04피타고라스 정리Ⅳ. 피타고라스 정리
이 개념, 궁금하지?직각삼각형 세 변에 정사각형을 그리면? 넓이의 비밀이 튀어나와.
04-1 피타고라스 정리
피타고라스 정리: 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 , 빗변의 길이를 라 하면 이 성립한다.
두 직각변을 알면 빗변은 , 빗변과 한 직각변을 알면 다른 변은 로 구한다.
유클리드의 증명: 직각삼각형의 세 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형을 그리면, 두 직각변 위의 정사각형의 넓이의 합은 빗변 위의 정사각형의 넓이와 같다().
➕ 개념플러스
- 자주 쓰는 자연수 세 쌍(피타고라스 수): , , , 을 외워 두면 계산이 빨라진다.
- 세 쌍에 같은 수를 곱한 것도 성립한다: , 등.
04-2 피타고라스 정리의 역
피타고라스 정리의 역: 세 변의 길이가 (가 가장 긴 변)인 삼각형에서 이 성립하면 이 삼각형은 를 빗변으로 하는 직각삼각형이다.
삼각형의 각 판별: 가장 긴 변 에 대하여 이면 예각삼각형, 이면 직각삼각형, 이면 둔각삼각형이다.
➕ 개념플러스
- 판별할 때는 반드시 가장 긴 변을 로 놓고 그 제곱과 나머지 두 변의 제곱의 합을 비교한다.
- 세 변 중 가 나머지 두 제곱의 합보다 크면 클수록 벌어진(둔각) 삼각형이다.
04-3 피타고라스 정리의 활용
평면·입체도형에의 활용: 직사각형의 대각선, 정삼각형의 높이, 직육면체의 대각선 등은 직각삼각형을 찾아 피타고라스 정리로 구한다.
세 반원의 넓이: 직각삼각형의 세 변을 각각 지름으로 하는 세 반원에서, 두 직각변 위 두 반원의 넓이의 합은 빗변 위 반원의 넓이와 같다( 의 양변에 를 곱한 것).
히포크라테스의 초승달: 직각변을 지름으로 하는 두 반원과 빗변을 지름으로 하는 반원으로 생기는 두 초승달 넓이의 합은 직각삼각형의 넓이와 같다: .
대각선이 직교하는 사각형과 직사각형 내부의 점: 마주 보는 두 대변(또는 대각 꼭짓점까지 거리)의 제곱의 합은 서로 같다: .
➕ 개념플러스
- 반원·초승달·정사각형 문제는 길이를 구하지 않고 넓이의 덧셈 관계로 바로 답이 나오는 경우가 많다.
- 도형을 접는 문제는 접힌 부분이 원래와 합동임을 이용해 같은 길이를 표시하고 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 세운다.
유형별 문제 예상 정답률 | 기본 3 · 중간 3 · 상위 3
1유형 01피타고라스 정리의 기본 적용 (빗변의 길이)01-1yh-m2-2-04-0101기본70%
대표두 직각변의 길이가 각각 6cm, 8cm인 직각삼각형의 빗변의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm">
04-1-ayh-m2-2-04-0101-c1a기본 70%
두 직각변의 길이가 각각 cm, cm인 직각삼각형의 빗변의 길이를 구하시오.
정답 cm
피타고라스 정리 에서
이므로
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
cm">
04-1-byh-m2-2-04-0101-c1b기본 70%
두 직각변의 길이가 각각 cm, cm인 직각삼각형의 빗변의 길이를 구하시오.
정답 cm
피타고라스 정리 에서
이므로
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
cm">
04-1-cyh-m2-2-04-0101-c1c기본 70%
두 직각변의 길이가 각각 cm, cm인 직각삼각형의 빗변의 길이를 구하시오.
정답 cm
피타고라스 정리 에서
이므로
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
도전 2세트
cm">
04-1-dyh-m2-2-04-0101-c1d기본 70%
두 직각변의 길이가 각각 cm, cm인 직각삼각형의 빗변의 길이를 구하시오.
정답 cm
피타고라스 정리 에서
이므로
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
cm">
04-1-eyh-m2-2-04-0101-c1e기본 70%
두 직각변의 길이가 각각 cm, cm인 직각삼각형의 빗변의 길이를 구하시오.
정답 cm
피타고라스 정리 에서
이므로
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
cm">
04-1-fyh-m2-2-04-0101-c1f중간 50%
두 직각변의 길이가 각각 cm, cm인 직각삼각형의 빗변의 길이를 구하시오.
