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연플래닝 행복수학
YH-131030 중학 3학년 1학기
01 이차방정식 Ⅰ. 실수와 그 계산
01-1 이차방정식의 풀이 (인수분해, 제곱근)
ax²+bx+c=0 (a≠0) 꼴. 인수분해되면 AB=0이면 A=0 또는 B=0을 이용해 푼다.
a(x−p)²=q 꼴이면 (x−p)²=q/a → x=p±√(q/a)로 제곱근을 이용해 푼다.
➕ 개념플러스
  • 중근: 두 근이 같을 때 (x−p)²=0 꼴.
01-2 근의 공식과 판별식
근의 공식: x = (−b±√(b²−4ac)) / 2a
판별식 D=b²−4ac: D>0이면 서로 다른 두 실근, D=0이면 중근, D<0이면 실근 없음.
➕ 개념플러스
  • b가 짝수면 x=(−b/2±√((b/2)²−ac))/a (짝수공식)로 계산이 더 간단.
01-3 이차방정식의 활용
도형·연속수·실생활 문제를 미지수로 식을 세워 이차방정식으로 풀고, 반드시 문제 상황에 맞는 근인지 확인한다(길이는 양수 등).
➕ 개념플러스
  • 구한 두 근 중 하나가 조건에 안 맞으면 버린다.

유형별 문제

유형 01이차방정식의 판별과 정의①
대표다음 보기 중에서 x에 대한 이차방정식인 것만을 있는 대로 고르시오. [보기] ㄱ. x² − 4x + 3 = 0 ㄴ. x(x − 1) = x² ㄷ. 2x² + 1 ㄹ. 3x² − x = (x − 1)(2x + 2) ㅁ. x² + 1/x² = 5
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유형 02이차방정식의 근의 대입과 상수 도출②
대표x에 대한 이차방정식 x² − ax + a − 3 = 0의 한 근이 x = 2일 때, 상수 a의 값을 구하시오.
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유형 03인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이③
대표이차방정식 x² − 3x − 10 = 0의 두 근 중 큰 근의 값을 구하시오.
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유형 04이차방정식이 중근을 가질 조건④
대표이차방정식 x² − 8x + 2a − 4 = 0 이 중근을 가질 때, 상수 a의 값을 구하시오.
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유형 05제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이⑤
대표이차방정식 3(x − 2)² = 15의 해를 구하시오.
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유형 06근의 공식을 이용한 이차방정식의 풀이⑥
대표이차방정식 x² − 5x + 3 = 0의 해를 구하시오.
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유형 07이차방정식의 판별식과 근의 개수⑦
대표x에 대한 이차방정식 x² − 4x + 2k − 1 = 0 이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 정수 k의 최댓값을 구하시오.
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유형 08이차방정식의 활용 (길 제외 밭의 넓이)⑧
대표가로의 길이가 16m, 세로의 길이가 10m인 직사각형 모양의 밭이 있다. 이 밭에 그림과 같이 폭이 x m로 일정한 길을 가로와 세로에 각각 한 줄씩 내었더니, 길을 제외한 밭의 넓이가 112m²가 되었다. 이때 길의 폭 x의 값을 구하시오.
16m10mx
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실력 UP

서술형이차방정식의 활용 (연속하는 홀수)⑨
01연속하는 두 홀수의 제곱의 합이 202 일 때, 두 홀수 중 큰 수를 구하시오. (단, 두 홀수는 양수이다.)
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빈 문제가 있으면 확인 후 접수합니다. 제출하면 전체 답지·해설이 각 문제 아래에 바로 열립니다.
답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~9). 모든 정답은 전수 검산 후 여러 최상위 검수 엔진으로 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 이차방정식의 판별과 정의
  1. 등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때 '(x에 대한 이차식) = 0', 즉 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 형태로 변환되는 방정식을 이차방정식이라고 합니다.
  2. ㄱ: x² − 4x + 3 = 0 은 이차식 = 0 꼴이므로 이차방정식입니다.
  3. ㄴ: x² − x = x² 에서 양변의 x²을 지우면 −x = 0 이 되어 일차방정식입니다.
  4. ㄷ: 등호가 없으므로 방정식이 아닌 다항식입니다.
