05확률Ⅴ. 확률
이 개념, 궁금하지?'반반이야'라는 말, 진짜 반일까? 가능성을 눈으로 재 봐.
05-1 경우의 수
사건과 경우의 수: 같은 조건에서 여러 번 반복할 수 있는 실험이나 관찰을 시행, 그 결과로 일어나는 것을 사건이라 하고, 사건이 일어나는 가짓수를 경우의 수라 한다.
합의 법칙: 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, A가 일어나는 경우가 가지, B가 일어나는 경우가 가지이면 A 또는 B가 일어나는 경우의 수는 이다. ('또는', '~이거나')
곱의 법칙: 사건 A가 일어나는 경우가 가지이고 그 각각에 대하여 사건 B가 일어나는 경우가 가지이면 A 와 B가 동시에(잇달아) 일어나는 경우의 수는 이다. ('그리고', '~와', '동시에')
한 줄로 세우기(순서 있음): 서로 다른 것에서 자격이 다른 대표(회장·부회장 등)를 뽑을 때는 순서를 구별한다. 명 중 2명을 뽑아 세우는 경우의 수는 .
대표 뽑기(순서 없음): 자격이 같은 대표 2명을 뽑을 때는 순서가 상관없으므로 순서 있는 경우를 중복된 로 나눈다: .
➕ 개념플러스
- 문제에 '또는'이 보이면 더하기(합의 법칙), '그리고·동시에'가 보이면 곱하기(곱의 법칙)로 구분하면 편하다.
- 합의 법칙은 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때만 그대로 더한다. 겹치는 경우가 있으면 겹친 수만큼 빼 주어야 한다.
05-2 확률의 뜻과 성질
확률: 어떤 시행에서 각 경우가 일어날 가능성이 모두 같을 때, 일어날 수 있는 모든 경우의 수가 , 사건 A가 일어나는 경우의 수가 이면 사건 A가 일어날 확률 는 이다.
확률의 기본 성질: ① 어떤 사건이 일어날 확률 는 . ② 반드시 일어나는 사건의 확률은 , 절대로 일어나지 않는 사건의 확률은 .
여사건의 확률: 사건 A가 일어나지 않을 사건을 A의 여사건이라 한다. 사건 A가 일어날 확률이 이면 그 여사건이 일어날 확률은 이다. '적어도 ~' 꼴은 여사건(반대 경우)을 구해 로 계산하면 빠르다.
➕ 개념플러스
- '적어도 하나는 ~'의 여사건은 '하나도 ~ 아니다'(모두 반대)이다. 예: '적어도 한 개는 뒷면'의 여사건은 '모두 앞면'.
- 구한 확률이 보다 작거나 보다 크면 반드시 계산이 틀린 것이다(성질로 검산).
05-3 확률의 계산
확률의 덧셈(합사건): 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, A 또는 B가 일어날 확률은 이다.
확률의 곱셈: 두 사건 A, B가 서로 영향을 주지 않을 때(독립), A와 B가 동시에(잇달아) 일어날 확률은 이다.
연속하여 꺼내는 경우 — ▸ 복원추출(꺼낸 것을 다시 넣음): 매번 전체 개수가 같아 각 시행의 확률이 변하지 않는다. ▸ 비복원추출(다시 넣지 않음): 두 번째에는 전체 개수가 줄고 꺼낸 것의 개수도 줄어 확률이 달라진다.
➕ 개념플러스
- 기하학적 확률: 넓이·길이처럼 연속적인 경우에는 로 구한다. 닮은 도형의 넓이비는 길이비의 제곱임을 이용하면 편하다.
- 비복원추출에서 흔한 실수: 두 번째 확률의 분모를 처음 그대로 두는 것. 반드시 줄여서 계산한다.
유형별 문제 예상 정답률 | 기본 2 · 중간 5 · 상위 2
1유형 01경우의 수 (합의 법칙)01-1yh-m2-2-05-0101기본70%
대표1부터 20까지의 자연수가 각각 적힌 20장의 카드 중에서 한 장을 임의로 뽑을 때, 3의 배수 또는 7의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우의 수를 구하시오.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
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05-1-ayh-m2-2-05-0101-c1a기본 70%
1부터 11까지의 자연수가 각각 적힌 11장의 카드 중에서 한 장을 임의로 뽑을 때, 3의 배수 또는 4의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우의 수를 구하시오.
정답
3의 배수: {3, 6, 9} → 가지
4의 배수: {4, 8} → 가지
3와 4의 최소공배수 12가 11보다 커서 두 사건은 동시에 일어나지 않으므로 합의 법칙을 적용한다.
경우의 수
검산: 조건에 맞는 카드를 직접 세어도 5개.
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05-1-byh-m2-2-05-0101-c1b기본 70%
1부터 13까지의 자연수가 각각 적힌 13장의 카드 중에서 한 장을 임의로 뽑을 때, 3의 배수 또는 5의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우의 수를 구하시오.
정답
3의 배수: {3, 6, 9, 12} → 가지
5의 배수: {5, 10} → 가지
3와 5의 최소공배수 15가 13보다 커서 두 사건은 동시에 일어나지 않으므로 합의 법칙을 적용한다.
