01
제곱근과 실수
Ⅰ. 실수와 그 계산
01-1 제곱근
어떤 수 x를 제곱하여 a가 될 때(x² = a, a≥0), x를 a의 제곱근이라 한다. 양수 a의 제곱근은 +√a, −√a 둘.
· √a = a의 양의 제곱근 (근호, √). 0의 제곱근은 0.
· 성질: (√a)² = a, √(a²) = |a|
➕ 개념플러스
- 음수의 제곱근은 실수 범위에 없다.
- 제곱수(4,9,16…)의 제곱근은 유리수.
01-2 무리수와 실수
근호를 완전히 벗을 수 없는 수처럼 순환하지 않는 무한소수를 무리수라 하고, 유리수와 무리수를 통틀어 실수라 한다.
· √2, √3, π 는 무리수. √9(=3)은 유리수.
· 실수는 수직선을 빈틈없이 채운다.
➕ 개념플러스
- √(제곱수)는 유리수 → 무리수 아님.
- 대소: 근호 안 수가 클수록 크다.
01-3 근호를 포함한 식의 계산
· 곱셈·나눗셈: √a·√b = √(ab), √a÷√b = √(a/b)
· 덧셈·뺄셈: 근호 안이 같은 것끼리 계수 계산 (예: 2√3 + 3√3 = 5√3).
· 분모의 유리화: b/√a = b√a / a (분모·분자에 √a를 곱한다).
➕ 개념플러스
- √(a²b) = a√b (a>0)로 밖으로.
- 근호 안이 다르면 더할 수 없다.
유형별 문제
유형 01제곱근의 개념과 정의①
대표다음 중 제곱근에 대한 설명으로 옳지 않은 것을 고르시오. (1) 16의 제곱근은 4와 −4이다. (2) 제곱해서 9가 되는 수는 3과 −3이다. (3) 0의 제곱근은 0이다. (4) 음수의 제곱근은 실수 범위에서 존재하지 않는다. (5) 제곱근 25는 5와 −5이다.
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유형 02제곱근 기호를 포함한 수식의 연산②
대표다음 식의 값을 계산하시오: √((−5)²) + √(3²) − (√(7))²
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유형 03sqrt(a^2) 성질의 미지수 범위 적용③
대표a < 0 일 때, 다음 식을 간단히 하시오: √(a²) − √((−3a)²) + √(4a²)
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유형 04제곱근이 자연수가 되도록 하는 조건④
대표√(120/n)이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 n의 값을 구하시오.
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유형 05제곱근의 대소 관계와 범위 내 개수⑤
대표부등식 3 < √(x + 2) ≤ 4 를 만족하는 자연수 x의 개수를 구하시오.
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유형 06실수와 수직선 위의 대응⑥
대표한 칸의 가로와 세로의 길이가 각각 1인 모눈종이 위에 수직선과 직각삼각형을 그렸다. 수직선 위의 점 A(2)를 시작점으로 하고, 가로 2칸, 세로 1칸인 직각삼각형의 빗변을 반지름으로 하는 원호를 그려 수직선과 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. P는 A의 왼쪽, Q는 A의 오른쪽에 있을 때 P와 Q의 좌표를 각각 구하시오.
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유형 07실수의 정수 부분과 소수 부분⑦
대표3 + √(2)의 정수 부분을 a, 소수 부분을 b라 할 때, a − b의 값을 구하시오.
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유형 08근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈⑧
대표다음 식을 간단히 하시오: (√(12) × √(18)) ÷ √(8)
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실력 UP
서술형분모의 유리화와 실수의 혼합 계산⑨
01다음 식을 계산하여 정리한 결과를 구하시오: √(27) - 6/√(3) + √(2) × √(6)
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답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~9). 모든 정답은 전수 검산 후 여러 최상위 검수 엔진으로 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 제곱근의 개념과 정의
- (1) '16의 제곱근'은 제곱하여 16이 되는 수이므로 4와 −4가 맞습니다.
- (2) '제곱해서 9가 되는 수'는 9의 제곱근을 뜻하므로 3과 −3이 맞습니다.
- (3) 0의 제곱근은 0 하나뿐이므로 맞습니다.
