10%
이차함수 의 그래프가 지나지 않는 사분면을 구하시오.
정답 제2사분면
위로 볼록, 꼭짓점 , 절편 (둘 다 양수), 절편 → 제2사분면을 지나지 않는다.
07-1-fyh-m3-1-04-0701-c7f상위 10%
이차함수 의 그래프가 지나지 않는 사분면을 구하시오.
정답 제1사분면
위로 볼록, 꼭짓점 , 절편 (둘 다 음수), 절편 → 제1사분면을 지나지 않는다.
8유형 08이차함수의 식 구하기08-1yh-m3-1-04-0801중간50%
대표꼭짓점의 좌표가 (1, −2)이고 점 (3, 6)을 지나는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 8세트
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08-1-ayh-m3-1-04-0801-c8a중간 50%
꼭짓점의 좌표가 이고 점 을 지나는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 구하시오.
정답
에 → → .
">
08-1-byh-m3-1-04-0801-c8b중간 50%
꼭짓점의 좌표가 이고 점 을 지나는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 구하시오.
정답
에 → → .
">
08-1-cyh-m3-1-04-0801-c8c중간 50%
꼭짓점의 좌표가 이고 점 을 지나는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 구하시오.
정답
에 → → .
">
08-1-dyh-m3-1-04-0801-c8d상위 10%
꼭짓점의 좌표가 이고 점 을 지나는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 구하시오.
정답
에 → → .
">
08-1-eyh-m3-1-04-0801-c8e상위 10%
꼭짓점의 좌표가 이고 점 을 지나는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 구하시오.
정답
에 → → .
">
08-1-fyh-m3-1-04-0801-c8f상위 10%
꼭짓점의 좌표가 이고 점 을 지나는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 구하시오.
정답
에 → → .
9유형 09이차함수 그래프와 도형의 넓이09-1yh-m3-1-04-0901상위10%
대표이차함수 y = −x² + 4x 의 그래프와 x축의 두 교점 및 꼭짓점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 9세트
">
09-1-ayh-m3-1-04-0901-c9a상위 10%
이차함수 의 그래프와 축의 두 교점 및 꼭짓점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
절편 (밑변 6), 꼭짓점 (높이 9) → .
">
09-1-byh-m3-1-04-0901-c9b상위 10%
이차함수 의 그래프와 축의 두 교점 및 꼭짓점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
절편 (밑변 2), 꼭짓점 (높이 1) → .
">
09-1-cyh-m3-1-04-0901-c9c상위 10%
이차함수 의 그래프와 축의 두 교점 및 꼭짓점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
절편 (밑변 4), 꼭짓점 (높이 4) → .
">
09-1-dyh-m3-1-04-0901-c9d상위 10%
이차함수 의 그래프와 축의 두 교점 및 꼭짓점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
절편 (밑변 4), 꼭짓점 (높이 4) → .
">
09-1-eyh-m3-1-04-0901-c9e상위 10%
이차함수 의 그래프와 축의 두 교점 및 꼭짓점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
절편 (밑변 6), 꼭짓점 (높이 9) → .
">
09-1-fyh-m3-1-04-0901-c9f상위 10%
이차함수 의 그래프와 축의 두 교점 및 꼭짓점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하시오.
정답
절편 (밑변 4), 꼭짓점 (높이 4) → .
빈 문제가 있으면 확인 후 접수합니다. 제출하면 전체 답지·해설이 각 문제 아래에 바로 열립니다.
답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~9). 모든 정답은 전수 검산 후 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 이차함수의 정의와 판별
간략ㄴ은 전개하면 (1차), ㄷ은 분수식이므로 제외. 남는 이차식은 ㄱ, ㄹ, ㅁ.
- y가 x에 대한 다항식 형태로 정리했을 때 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 와 같은 꼴로 나타나는 함수를 x에 대한 이차함수라고 합니다.
- ㄱ: 우변이 x에 대한 이차식 형태이므로 이차함수가 맞습니다.
- ㄴ: 우변을 전개하여 정리하면 y = x³ − x − x³ = −x 가 되어 일차함수입니다.
- ㄷ: 변수 x가 분모에 있는 식은 다항식이 아닌 분수식이므로 이차함수가 아닙니다.
- ㄹ: 우변을 전개하면 y = x² + x − 6 으로 이차식 형태이므로 이차함수가 맞습니다.