경우의 수
검산: 조건에 맞는 카드를 직접 세어도 6개.
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05-1-cyh-m2-2-05-0101-c1c기본 70%
1부터 14까지의 자연수가 각각 적힌 14장의 카드 중에서 한 장을 임의로 뽑을 때, 4의 배수 또는 5의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우의 수를 구하시오.
정답
4의 배수: {4, 8, 12} → 가지
5의 배수: {5, 10} → 가지
4와 5의 최소공배수 20가 14보다 커서 두 사건은 동시에 일어나지 않으므로 합의 법칙을 적용한다.
경우의 수
검산: 조건에 맞는 카드를 직접 세어도 5개.
도전 2세트
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05-1-dyh-m2-2-05-0101-c1d중간 50%
1부터 17까지의 자연수가 각각 적힌 17장의 카드 중에서 한 장을 임의로 뽑을 때, 5의 배수 또는 7의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우의 수를 구하시오.
정답
5의 배수: {5, 10, 15} → 가지
7의 배수: {7, 14} → 가지
5와 7의 최소공배수 35가 17보다 커서 두 사건은 동시에 일어나지 않으므로 합의 법칙을 적용한다.
경우의 수
검산: 조건에 맞는 카드를 직접 세어도 5개.
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05-1-eyh-m2-2-05-0101-c1e중간 50%
1부터 19까지의 자연수가 각각 적힌 19장의 카드 중에서 한 장을 임의로 뽑을 때, 4의 배수 또는 7의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우의 수를 구하시오.
정답
4의 배수: {4, 8, 12, 16} → 가지
7의 배수: {7, 14} → 가지
4와 7의 최소공배수 28가 19보다 커서 두 사건은 동시에 일어나지 않으므로 합의 법칙을 적용한다.
경우의 수
검산: 조건에 맞는 카드를 직접 세어도 6개.
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05-1-fyh-m2-2-05-0101-c1f상위 10%
1부터 23까지의 자연수가 각각 적힌 23장의 카드 중에서 한 장을 임의로 뽑을 때, 5의 배수 또는 6의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우의 수를 구하시오.
정답
5의 배수: {5, 10, 15, 20} → 가지
6의 배수: {6, 12, 18} → 가지
5와 6의 최소공배수 30가 23보다 커서 두 사건은 동시에 일어나지 않으므로 합의 법칙을 적용한다.
경우의 수
검산: 조건에 맞는 카드를 직접 세어도 7개.
2유형 02경우의 수 (곱의 법칙)02-1yh-m2-2-05-0201기본70%
대표티셔츠 4종류와 바지 3종류가 있다. 이 중에서 티셔츠 한 종류와 바지 한 종류를 각각 골라 짝을 맞춰 입는 방법의 수를 구하시오.
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도전 1세트
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05-2-ayh-m2-2-05-0201-c1a기본 70%
모자 3종류와 티셔츠 4종류가 있다. 이 중에서 모자 한 종류와 티셔츠 한 종류를 각각 골라 짝짓는 방법의 수를 구하시오.
정답
모자를 고르는 경우 가지, 티셔츠를 고르는 경우 가지.
연이어 일어나므로 곱의 법칙:
검산: 격자로 짝지으면 12개.
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05-2-byh-m2-2-05-0201-c1b기본 70%
음료 4종류와 빵 5종류가 있다. 이 중에서 음료 한 종류와 빵 한 종류를 각각 골라 짝짓는 방법의 수를 구하시오.
정답
음료를 고르는 경우 가지, 빵를 고르는 경우 가지.
연이어 일어나므로 곱의 법칙:
검산: 격자로 짝지으면 20개.
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05-2-cyh-m2-2-05-0201-c1c기본 70%
펜 5종류와 공책 3종류가 있다. 이 중에서 펜 한 종류와 공책 한 종류를 각각 골라 짝짓는 방법의 수를 구하시오.
정답
펜를 고르는 경우 가지, 공책를 고르는 경우 가지.
연이어 일어나므로 곱의 법칙:
검산: 격자로 짝지으면 15개.
도전 2세트
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05-2-dyh-m2-2-05-0201-c1d중간 50%
윗옷 4종류와 바지 6종류가 있다. 이 중에서 윗옷 한 종류와 바지 한 종류를 각각 골라 짝짓는 방법의 수를 구하시오.
정답
윗옷를 고르는 경우 가지, 바지를 고르는 경우 가지.
연이어 일어나므로 곱의 법칙:
검산: 격자로 짝지으면 24개.
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05-2-eyh-m2-2-05-0201-c1e중간 50%
필통 5종류와 지우개 6종류가 있다. 이 중에서 필통 한 종류와 지우개 한 종류를 각각 골라 짝짓는 방법의 수를 구하시오.
정답
필통를 고르는 경우 가지, 지우개를 고르는 경우 가지.
연이어 일어나므로 곱의 법칙:
검산: 격자로 짝지으면 30개.
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05-2-fyh-m2-2-05-0201-c1f상위 10%
색연필 6종류와 스케치북 7종류가 있다. 이 중에서 색연필 한 종류와 스케치북 한 종류를 각각 골라 짝짓는 방법의 수를 구하시오.
