01
인수분해와 곱셈공식
Ⅰ. 실수와 그 계산
01-1 곱셈 공식
(a+b)²=a²+2ab+b², (a−b)²=a²−2ab+b²
(a+b)(a−b)=a²−b² (합차공식)
(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab
➕ 개념플러스
- 곱셈공식은 인수분해에서 거꾸로 쓰인다 — 외워두면 훨씬 빠르다.
01-2 인수분해
다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것. 공통인수로 묶기 → 공식 이용 순서로 접근.
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) (합과 곱을 만족하는 a,b 찾기)
a²−b²=(a+b)(a−b)
➕ 개념플러스
- 공통부분이 있으면 통째로 한 문자로 치환하면 쉬워진다.
유형별 문제
유형 01다항식의 전개와 계수 비교①
대표다항식 (2x − 3)(3x + 4)를 전개하였더니 ax² + bx + c 가 되었다. 상수 a, b, c에 대하여 a + b − c의 값을 구하시오.
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유형 02완전제곱식의 전개②
대표다음 중 완전제곱식의 전개가 옳은 것을 고르시오. (1) (x − 3)² = x² − 9 (2) (2x + 5)² = 4x² + 25 (3) (3x − 2y)² = 9x² − 12xy + 4y² (4) (−x + 4)² = x² − 4x + 16 (5) (x + 1/x)² = x² + 1/x²
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유형 03합차 공식을 이용한 다항식의 전개③
대표합차 공식 (a + b)(a − b) = a² − b² 을 이용하여 (5x + 3y)(5x − 3y)를 전개한 결과를 구하시오.
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유형 04곱셈 공식의 변형④
대표x + y = 6 이고 xy = 4 일 때, x² + y²의 값을 구하시오.
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유형 05인수분해의 기초 (공통인수로 묶기)⑤
대표다항식 6a² b − 9ab² 을 인수분해하시오.
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유형 06이차식이 완전제곱식이 될 조건⑥
대표이차식 x² + kx + 36 이 완전제곱식이 되도록 하는 모든 상수 k의 값을 구하시오.
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유형 07이차식의 인수분해 (합과 곱의 법칙)⑦
대표다항식 x² + 5x + 6 을 인수분해하시오.
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유형 08공통부분이 있는 복잡한 식의 인수분해⑧
대표다항식 (x − 2)² − 3(x − 2) − 10 을 인수분해하시오.
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실력 UP
서술형인수분해 공식을 이용한 수의 계산⑨
01인수분해 공식을 이용하여 다음 식을 계산한 결과를 구하시오: 97² - 9
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빈 문제가 있으면 확인 후 접수합니다. 제출하면 전체 답지·해설이 각 문제 아래에 바로 열립니다.
답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~9). 모든 정답은 전수 검산 후 여러 최상위 검수 엔진으로 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 다항식의 전개와 계수 비교
- 다항식의 각 항을 분배법칙을 이용하여 분배 전개합니다.
- (2x − 3)(3x + 4) = 2x(3x + 4) − 3(3x + 4) = 6x² + 8x − 9x − 12 = 6x² − x − 12.
- 전개한 식의 계수를 비교하여 각 상수를 구합니다: a = 6, b = −1, c = −12.
- a + b − c의 값을 연산합니다: 6 + (−1) − (−12) = 5 + 12 = 17.
- 검산: 전개식 6x² − x − 12 에 x = 1을 대입하면 (2-3)(3+4) = −1 × 7 = −7 이고, 6(1)² − 1 − 12 = −7 로 대수적으로 일치하므로 계수와 a+b-c = 17이 확실합니다.
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2유형 02 · 완전제곱식의 전개
- 완전제곱식 전개 공식 (a ± b)² = a² ± 2ab + b² 을 사용하여 각 보기를 검토합니다.
- (1) (x − 3)² = x² − 6x + 9 이므로 중앙항 −6x가 빠져서 옳지 않습니다.
- (2) (2x + 5)² = 4x² + 20x + 25 이므로 중앙항 +20x가 빠져서 옳지 않습니다.
- (3) (3x − 2y)² = (3x)² − 2(3x)(2y) + (2y)² = 9x² − 12xy + 4y² 이므로 옳습니다.
- (4) (−x + 4)² = x² − 8x + 16 이므로 중앙항이 −8x가 되어야 하므로 옳지 않습니다.
- (5) (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x² 이므로 중앙항 +2가 빠져서 옳지 않습니다.
- 따라서 올바른 것은 (3)입니다.
- 검산: (3)의 좌변에 x = 1, y = 1을 대입하면 (3-2)² = 1 이며, 우변은 9 − 12 + 4 = 1 로 등식이 완벽히 성립하여 참임을 검증합니다.
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3유형 03 · 합차 공식을 이용한 다항식의 전개
- 합차 공식을 적용하기 위해 a = 5x, b = 3y 로 대입합니다.
- (5x + 3y)(5x − 3y) = (5x)² − (3y)².