- ㅁ: 넓이를 식으로 세우면 y = x(x + 2) = x² + 2x 이므로 이차함수가 맞습니다.
- 따라서 이차함수인 것은 ㄱ, ㄹ, ㅁ 입니다.
- 검산: 각 보기의 최고차항을 점검하면 ㄱ(2차), ㄴ(1차), ㄷ(분수식), ㄹ(2차), ㅁ(2차) 로 수렴하므로, 다항식 기반 이차함수는 ㄱ, ㄹ, ㅁ이 유일함을 검증합니다.
장대경 선생님풀이 추천불러오는 중…
아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
2유형 02 · 이차함수 그래프의 폭 비교
간략가 클수록 폭이 좁다. 가 최대이므로 (3) .
- 이차함수 y = ax² 그래프에서 x²의 계수 a의 절댓값 |a|가 클수록 포물선의 폭이 좁아집니다.
- 각 보기의 계수의 절댓값을 비교합니다.
- (1) |1/2| = 0.5, (2) |−3| = 3, (3) |4| = 4, (4) |−1/4| = 0.25, (5) |2| = 2.
- 절댓값이 가장 큰 값은 (3)의 4 입니다.
- 따라서 포물선의 폭이 가장 좁은 그래프는 (3)입니다.
- 검산: |4| > |−3| > |2| > |1/2| > |−1/4| 의 관계가 성립하므로, 절댓값이 가장 큰 (3)번 y = 4x² 가 가장 폭이 좁고 축에 가깝게 가파른 포물선이 맞습니다.
장대경 선생님풀이 추천불러오는 중…
아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
3유형 03 · 이차함수 y = ax^2 그래프 상의 좌표 대입
간략 대입 → → , → .
- 점 (−3, 6)이 함수 그래프 위의 점이므로 y = ax² 식에 대입합니다: 6 = a × (−3)² => 9a = 6.
- 방정식을 풀어 상수 a의 값을 구합니다: a = 6/9 = 2/3.
- 완성된 일차함수 식 y = 2/3 x² 에 다른 점 (2, k)를 대입하여 k를 구합니다.
- k = 2/3 × 2² = 2/3 × 4 = 8/3.
- 검산: 구한 계수 a = 2/3 를 대입하여 검산합니다: x = −3 대입 시 2/3 × 9 = 6이 되어 성립하고, x = 2 대입 시 k = 8/3이 도출되어 모순이 없습니다.
장대경 선생님풀이 추천불러오는 중…
아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
4유형 04 · 이차함수 y = a(x - p)^2 + q 의 꼭짓점과 축
간략꼭짓점 , 축 → .
그림을 보며 따라가 보세요
- 표준형 이차함수 y = a(x − p)² + q 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p, q) 이며, 대칭축의 방정식은 x = p 입니다.
- 주어진 식 y = −2(x − 3)² + 5 로부터 꼭짓점의 좌표 (p, q) = (3, 5) 임을 구합니다.
- 대칭축의 방정식은 x = 3 이므로 r = 3 입니다.
- 구하고자 하는 상수들의 합 p + q + r 의 값을 구합니다: 3 + 5 + 3 = 11.
- 검산: 위로 볼록한 포물선 y = −2(x − 3)² + 5 에서 최댓값 5가 되는 꼭짓점은 (3, 5) 가 맞고, 축의 방정식은 꼭짓점의 x좌표와 일치하므로 r = 3 이 성립하여 합 11이 확실합니다.
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5유형 05 · 이차함수 그래프의 평행이동
간략에 → .
- 이차함수 y = ax² 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 식은 y = a(x − p)² + q 가 됩니다.
- 평행이동의 변화량을 식에 적용합니다: a = 3, p = 2, q = −4.
- 식에 대입하여 평행이동된 식을 구합니다: y = 3(x − 2)² − 4.
- 검산: 원형 그래프의 꼭짓점 (0, 0)이 평행이동을 거쳐 (2, −4)가 되는 것과 대치해 보았을 때, y = 3(x − 2)² − 4의 식의 꼭짓점 역시 (2, −4)가 되므로 완벽하게 일치합니다.
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6유형 06 · 일반형 이차함수를 표준형으로 변형
간략 → 꼭짓점 .
- 이차함수의 일반형 y = ax² + bx + c 를 완전제곱식을 포함한 표준형 y = a(x − p)² + q 형태로 변형합니다.