정답
색연필를 고르는 경우 가지, 스케치북를 고르는 경우 가지.
연이어 일어나므로 곱의 법칙:
검산: 격자로 짝지으면 42개.
3유형 03한 줄로 세우는 경우의 수 (순열)03-1yh-m2-2-05-0301중간50%
대표5명의 학생 A, B, C, D, E 중에서 회장 1명과 부회장 1명을 선출하는 경우의 수를 구하시오.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
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05-3-ayh-m2-2-05-0301-c1a기본 70%
4명의 후보 중에서 회장 1명과 부회장 1명을 선출하는 경우의 수를 구하시오.
정답
회장과 부회장은 자격이 달라 뽑는 순서를 구별한다.
회장 가지, 남은 3명 중 부회장 가지.
곱의 법칙:
검산: 회장 4명 각각에 부회장 3명씩 → 12.
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05-3-byh-m2-2-05-0301-c1b중간 50%
6명의 후보 중에서 회장 1명과 부회장 1명을 선출하는 경우의 수를 구하시오.
정답
회장과 부회장은 자격이 달라 뽑는 순서를 구별한다.
회장 가지, 남은 5명 중 부회장 가지.
곱의 법칙:
검산: 회장 6명 각각에 부회장 5명씩 → 30.
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05-3-cyh-m2-2-05-0301-c1c중간 50%
7명의 후보 중에서 회장 1명과 부회장 1명을 선출하는 경우의 수를 구하시오.
정답
회장과 부회장은 자격이 달라 뽑는 순서를 구별한다.
회장 가지, 남은 6명 중 부회장 가지.
곱의 법칙:
검산: 회장 7명 각각에 부회장 6명씩 → 42.
도전 2세트
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05-3-dyh-m2-2-05-0301-c1d중간 50%
8명의 후보 중에서 회장 1명과 부회장 1명을 선출하는 경우의 수를 구하시오.
정답
회장과 부회장은 자격이 달라 뽑는 순서를 구별한다.
회장 가지, 남은 7명 중 부회장 가지.
곱의 법칙:
검산: 회장 8명 각각에 부회장 7명씩 → 56.
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05-3-eyh-m2-2-05-0301-c1e중간 50%
9명의 후보 중에서 회장 1명과 부회장 1명을 선출하는 경우의 수를 구하시오.
정답
회장과 부회장은 자격이 달라 뽑는 순서를 구별한다.
회장 가지, 남은 8명 중 부회장 가지.
곱의 법칙:
검산: 회장 9명 각각에 부회장 8명씩 → 72.
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05-3-fyh-m2-2-05-0301-c1f상위 10%
10명의 후보 중에서 회장 1명과 부회장 1명을 선출하는 경우의 수를 구하시오.
정답
회장과 부회장은 자격이 달라 뽑는 순서를 구별한다.
회장 가지, 남은 9명 중 부회장 가지.
곱의 법칙:
검산: 회장 10명 각각에 부회장 9명씩 → 90.
4유형 04대표를 뽑는 경우의 수 (조합)04-1yh-m2-2-05-0401중간50%
대표5명의 학생 A, B, C, D, E 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수를 구하시오.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
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05-4-ayh-m2-2-05-0401-c1a기본 70%
4명의 학생 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수를 구하시오.
정답
대표 2명은 뽑는 순서가 상관없다.
순서를 고려하면 가지이고, 두 명이 바뀐 중복 가지로 나눈다.
검산: 4명 중 2명 조합을 직접 세면 6가지.
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05-4-byh-m2-2-05-0401-c1b중간 50%
6명의 학생 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수를 구하시오.
정답
대표 2명은 뽑는 순서가 상관없다.
순서를 고려하면 가지이고, 두 명이 바뀐 중복 가지로 나눈다.
검산: 6명 중 2명 조합을 직접 세면 15가지.
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05-4-cyh-m2-2-05-0401-c1c중간 50%
7명의 학생 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수를 구하시오.
정답
대표 2명은 뽑는 순서가 상관없다.
순서를 고려하면 가지이고, 두 명이 바뀐 중복 가지로 나눈다.
검산: 7명 중 2명 조합을 직접 세면 21가지.
도전 2세트
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05-4-dyh-m2-2-05-0401-c1d중간 50%
8명의 학생 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수를 구하시오.
정답
대표 2명은 뽑는 순서가 상관없다.
순서를 고려하면 가지이고, 두 명이 바뀐 중복 가지로 나눈다.
검산: 8명 중 2명 조합을 직접 세면 28가지.
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05-4-eyh-m2-2-05-0401-c1e중간 50%
9명의 학생 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수를 구하시오.
정답
대표 2명은 뽑는 순서가 상관없다.
순서를 고려하면 가지이고, 두 명이 바뀐 중복 가지로 나눈다.
검산: 9명 중 2명 조합을 직접 세면 36가지.
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05-4-fyh-m2-2-05-0401-c1f상위 10%
10명의 학생 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수를 구하시오.
정답
대표 2명은 뽑는 순서가 상관없다.