- 각 단항식을 제곱하여 근사합니다: 25x² − 9y².
- 검산: x = 1, y = 1을 대입해 봅니다. (5+3)(5-3) = 8 × 2 = 16 이고, 25(1) − 9(1) = 16 이 성립하여 전개 결과가 정확함을 증명합니다.
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4유형 04 · 곱셈 공식의 변형
- 이차의 합 식을 곱셈 공식의 변형 식으로 나타냅니다: x² + y² = (x + y)² − 2xy.
- 주어진 조건인 합 x + y = 6, 곱 xy = 4를 식에 대입합니다.
- x² + y² = 6² − 2 × 4 = 36 − 8 = 28.
- 검산: x² + y² = 28 일 때 완전제곱식 (x + y)² = x² + y² + 2xy = 28 + 2(4) = 36 이 성립하므로, 제곱근 값인 합 6(양수 기준)이 정확히 유도되어 타당합니다.
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5유형 05 · 인수분해의 기초 (공통인수로 묶기)
- 각 항의 공통으로 곱해져 있는 인수(공통인수)를 구합니다.
- 6a² b 와 9ab² 의 최대공약인수를 구하면 계수는 3, 문자는 ab 이므로 공통인수는 3ab 입니다.
- 공통인수 3ab를 괄호 밖으로 묶어 식을 인수분해합니다: 3ab(2a − 3b).
- 검산: 인수분해 결과 3ab(2a − 3b)를 분배법칙으로 전개하면 6a² b − 9ab² 이 원식 그대로 복원되므로 인수분해가 정확합니다.
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6유형 06 · 이차식이 완전제곱식이 될 조건
- 이차식 x² + kx + c 가 완전제곱식이 되려면, x의 일차항 계수인 k의 절반의 제곱이 상수항 c와 같아야 합니다.
- 조건 식을 세웁니다: (k/2)² = 36.
- 양변의 제곱근을 구합니다: k/2 = 6 또는 k/2 = −6.
- k에 대해 정리합니다: k = 12 또는 k = −12.
- 검산: k = 12일 때는 x² + 12x + 36 = (x + 6)² 이 되고, k = −12일 때는 x² − 12x + 36 = (x − 6)² 이 되어 두 값 모두 완전제곱식으로 완벽히 인수분해되므로 참입니다.
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7유형 07 · 이차식의 인수분해 (합과 곱의 법칙)
- 이차식 x² + (a+b)x + ab 를 인수분해하기 위해 합이 5이고 곱이 6인 두 정수 a, b를 찾습니다.
- 곱이 6인 정수 쌍 중 합이 5가 되는 것은 2와 3입니다.
- 따라서 인수분해 식은 (x + 2)(x + 3) 입니다.
- 검산: 결과 식을 전개해 봅니다: (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6 이 정확히 성립하므로 무오류입니다.
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8유형 08 · 공통부분이 있는 복잡한 식의 인수분해
- 공통으로 등장하는 부분인 x − 2 를 다른 하나의 문자 A로 치환합니다: A² − 3A − 10.
- A에 대한 이차식을 인수분해합니다. 합이 −3이고 곱이 −10인 정수 쌍은 −5와 2이므로: (A − 5)(A + 2) 입니다.
- 치환한 문자 A에 원래 식인 x − 2 를 다시 대입합니다: ((x − 2) − 5)((x − 2) + 2).
- 각 괄호 내부를 단순화하여 정리합니다: (x − 7)x = x(x − 7).
- 검산: 인수분해 결과 x(x − 7) = x² − 7x 이며, 원식을 직접 전개해 보면 (x² − 4x + 4) − 3x + 6 − 10 = x² − 7x 로 전개식이 완전히 같으므로 맞습니다.
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9유형 09 · 인수분해 공식을 이용한 수의 계산
- 97² − 9 의 수식을 97² − 3² 으로 바꾸어 합차 공식 꼴을 만듭니다.
- 합차 공식 a² − b² = (a + b)(a − b) 를 적용합니다: (97 + 3)(97 − 3).
- 각 괄호 내부를 더하고 뺍니다: 100 × 94.
- 두 수의 곱을 최종 계산합니다: 9400.
- 검산: 수식을 직접 단순 곱셈 연산하여 검산합니다: 97² = (100 - 3)² = 10000 − 600 + 9 = 9409 이며, 여기서 9를 감산하면 9400이 정확히 나오므로 대수 공식을 이용한 속독이 성립함을 확인합니다.
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※ 「연플래닝 행복수학」은 기존 교재의 형식·유형(장르)만 참고하고 모든 문항·수치·그림을 새로 창작한 독자 문제집입니다.
모든 문항·정답은 전수 검산 후 여러 최상위 검수 엔진으로 교차검증한 확정본입니다. · 고유번호 YH-131020 · 중3-1 · 02 인수분해와 곱셈공식 · YHR_v2.0 · 2026-07-14