- x 항들을 계수인 −1로 묶습니다: y = −(x² − 6x) − 4.
- 괄호 내부가 완전제곱식이 되도록 일차항 계수 −6의 절반의 제곱인 9를 더하고 뺍니다: y = −(x² − 6x + 9 − 9) − 4.
- 완전제곱식으로 묶어 상수항을 밖으로 빼냅니다: y = −(x − 3)² + 9 − 4 => y = −(x − 3)² + 5.
- 따라서 꼭짓점의 좌표는 (3, 5) 입니다.
- 검산: 식에 꼭짓점 x = 3을 대입하면 y = −9 + 18 − 4 = 5 가 되므로 꼭짓점 (3, 5)가 맞고, x = 2 대입 시 y = −4+12−4 = 4 이며 표준형으로도 −(2−3)² + 5 = 4 가 되어 일치함을 증증합니다.
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7유형 07 · 이차함수 그래프가 지나는 사분면 판별
간략꼭짓점 , 아래로 볼록, 절편 (양수) → 제3사분면을 지나지 않는다.
그림을 보며 따라가 보세요
- 이차함수 그래프의 개형과 사분면의 위치 관계를 파악합니다.
- 식으로부터 꼭짓점의 좌표는 (2, −3)이며 이는 제4사분면에 위치하고, x²의 계수 1이 양수이므로 아래로 볼록한 포물선입니다.
- y축과의 교점(y절편)을 구하기 위해 x = 0을 대입합니다: y = (0 − 2)² − 3 = 4 − 3 = 1. 즉, y절편은 (0, 1) 입니다.
- 꼭짓점이 제4사분면(2, −3)에 있고 y절편이 양수(0, 1)인 아래로 볼록한 직선은 y축의 양의 부분을 지나 제2사분면으로 뻗어가며, 제3사분면은 거치지 않습니다.
- 따라서 지나지 않는 사분면은 제3사분면입니다.
- 검산: 그래프가 4사분면에서 1사분면을 거쳐 y절편 양수를 통과해 2사분면으로 올라가므로, x가 음수이고 y가 음수인 영역인 3사분면은 통과가 불가능함을 확인합니다.
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8유형 08 · 이차함수의 식 구하기
간략에 → → → .
- 꼭짓점의 좌표가 (1, −2)이므로 이차함수의 식을 표준형 y = a(x − 1)² − 2 로 가정합니다.
- 이 그래프가 지나가는 점 (3, 6)의 좌표를 식에 대입하여 계수 a를 구합니다.
- 6 = a × (3 − 1)² − 2 => 6 = 4a − 2 => 4a = 8 => a = 2.
- 구하고자 하는 이차함수의 식은 y = 2(x − 1)² − 2 입니다.
- 검산: 구한 식의 꼭짓점은 (1, −2)가 맞고, x = 3을 대입하면 y = 2(2)² − 2 = 8 − 2 = 6 으로 한 점 (3, 6)을 성립시키므로 식이 완벽히 일치합니다.
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9유형 09 · 이차함수 그래프와 도형의 넓이
간략절편 (밑변 4), 꼭짓점 (높이 4) → .
그림을 보며 따라가 보세요
- 이차함수 y = −x² + 4x 그래프의 x절편(y = 0 일 때의 x값)을 구합니다.
- −x² + 4x = 0 => x(x − 4) = 0 이므로 두 교점은 A(0, 0), B(4, 0) 입니다. 즉, 삼각형의 밑변의 길이는 4입니다.
- 이차함수 식을 표준형으로 고쳐 꼭짓점을 구합니다: y = −(x² − 4x) = −(x − 2)² + 4.
- 꼭짓점의 좌표는 C(2, 4) 이므로 x축으로부터의 높이는 꼭짓점의 y좌표의 절댓값인 4입니다.
- 세 꼭짓점으로 이루어진 삼각형의 넓이를 계산합니다: 넓이 = 1/2 × 밑변 × 높이 = 1/2 × 4 × 4 = 8.
- 검산: 밑변인 x축의 두 교점 사이 거리는 4 − 0 = 4 이고, 꼭짓점 높이는 4 이므로 삼각형 넓이 공식에 의해 1/2 × 4 × 4 = 8 임이 기하학적으로 무오류함을 입증합니다.
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