- (4) 실수 범위에서 음수를 제곱하여 음수가 될 수 없으므로 음수의 제곱근은 존재하지 않는 것이 맞습니다.
- (5) '제곱근 25'는 기호 √(25)를 의미하는 용어이므로, 오직 양의 제곱근인 5만을 나타냅니다. 따라서 5와 −5라고 한 (5)번은 옳지 않습니다.
- 검산: 'a의 제곱근'은 x² = a의 해(±√(a))를 뜻하고, '제곱근 a'는 양의 제곱근(√(a))만 단독으로 가리키므로, 제곱근 25 = 5 입니다. 따라서 (5)가 명백한 기개념이자 오류임을 확인합니다.
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2유형 02 · 제곱근 기호를 포함한 수식의 연산
- 각 항의 제곱근 성질을 개별 계산하여 단순화합니다.
- 첫 번째 항: √((−5)²) = |−5| = 5 입니다.
- 두 번째 항: √(3²) = |3| = 3 입니다.
- 세 번째 항: (√(7))² 은 루트 7을 제곱한 것이므로 근호가 소거되어 7이 됩니다.
- 전체 연산을 실행합니다: 5 + 3 − 7 = 1.
- 검산: 5 + 3 = 8 이고, 여기서 7을 빼면 1이 되므로 최종 정답이 1이 맞음을 확인합니다.
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3유형 03 · sqrt(a^2) 성질의 미지수 범위 적용
- a < 0 이라는 부호 조건에 유의하여 각 절댓값 근호를 해제합니다.
- 첫 번째 항: √(a²) = |a| 이며, a가 음수이므로 |a| = −a 입니다.
- 두 번째 항: √((−3a)²) = |−3a| 입니다. a < 0 이므로 −3a는 양수입니다. 따라서 |−3a| = −3a 입니다.
- 세 번째 항: √(4a²) = √((2a)²) = |2a| 입니다. a < 0 이므로 2a는 음수입니다. 따라서 |2a| = −2a 입니다.
- 각 정리된 항을 식에 대입하여 전개합니다: (−a) − (−3a) + (−2a).
- 동류항을 계산합니다: −a + 3a − 2a = 0.
- 검산: 조건에 부합하는 임의의 음수 a = −1을 대입해 봅니다: √((−1)²) − √(3²) + √(4(−1)²) = 1 − 3 + 2 = 0 이 되어 결론인 0과 항상 일치함을 검증합니다.
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4유형 04 · 제곱근이 자연수가 되도록 하는 조건
- √(120/n)이 자연수가 되려면 근호 안의 식 120/n 이 어떤 자연수의 제곱(완전제곱수) 형태가 되어야 합니다.
- 120을 소인수분해하여 지수가 홀수인 소인수를 찾습니다: 120 = 2³ × 3 × 5 = 2² × 2 × 3 × 5.
- 소인수 중 2, 3, 5의 지수가 홀수이므로 n은 분자 120의 이 소인수들을 약분하여 지수를 짝수로 만들어 주어야 합니다.
- 따라서 n은 2 × 3 × 5 = 30의 배수이면서 120의 약수이어야 합니다.
- 가장 작은 자연수 n의 값을 구하므로 n = 30 입니다.
- 검산: n = 30을 대입하면 120/30 = 4가 되며, √(4) = 2 로서 자연수가 성립합니다. 30보다 작은 자연수 중에는 120의 약수로서 나눴을 때 완전제곱수가 되는 수가 없으므로 30이 최소 자연수 조건이 맞습니다.
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5유형 05 · 제곱근의 대소 관계와 범위 내 개수
- 부등식의 각 변이 모두 양수이므로 각 변을 제곱해도 부등호의 방향은 변하지 않습니다.
- 각 변을 제곱합니다: 3² < x + 2 ≤ 4² => 9 < x + 2 ≤ 16.
- 부등식의 각 변에서 2를 빼서 x의 범위를 구합니다: 7 < x ≤ 14.
- 범위를 만족하는 자연수 x의 값을 나열합니다: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.
- 개수를 구합니다: 14 − 8 + 1 = 7개.
- 검산: x = 8일 때 3 < √(10) ≤ 4 (성립), x = 14일 때 3 < √(16) = 4 ≤ 4 (성립), x = 7일 때는 √(9) = 3 이 되므로 부등식의 초과(>) 조건에 위배되어 제외되므로 8부터 14까지 7개가 확실합니다.