  5. ㄹ: 우변을 전개하면 2x² − 2 이고, 좌변으로 이항하면 x² − x + 2 = 0 이 되므로 이차방정식입니다.
  6. ㅁ: 분모에 미지수의 제곱이 있는 식은 다항식으로 이루어지지 않은 분수식 방정식이므로 중등 수학의 이차방정식이 아닙니다.
  7. 따라서 이차방정식인 것은 ㄱ, ㄹ 입니다.
  8. 검산: ㄴ은 이차항이 소거되어 일차가 되고, ㄷ은 등호가 부재하며, ㅁ은 다항방정식의 정의에 어긋나므로, 최고차수 2차가 보존되는 ㄱ과 ㄹ만 참임을 확인합니다.
ㄱ, ㄹ
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2유형 02 · 이차방정식의 근의 대입과 상수 도출
  1. 한 근 x = 2를 주어진 이차방정식의 x 자리에 대입하여 성립해야 합니다.
  2. x = 2 대입: 2² − a × 2 + a − 3 = 0.
  3. 수식의 상수항들을 정리합니다: 4 − 2a + a − 3 = 0 => 1 − a = 0.
  4. 방정식을 풀어 a를 구합니다: a = 1.
  5. 검산: 구한 a = 1을 원식에 대입하면 x² − x − 2 = 0 이 됩니다. 이를 인수분해하면 (x − 2)(x + 1) = 0 이 되어 해가 x = 2 또는 x = −1 이 되므로, 한 근이 2라는 조건이 정확히 만족됨을 검증합니다.
1
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3유형 03 · 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
  1. 좌변을 인수분해하기 위해 곱해서 −10, 더해서 −3이 되는 두 정수를 찾습니다: −5와 2.
  2. 인수분해합니다: (x − 5)(x + 2) = 0.
  3. 두 인수가 0이 되도록 하는 해를 구합니다: x = 5 또는 x = −2.
  4. 두 근 중에서 큰 값을 선택합니다: 5.
  5. 검산: 큰 근 5를 방정식에 대입하면 5² − 3(5) − 10 = 25 − 15 − 10 = 0 이 성립하고, 작은 근 −2를 대입해도 4 + 6 − 10 = 0 이 성립하므로 두 근 5와 −2 중 큰 값 5가 맞습니다.
5
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4유형 04 · 이차방정식이 중근을 가질 조건
  1. 이차방정식의 이차항 계수가 1일 때, 식이 중근을 가질 조건은 상수항이 일차항 계수의 절반의 제곱과 같아 좌변이 완전제곱식이 되는 것입니다.
  2. 공식을 세웁니다: 상수항 = (일차항 계수 / 2)² => 2a − 4 = (−8 / 2)².
  3. 우변을 계산합니다: 2a − 4 = (−4)² = 16.
  4. a에 대한 일차방정식을 해결합니다: 2a = 20 => a = 10.
  5. 검산: a = 10을 대입하여 좌변을 정리하면 x² − 8x + 16 = 0 이 되며, 이는 (x − 4)² = 0 으로 인수분해되어 중근 x = 4를 가지므로 확실합니다.
10
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5유형 05 · 제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이
  1. 양변을 3으로 나누어 완전제곱식을 단독으로 분리합니다: (x − 2)² = 5.
  2. 양변의 제곱근을 구합니다: x − 2 = ±√(5).
  3. 상수 −2를 이항하여 x의 해를 구합니다: x = 2 ± √(5).
  4. 검산: 구한 해 x = 2 ± √(5) 에 대해 좌변 3(x − 2)² 에 대입하면 3(±√(5))² = 3 × 5 = 15 가 되어 우변과 정확히 일치함을 확인합니다.
x = 2 ± √(5)
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6유형 06 · 근의 공식을 이용한 이차방정식의 풀이
  1. 이차방정식의 일반해를 구하기 위해 근의 공식 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a 을 적용합니다.
  2. 계수 a = 1, b = −5, c = 3을 공식에 대입합니다: x = (5 ± √((−5)² − 4 × 1 × 3)) / (2 × 1).
  3. 근호 내부를 정리합니다: x = (5 ± √(25 − 12)) / 2.