순서를 고려하면 가지이고, 두 명이 바뀐 중복 가지로 나눈다.
검산: 10명 중 2명 조합을 직접 세면 45가지.
5유형 05확률의 정의와 주사위 문제05-1yh-m2-2-05-0501중간50%
대표서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 두 눈의 수의 합이 8이 될 확률을 구하시오.
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도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
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05-5-ayh-m2-2-05-0501-c1a중간 50%
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 두 눈의 수의 합이 5가 될 확률을 구하시오.
정답
모든 경우의 수는 가지.
합이 5인 순서쌍: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) → 가지
확률 = =
검산: 합이 5인 격자점은 대각선 위 4개.
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05-5-byh-m2-2-05-0501-c1b중간 50%
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 두 눈의 수의 합이 6가 될 확률을 구하시오.
정답
모든 경우의 수는 가지.
합이 6인 순서쌍: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) → 가지
확률 =
검산: 합이 6인 격자점은 대각선 위 5개.
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05-5-cyh-m2-2-05-0501-c1c중간 50%
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 두 눈의 수의 합이 9가 될 확률을 구하시오.
정답
모든 경우의 수는 가지.
합이 9인 순서쌍: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) → 가지
확률 = =
검산: 합이 9인 격자점은 대각선 위 4개.
도전 2세트
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05-5-dyh-m2-2-05-0501-c1d중간 50%
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 두 눈의 수의 합이 7가 될 확률을 구하시오.
정답
모든 경우의 수는 가지.
합이 7인 순서쌍: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) → 가지
확률 = =
검산: 합이 7인 격자점은 대각선 위 6개.
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05-5-eyh-m2-2-05-0501-c1e상위 10%
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 두 눈의 수의 합이 10가 될 확률을 구하시오.
정답
모든 경우의 수는 가지.
합이 10인 순서쌍: (4, 6), (5, 5), (6, 4) → 가지
확률 = =
검산: 합이 10인 격자점은 대각선 위 3개.
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05-5-fyh-m2-2-05-0501-c1f상위 10%
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 두 눈의 수의 합이 4가 될 확률을 구하시오.
정답
모든 경우의 수는 가지.
합이 4인 순서쌍: (1, 3), (2, 2), (3, 1) → 가지
확률 = =
검산: 합이 4인 격자점은 대각선 위 3개.
6유형 06여사건의 확률 (적어도 ~일 확률)06-1yh-m2-2-05-0601중간50%
대표세 개의 동전을 동시에 던질 때, 적어도 한 개는 뒷면이 나올 확률을 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
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05-6-ayh-m2-2-05-0601-c1a기본 70%
2개의 동전을 동시에 던질 때, 적어도 한 개는 뒷면이 나올 확률을 구하시오.
정답
여사건은 '모두 앞면'이다. 전체 경우의 수 가지.
모두 앞면일 확률은 .
구하는 확률 =
검산: 전체 4가지 중 모두 앞면 1가지를 뺀 3가지.
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05-6-byh-m2-2-05-0601-c1b중간 50%
4개의 동전을 동시에 던질 때, 적어도 한 개는 뒷면이 나올 확률을 구하시오.
정답
여사건은 '모두 앞면'이다. 전체 경우의 수 가지.
모두 앞면일 확률은 .
구하는 확률 =
검산: 전체 16가지 중 모두 앞면 1가지를 뺀 15가지.
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05-6-cyh-m2-2-05-0601-c1c중간 50%
5개의 동전을 동시에 던질 때, 적어도 한 개는 뒷면이 나올 확률을 구하시오.
정답
여사건은 '모두 앞면'이다. 전체 경우의 수 가지.
모두 앞면일 확률은 .
구하는 확률 =
검산: 전체 32가지 중 모두 앞면 1가지를 뺀 31가지.
도전 2세트
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05-6-dyh-m2-2-05-0601-c1d중간 50%
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 적어도 한 개는 6의 눈이 나올 확률을 구하시오.
정답
여사건은 '두 눈 모두 6이 아님'이다.
각 주사위가 6이 아닐 확률 → 여사건 .
구하는 확률 =
검산: 6이 하나 이상인 순서쌍은 가지.
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05-6-eyh-m2-2-05-0601-c1e중간 50%
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 적어도 한 개는 홀수의 눈이 나올 확률을 구하시오.
정답
여사건은 '두 눈 모두 짝수'이다.
각 주사위가 짝수일 확률 → 여사건 .
구하는 확률 =
검산: 전체 36가지 중 둘다 짝수 9가지를 뺀 27가지 → .
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05-6-fyh-m2-2-05-0601-c1f상위 10%
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 두 눈의 수의 합이 4 이상일 확률을 구하시오.
정답
여사건은 '합이 3 이하'이다.
합이 2: (1, 1), 합이 3: (1, 2), (2, 1) → 가지 → 여사건 .
구하는 확률 =
검산: 전체 36가지 중 합 3 이하 3가지를 뺀 33가지 → .