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6유형 06 · 실수와 수직선 위의 대응
- 직각삼각형의 두 직각변의 길이가 각각 2와 1이므로 피타고라스 정리를 사용하여 빗변의 길이를 구합니다: 빗변 = √(2² + 1²) = √(5).
- A(2)에서 시작하여 왼쪽 방향으로 빗변의 길이만큼 떨어진 점 P의 좌표는 2 − √(5) 입니다.
- A(2)에서 시작하여 오른쪽 방향으로 빗변의 길이만큼 떨어진 점 Q의 좌표는 2 + √(5) 입니다.
- 검산: 수직선 상 중심 2로부터 좌우 반경 거리가 √(5)인 원호의 자취이므로 점 P와 Q의 위치 관계는 각각 2 − √(5) 와 2 + √(5)가 기하학적으로 무오류함을 확인합니다.
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7유형 07 · 실수의 정수 부분과 소수 부분
- 무리수 √(2)의 대략적인 크기를 구합니다: 1 < √(2) < 2.
- 각 변에 3을 더하여 3 + √(2)의 범위를 유도합니다: 4 < 3 + √(2) < 5.
- 따라서 수의 정수 부분 a = 4 임을 알 수 있습니다.
- 소수 부분 b는 원래의 수에서 정수 부분 a를 뺀 값이므로: b = (3 + √(2)) − 4 = √(2) − 1 입니다.
- a − b의 값을 계산합니다: 4 − (√(2) − 1) = 4 − √(2) + 1 = 5 − √(2).
- 검산: 정수 부분 4와 소수 부분 √(2) − 1의 합은 4 + √(2) − 1 = 3 + √(2) 로 원래 수가 완벽하게 재구성되며, 차의 값인 5 − √(2) 역시 일치함을 확인합니다.
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8유형 08 · 근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈
- 근호 내부의 수들을 소인수분해하여 밖으로 꺼냅니다.
- √(12) = √(2² × 3) = 2*√(3).
- √(18) = √(3² × 2) = 3*√(2).
- √(8) = √(2² × 2) = 2*√(2).
- 나타난 값들을 식에 대입하여 계산합니다: (2*√(3) × 3*√(2)) ÷ 2*√(2).
- 곱셈을 먼저 연산합니다: 2 × 3 × √(3 × 2) = 6*√(6).
- 나눗셈을 실행합니다: 6*√(6) / 2*√(2) = (6/2) × √(6/2) = 3*√(3).
- 검산: 근호 전체를 한 번에 계산해 봅니다: √(12 × 18 ÷ 8) = √(216 ÷ 8) = √(27) = 3*√(3) 으로 동일하게 수렴함을 확인합니다.
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9유형 09 · 분모의 유리화와 실수의 혼합 계산
- 각 항을 분리하여 정리합니다.
- 첫 번째 항: √(27) = 3*√(3) 입니다.
- 두 번째 항: 분모와 분자에 √(3)을 곱하여 유리화합니다: 6/√(3) = 6*√(3)/3 = 2*√(3) 입니다.
- 세 번째 항: 두 무리수를 곱합니다: √(2) × √(6) = √(12) = 2*√(3) 입니다.
- 전체 식을 대입하여 덧셈과 뺄셈을 완료합니다: 3*√(3) − 2*√(3) + 2*√(3).
- 뒤의 두 항 −2*√(3)과 +2*√(3)이 대칭적으로 상쇄되므로 최종 결과는 3*√(3) 입니다.
- 검산: 각 항의 근삿값을 대입해 봅니다: 3*√(3) = 5.196, 2*√(3) = 3.464 이며, 식은 5.196 − 3.464 + 3.464 = 5.196 이 되어 참임을 완벽히 만족합니다.
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※ 「연플래닝 행복수학」은 기존 교재의 형식·유형(장르)만 참고하고 모든 문항·수치·그림을 새로 창작한 독자 문제집입니다.
모든 문항·정답은 전수 검산 후 여러 최상위 검수 엔진으로 교차검증한 확정본입니다. · 고유번호 YH-131010 · 중3-1 · 01 제곱근과 실수 · YHR_v2.0 · 2026-07-14