  4. 최종적으로 해는 x = (5 ± √(13)) / 2 입니다.
  5. 검산: x = (5 + √(13))/2 일 때 2x − 5 = √(13) 이며, 양변을 제곱하면 (2x − 5)² = 13 => 4x² − 20x + 25 = 13 => 4x² − 20x + 12 = 0 이며 4로 나누면 x² − 5x + 3 = 0 이 정확히 성립합니다.
x = (5 ± √(13)) / 2
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7유형 07 · 이차방정식의 판별식과 근의 개수
  1. 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식 D > 0 (또는 짝수 판별식 D/4 > 0) 이어야 합니다.
  2. 계수 a = 1, b' = −2, c = 2k − 1 로부터 짝수 판별식 식을 세웁니다: D/4 = b'² − ac = (−2)² − 1 × (2k − 1) = 4 − 2k + 1 = 5 − 2k.
  3. 서로 다른 두 실근 조건을 적용합니다: 5 − 2k > 0 => 2k < 5 => k < 2.5.
  4. k < 2.5 를 만족하는 정수 k 중에서 가장 큰 값을 찾습니다: 최댓값은 2입니다.
  5. 검산: k = 2 일 때 판별식 D/4 = 5 − 2(2) = 1 > 0 이므로 서로 다른 두 근이 성립하고, k = 3 일 때는 D/4 = 5 − 6 = −1 < 0 이 되어 실근이 없으므로 정수 최댓값은 2가 확실합니다.
2
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8유형 08 · 이차방정식의 활용 (길 제외 밭의 넓이)
  1. 길을 제외한 밭의 네 조각을 한쪽 방향으로 붙여 밀어붙이면, 새로운 가로의 길이는 16 − x (m) 이고 세로의 길이는 10 − x (m) 인 직사각형이 됩니다.
  2. 새로운 직사각형의 넓이가 112m²가 되어야 하므로 이차방정식 식을 세웁니다: (16 − x)(10 − x) = 112.
  3. 수식을 전개합니다: 160 − 26x + x² = 112.
  4. 좌변으로 이항하여 정리합니다: x² − 26x + 48 = 0.
  5. 좌변을 인수분해합니다: (x − 24)(x − 2) = 0.
  6. 해를 구합니다: x = 24 또는 x = 2.
  7. 길의 폭 x는 밭의 세로 길이인 10m보다 작아야 하므로(0 < x < 10), 구하는 값은 2(m)입니다.
  8. 검산: 길의 폭 x = 2m 이면 밭의 실 가로는 14m, 실 세로는 8m가 되며 넓이는 14 × 8 = 112m² 가 되어 조건과 완벽히 일치함을 확인합니다.
2
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9유형 09 · 이차방정식의 활용 (연속하는 홀수)
  1. 구하고자 하는 연속하는 두 양의 홀수를 x, x + 2 (x는 양의 홀수)로 가정합니다.
  2. 조건에 의해 제곱의 합 식을 세웁니다: x² + (x + 2)² = 202.
  3. 괄호를 풀고 전개하여 식을 모읍니다: x² + x² + 4x + 4 = 202 => 2x² + 4x − 198 = 0.
  4. 양변을 2로 나누어 정리합니다: x² + 2x − 99 = 0.
  5. 좌변을 인수분해합니다: (x + 11)(x − 9) = 0.
  6. 해를 구합니다: x = −11 또는 x = 9.
  7. x는 양의 홀수이므로 x = 9 입니다.
  8. 따라서 연속하는 두 홀수는 9와 11 이며, 이 중 큰 수는 11 입니다.
  9. 검산: 두 홀수 9와 11의 제곱의 합은 9² + 11² = 81 + 121 = 202 가 정확하게 만족되므로 11이 확실합니다.
11
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※ 「연플래닝 행복수학」은 기존 교재의 형식·유형(장르)만 참고하고 모든 문항·수치·그림을 새로 창작한 독자 문제집입니다. 모든 문항·정답은 전수 검산 후 여러 최상위 검수 엔진으로 교차검증한 확정본입니다.  ·  고유번호 YH-131030  ·  중3-1 · 03 이차방정식  ·  YHR_v2.0 · 2026-07-14