7유형 07연속하여 뽑는 확률 (복원추출)07-1yh-m2-2-05-0701중간50%
대표흰 공 3개와 검은 공 5개가 들어 있는 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼내어 색을 확인하고 주머니에 다시 넣은 후, 다시 한 개의 공을 꺼낸다. 두 번 모두 흰 공이 나올 확률을 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
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05-7-ayh-m2-2-05-0701-c1a기본 70%
흰 공 2개와 검은 공 3개가 들어 있는 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼내어 색을 확인하고 다시 넣은 후, 또 한 개의 공을 꺼낸다. 두 번 모두 흰 공이 나올 확률을 구하시오.
정답
전체 공은 개. 한 번 흰 공일 확률 .
다시 넣으므로(복원) 두 번째도 조건이 같아 확률 .
두 번 연속이므로 곱한다:
검산: 매 시행이 독립이므로 .
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05-7-byh-m2-2-05-0701-c1b중간 50%
흰 공 3개와 검은 공 2개가 들어 있는 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼내어 색을 확인하고 다시 넣은 후, 또 한 개의 공을 꺼낸다. 두 번 모두 흰 공이 나올 확률을 구하시오.
정답
전체 공은 개. 한 번 흰 공일 확률 .
다시 넣으므로(복원) 두 번째도 조건이 같아 확률 .
두 번 연속이므로 곱한다:
검산: 매 시행이 독립이므로 .
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05-7-cyh-m2-2-05-0701-c1c중간 50%
흰 공 4개와 검은 공 6개가 들어 있는 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼내어 색을 확인하고 다시 넣은 후, 또 한 개의 공을 꺼낸다. 두 번 모두 흰 공이 나올 확률을 구하시오.
정답
전체 공은 개. 한 번 흰 공일 확률 .
다시 넣으므로(복원) 두 번째도 조건이 같아 확률 .
두 번 연속이므로 곱한다: =
검산: 매 시행이 독립이므로 .
도전 2세트
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05-7-dyh-m2-2-05-0701-c1d중간 50%
흰 공 5개와 검은 공 7개가 들어 있는 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼내어 색을 확인하고 다시 넣은 후, 또 한 개의 공을 꺼낸다. 두 번 모두 흰 공이 나올 확률을 구하시오.
정답
전체 공은 개. 한 번 흰 공일 확률 .
다시 넣으므로(복원) 두 번째도 조건이 같아 확률 .
두 번 연속이므로 곱한다:
검산: 매 시행이 독립이므로 .
">
05-7-eyh-m2-2-05-0701-c1e중간 50%
흰 공 3개와 검은 공 9개가 들어 있는 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼내어 색을 확인하고 다시 넣은 후, 또 한 개의 공을 꺼낸다. 두 번 모두 흰 공이 나올 확률을 구하시오.
정답
전체 공은 개. 한 번 흰 공일 확률 .
다시 넣으므로(복원) 두 번째도 조건이 같아 확률 .
두 번 연속이므로 곱한다: =
검산: 매 시행이 독립이므로 .
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05-7-fyh-m2-2-05-0701-c1f상위 10%
흰 공 4개와 검은 공 5개가 들어 있는 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼내어 색을 확인하고 다시 넣은 후, 또 한 개의 공을 꺼낸다. 두 번 모두 흰 공이 나올 확률을 구하시오.
정답
전체 공은 개. 한 번 흰 공일 확률 .
다시 넣으므로(복원) 두 번째도 조건이 같아 확률 .
두 번 연속이므로 곱한다:
검산: 매 시행이 독립이므로 .
8유형 08연속하여 뽑는 확률 (비복원추출)08-1yh-m2-2-05-0801상위10%
대표흰 바둑돌 4개와 검은 바둑돌 6개가 들어 있는 상자에서 바둑돌 한 개를 임의로 꺼내고 다시 넣지 않은 채, 연속해서 또 한 개의 바둑돌을 꺼낸다. 첫 번째에는 흰 바둑돌, 두 번째에는 검은 바둑돌이 나올 확률을 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
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05-8-ayh-m2-2-05-0801-c1a중간 50%
흰 바둑돌 3개와 검은 바둑돌 5개가 들어 있는 상자에서 바둑돌 한 개를 임의로 꺼내고 다시 넣지 않은 채, 연속해서 또 한 개를 꺼낸다. 첫 번째에는 흰 바둑돌, 두 번째에는 검은 바둑돌이 나올 확률을 구하시오.
정답
전체 개. 첫 번째 흰 바둑돌일 확률 .
다시 넣지 않으므로(비복원) 남은 개 중 검은 바둑돌 개, 확률 .
두 사건을 곱한다:
검산: 분모가 하나 줄어드는 점을 반영해 .
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05-8-byh-m2-2-05-0801-c1b중간 50%
흰 바둑돌 2개와 검은 바둑돌 4개가 들어 있는 상자에서 바둑돌 한 개를 임의로 꺼내고 다시 넣지 않은 채, 연속해서 또 한 개를 꺼낸다. 첫 번째에는 흰 바둑돌, 두 번째에는 검은 바둑돌이 나올 확률을 구하시오.
정답
전체 개. 첫 번째 흰 바둑돌일 확률 .
다시 넣지 않으므로(비복원) 남은 개 중 검은 바둑돌 개, 확률 .
두 사건을 곱한다: =
검산: 분모가 하나 줄어드는 점을 반영해 .
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05-8-cyh-m2-2-05-0801-c1c중간 50%
흰 바둑돌 5개와 검은 바둑돌 3개가 들어 있는 상자에서 바둑돌 한 개를 임의로 꺼내고 다시 넣지 않은 채, 연속해서 또 한 개를 꺼낸다. 첫 번째에는 흰 바둑돌, 두 번째에는 검은 바둑돌이 나올 확률을 구하시오.
정답
전체 개. 첫 번째 흰 바둑돌일 확률 .
다시 넣지 않으므로(비복원) 남은 개 중 검은 바둑돌 개, 확률 .
두 사건을 곱한다:
검산: 분모가 하나 줄어드는 점을 반영해 .
도전 2세트
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05-8-dyh-m2-2-05-0801-c1d중간 50%
흰 바둑돌 4개와 검은 바둑돌 5개가 들어 있는 상자에서 바둑돌 한 개를 임의로 꺼내고 다시 넣지 않은 채, 연속해서 또 한 개를 꺼낸다. 첫 번째에는 흰 바둑돌, 두 번째에는 검은 바둑돌이 나올 확률을 구하시오.
정답
전체 개. 첫 번째 흰 바둑돌일 확률 .
다시 넣지 않으므로(비복원) 남은 개 중 검은 바둑돌 개, 확률 .
두 사건을 곱한다: =
검산: 분모가 하나 줄어드는 점을 반영해 .
">
05-8-eyh-m2-2-05-0801-c1e중간 50%
흰 바둑돌 3개와 검은 바둑돌 7개가 들어 있는 상자에서 바둑돌 한 개를 임의로 꺼내고 다시 넣지 않은 채, 연속해서 또 한 개를 꺼낸다. 첫 번째에는 흰 바둑돌, 두 번째에는 검은 바둑돌이 나올 확률을 구하시오.
정답
전체 개. 첫 번째 흰 바둑돌일 확률 .
다시 넣지 않으므로(비복원) 남은 개 중 검은 바둑돌 개, 확률 .
두 사건을 곱한다: =
검산: 분모가 하나 줄어드는 점을 반영해 .
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05-8-fyh-m2-2-05-0801-c1f상위 10%
흰 바둑돌 6개와 검은 바둑돌 4개가 들어 있는 상자에서 바둑돌 한 개를 임의로 꺼내고 다시 넣지 않은 채, 연속해서 또 한 개를 꺼낸다. 첫 번째에는 흰 바둑돌, 두 번째에는 검은 바둑돌이 나올 확률을 구하시오.
정답
전체 개. 첫 번째 흰 바둑돌일 확률 .
다시 넣지 않으므로(비복원) 남은 개 중 검은 바둑돌 개, 확률 .
두 사건을 곱한다: =
검산: 분모가 하나 줄어드는 점을 반영해 .
9유형 09기하학적 확률09-1yh-m2-2-05-0901상위10%
대표반지름이 10cm인 원형 과녁판의 중심에 반지름이 5cm인 붉은색 원 영역이 그려져 있다. 이 과녁판에 임의로 화살을 한 번 쏠 때, 붉은색 원 영역 내부에 맞을 확률을 구하시오. (단, 화살은 과녁판 내부에 무작위로 균일하게 들어맞는다고 가정한다.)
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
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05-9-ayh-m2-2-05-0901-c1a중간 50%
반지름이 8cm인 원형 과녁판의 중심에 반지름이 4cm인 붉은색 원이 그려져 있다. 이 과녁판에 임의로 화살을 한 번 쏠 때, 붉은색 원 안에 맞을 확률을 구하시오. (단, 화살은 과녁판 내부에 균일하게 맞는다.)
정답
전체 넓이는 cm².
붉은색 원의 넓이는 cm².
기하학적 확률 = =
검산: 반지름비 의 제곱이 넓이비 .
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05-9-byh-m2-2-05-0901-c1b중간 50%
반지름이 9cm인 원형 과녁판의 중심에 반지름이 6cm인 붉은색 원이 그려져 있다. 이 과녁판에 임의로 화살을 한 번 쏠 때, 붉은색 원 안에 맞을 확률을 구하시오. (단, 화살은 과녁판 내부에 균일하게 맞는다.)
정답
전체 넓이는 cm².
붉은색 원의 넓이는 cm².
기하학적 확률 = =
검산: 반지름비 의 제곱이 넓이비 .
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05-9-cyh-m2-2-05-0901-c1c중간 50%
반지름이 12cm인 원형 과녁판의 중심에 반지름이 3cm인 붉은색 원이 그려져 있다. 이 과녁판에 임의로 화살을 한 번 쏠 때, 붉은색 원 안에 맞을 확률을 구하시오. (단, 화살은 과녁판 내부에 균일하게 맞는다.)
정답
전체 넓이는 cm².
붉은색 원의 넓이는 cm².
기하학적 확률 = =
검산: 반지름비 의 제곱이 넓이비 .
도전 2세트
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05-9-dyh-m2-2-05-0901-c1d상위 10%
반지름이 10cm인 원형 과녁판의 중심에 반지름이 6cm인 붉은색 원이 그려져 있다. 이 과녁판에 임의로 화살을 한 번 쏠 때, 붉은색 원 안에 맞을 확률을 구하시오. (단, 화살은 과녁판 내부에 균일하게 맞는다.)
정답
전체 넓이는 cm².
붉은색 원의 넓이는 cm².
기하학적 확률 = =
검산: 반지름비 의 제곱이 넓이비 .
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05-9-eyh-m2-2-05-0901-c1e상위 10%
반지름이 12cm인 원형 과녁판의 중심에 반지름이 8cm인 붉은색 원이 그려져 있다. 이 과녁판에 임의로 화살을 한 번 쏠 때, 붉은색 원 안에 맞을 확률을 구하시오. (단, 화살은 과녁판 내부에 균일하게 맞는다.)
정답
전체 넓이는 cm².
붉은색 원의 넓이는 cm².
기하학적 확률 = =
검산: 반지름비 의 제곱이 넓이비 .
">
05-9-fyh-m2-2-05-0901-c1f상위 10%
반지름이 15cm인 원형 과녁판의 중심에 반지름이 9cm인 붉은색 원이 그려져 있다. 이 과녁판에 임의로 화살을 한 번 쏠 때, 붉은색 원 안에 맞을 확률을 구하시오. (단, 화살은 과녁판 내부에 균일하게 맞는다.)
정답
전체 넓이는 cm².
붉은색 원의 넓이는 cm².
기하학적 확률 = =
검산: 반지름비 의 제곱이 넓이비 .
빈 문제가 있으면 확인 후 접수합니다. 제출하면 전체 답지·해설이 각 문제 아래에 바로 열립니다.
답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~9). 모든 정답은 전수 검산 후 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 경우의 수 (합의 법칙)
간략3의 배수 가지, 7의 배수 가지, 겹치지 않으므로 합의 법칙: . 정답 8.
- 사건 A(3의 배수가 나오는 사건)의 경우: {3, 6, 9, 12, 15, 18} 로 총 6가지입니다.
- 사건 B(7의 배수가 나오는 사건)의 경우: {7, 14} 로 총 2가지입니다.
- 3의 배수이면서 동시에 7의 배수인 수(21의 배수)는 1부터 20까지의 자연수 중에 존재하지 않으므로 두 사건은 동시에 일어날 수 없습니다.
- 따라서 합의 법칙을 적용하여 구하는 경우의 수는 6 + 2 = 8가지입니다.
- 검산: 20 이하의 수 중 조건에 부합하는 카드는 {3, 6, 7, 9, 12, 14, 15, 18}로 직접 낱개로 세어보아도 정확히 8개임을 확인합니다.
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2유형 02 · 경우의 수 (곱의 법칙)
간략티셔츠 가지 각각에 바지 가지, 곱의 법칙: . 정답 12.
그림을 보며 따라가 보세요
- 티셔츠를 선택할 수 있는 경우의 수는 4가지입니다.
- 바지를 선택할 수 있는 경우의 수는 3가지입니다.
- 티셔츠와 바지를 각각 하나씩 동시에 골라 하나의 옷차림을 완성하는 것은 연이어 일어나는 사건이므로 곱의 법칙을 적용합니다.
- 전체 옷차림의 수 = 4 × 3 = 12가지.
- 검산: 티셔츠 {T1, T2, T3, T4}와 바지 {P1, P2, P3}의 짝지어 만드는 데카르트 곱 격자점의 총개수는 4 × 3 = 12개가 됨이 완벽합니다.
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3유형 03 · 한 줄로 세우는 경우의 수 (순열)
간략회장·부회장은 순서를 구별하므로 . 정답 20.
- 회장과 부회장은 직책(자격)이 다르므로 선출하는 순서가 중요한 경우입니다 (한 줄로 세우는 순열과 동일).
- 회장 후보 5명 중에서 1명을 뽑는 경우의 수는 5가지입니다.
- 회장으로 선출된 1명을 제외한 남은 4명의 후보 중에서 부회장 1명을 뽑는 경우의 수는 4가지입니다.
- 두 직책을 차례로 결정하므로 곱의 법칙에 따라 계산합니다: 5 × 4 = 20가지.
- 검산: 회장 A일 때 부회장은 B, C, D, E의 4명이고, 회장 B일 때 A, C, D, E의 4명 등 5명의 회장 각각에 대해 부회장이 4명씩 매칭되므로 5 × 4 = 20이 완벽하게 맞습니다.
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4유형 04 · 대표를 뽑는 경우의 수 (조합)
간략자격이 같은 대표 2명은 순서 없으므로 . 정답 10.
- 자격이 같은 대표 2명을 뽑을 때는 선출되는 순서가 상관이 없습니다.
- 우선 자격이 다른 경우(순서 고려)로 2명을 뽑는 가짓수는 5 × 4 = 20가지입니다.
- 두 대표가 바뀌어 뽑히는 중복된 경우(2 × 1 = 2가지)만큼 나누어 주어야 합니다.
- 경우의 수 = (5 × 4) / (2 × 1) = 20 / 2 = 10가지.
- 검산: 5명 중 2명을 순서 없이 뽑는 경우를 수동 나열하면 {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E} 로 오직 10가지만 생성되므로 공식의 신뢰도가 증명됩니다.
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5유형 05 · 확률의 정의와 주사위 문제
간략전체 가지, 합이 8인 경우 (2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)의 가지 → .
그림을 보며 따라가 보세요
- 서로 다른 두 주사위를 던질 때 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 주사위 1개당 6가지이므로 곱의 법칙에 의해: 6 × 6 = 36가지입니다.
- 두 눈의 수의 합이 8이 되는 순서쌍 (첫 번째 주사위 눈, 두 번째 주사위 눈)을 구합니다: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) 로 총 5가지입니다.
- 확률의 정의(특정 사건 경우의 수 ÷ 모든 경우의 수)에 의해: 확률 = 5/36 입니다.
- 검산: 두 눈의 합이 8이 되는 주사위 쌍은 (2,6)부터 (6,2)까지 대각선 형태로만 분포하며, 이 대각선 상의 격자쌍 개수는 5개가 확실하므로 확률 5/36은 오차가 없습니다.
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6유형 06 · 여사건의 확률 (적어도 ~일 확률)
간략여사건 '모두 앞면' , 구하는 확률 .
- '적어도 한 개는 뒷면이 나온다'는 사건의 반대 사건(여사건)은 '세 동전 모두 앞면이 나온다' 입니다.
- 세 동전을 동시에 던질 때 일어날 수 있는 전체 경우의 수는 2 × 2 × 2 = 8가지입니다.
- 모두 앞면이 나오는 경우의 수는 (앞, 앞, 앞) 1가지이므로 그 확률은 1/8 입니다.
- 구하는 확률 = 1 − (여사건의 확률) = 1 − 1/8 = 7/8.
- 검산: 세 동전 결과의 총 8가지 분포 중 모두 앞면인 경우를 뺀 나머지 7가지 경우는 최소 1개 이상의 뒷면을 포함하므로 확률 7/8은 빈틈이 없습니다.
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7유형 07 · 연속하여 뽑는 확률 (복원추출)
간략복원이므로 매번 흰 공 확률 , 두 번 곱하면 .
그림을 보며 따라가 보세요
- 첫 번째 꺼낼 때 전체 공은 3 + 5 = 8개이고, 흰 공이 나올 확률은 3/8 입니다.
- 공을 꺼내어 확인하고 다시 넣었으므로(복원추출), 두 번째 꺼낼 때도 전체 공은 8개이고 흰 공은 3개로 동일합니다.
- 두 번째 꺼낼 때 흰 공이 나올 확률 역시 3/8 입니다.
- 두 사건이 연이어 발생하므로 확률의 곱셉 정리를 이용해 계산합니다: 3/8 × 3/8 = 9/64.
- 검산: 꺼낸 공을 주머니에 다시 되돌림으로써 매 시행이 독립이 되므로, 매회 흰 공을 뽑을 확률은 3/8로 고정되고 따라서 두 번 연속 흰 공일 확률은 3/8 × 3/8 = 9/64 가 확실합니다.
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8유형 08 · 연속하여 뽑는 확률 (비복원추출)
간략비복원: 첫 흰 , 둘째 검 → .
- 첫 번째 꺼낼 때 전체 바둑돌은 4 + 6 = 10개이고, 흰 바둑돌이 나올 확률은 4/10 = 2/5 입니다.
- 꺼낸 흰 바둑돌 한 개를 상자에 다시 넣지 않으므로(비복원추출), 상자 내부의 총 돌의 개수는 9개가 되고 그중 검은 바둑돌은 여전히 6개 남아 있습니다.
- 두 번째 꺼낼 때 검은 바둑돌이 나올 확률은 6/9 = 2/3 입니다.
- 두 사건이 연속해서 일어나므로 두 확률을 곱합니다: 2/5 × 2/3 = 4/15.
- 검산: 첫 번째 흰 돌 확률은 4/10 이고, 그 뒤 전체 9개 중 검은 돌이 6개이므로 4/10 × 6/9 = 2/5 × 2/3 = 4/15 가 정확히 성립합니다.
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9유형 09 · 기하학적 확률
간략넓이비 = 반지름비의 제곱: .
- 과녁판 전체의 넓이는 반지름이 10cm인 원의 넓이입니다: 전체 넓이 = pi × 10² = 100pi(cm²).
- 과녁판 내부의 붉은색 원의 넓이는 반지름이 5cm인 원의 넓이입니다: 붉은색 영역 넓이 = pi × 5² = 25pi(cm²).
- 기하학적 확률 공식(붉은색 영역의 넓이 ÷ 전체 넓이)에 대입합니다: 확률 = 25pi / 100pi = 25 / 100 = 1/4.
- 검산: 과녁판의 닮음비는 반지름비 5 : 10 = 1 : 2 이며, 넓이비는 닮음비의 제곱에 비례하므로 넓이의 비는 1² : 2² = 1 : 4 가 됩니다. 따라서 중앙 원에 맞을 확률은 1/4이 정확합니다.
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