정답 cm
피타고라스 정리 에서
이므로
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
2유형 02피타고라스 정리의 기본 적용 (직각변의 길이)02-1yh-m2-2-04-0201기본70%
대표빗변의 길이가 13cm이고 한 직각변의 길이가 5cm인 직각삼각형의 다른 한 직각변의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm">
04-2-ayh-m2-2-04-0201-c1a기본 70%
빗변의 길이가 cm이고 한 직각변의 길이가 cm인 직각삼각형의 다른 한 직각변의 길이를 구하시오.
정답 cm
다른 직각변을 라 하면
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
cm">
04-2-byh-m2-2-04-0201-c1b기본 70%
빗변의 길이가 cm이고 한 직각변의 길이가 cm인 직각삼각형의 다른 한 직각변의 길이를 구하시오.
정답 cm
다른 직각변을 라 하면
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
cm">
04-2-cyh-m2-2-04-0201-c1c기본 70%
빗변의 길이가 cm이고 한 직각변의 길이가 cm인 직각삼각형의 다른 한 직각변의 길이를 구하시오.
정답 cm
다른 직각변을 라 하면
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
도전 2세트
cm">
04-2-dyh-m2-2-04-0201-c1d기본 70%
빗변의 길이가 cm이고 한 직각변의 길이가 cm인 직각삼각형의 다른 한 직각변의 길이를 구하시오.
정답 cm
다른 직각변을 라 하면
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
cm">
04-2-eyh-m2-2-04-0201-c1e기본 70%
빗변의 길이가 cm이고 한 직각변의 길이가 cm인 직각삼각형의 다른 한 직각변의 길이를 구하시오.
정답 cm
다른 직각변을 라 하면
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
cm">
04-2-fyh-m2-2-04-0201-c1f중간 50%
빗변의 길이가 cm이고 한 직각변의 길이가 cm인 직각삼각형의 다른 한 직각변의 길이를 구하시오.
정답 cm
다른 직각변을 라 하면
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
3유형 03직각삼각형이 되기 위한 세 변의 길이 조건03-1yh-m2-2-04-0301중간50%
대표다음 보기의 세 변의 길이를 가지는 삼각형 중에서 직각삼각형인 것을 고르시오. (1) 2cm, 3cm, 4cm (2) 4cm, 5cm, 6cm (3) 5cm, 7cm, 9cm (4) 8cm, 15cm, 17cm (5) 9cm, 12cm, 16cm
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
04-3-ayh-m2-2-04-0301-c1a중간 50%
다음 보기의 세 변의 길이를 가지는 삼각형 중에서 직각삼각형인 것을 고르시오. (1) (2) (3) (4) (5)
정답 (2)
가장 긴 변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같으면 직각삼각형이다.
(1) , → 불성립
(2) , → 성립(직각)
(3) , → 불성립
(4) , → 불성립
(5) , → 불성립
따라서 직각삼각형은 (2).
04-3-byh-m2-2-04-0301-c1b중간 50%
다음 보기의 세 변의 길이를 가지는 삼각형 중에서 직각삼각형인 것을 고르시오. (1) (2) (3) (4) (5)
정답 (1)
가장 긴 변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같으면 직각삼각형이다.
(1) , → 성립(직각)
(2) , → 불성립
(3) , → 불성립
(4) , → 불성립
(5) , → 불성립
따라서 직각삼각형은 (1).
04-3-cyh-m2-2-04-0301-c1c중간 50%
다음 보기의 세 변의 길이를 가지는 삼각형 중에서 직각삼각형인 것을 고르시오. (1) (2) (3) (4) (5)
정답 (3)
가장 긴 변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같으면 직각삼각형이다.
(1) , → 불성립
(2) , → 불성립
(3) , → 성립(직각)
(4) , → 불성립
(5) , → 불성립
따라서 직각삼각형은 (3).
도전 2세트
04-3-dyh-m2-2-04-0301-c1d중간 50%
다음 보기의 세 변의 길이를 가지는 삼각형 중에서 직각삼각형인 것을 고르시오. (1) (2) (3) (4) (5)
정답 (1)
가장 긴 변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같으면 직각삼각형이다.
(1) , → 성립(직각)
(2) , → 불성립
(3) , → 불성립
(4) , → 불성립
(5) , → 불성립
따라서 직각삼각형은 (1).
04-3-eyh-m2-2-04-0301-c1e중간 50%
다음 보기의 세 변의 길이를 가지는 삼각형 중에서 직각삼각형인 것을 고르시오. (1) (2) (3) (4) (5)
정답 (3)
가장 긴 변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같으면 직각삼각형이다.
(1) , → 불성립
(2) , → 불성립
(3) , → 성립(직각)
(4) , → 불성립
(5) , → 불성립
따라서 직각삼각형은 (3).
04-3-fyh-m2-2-04-0301-c1f상위 10%
다음 보기의 세 변의 길이를 가지는 삼각형 중에서 직각삼각형인 것을 고르시오. (1) (2) (3) (4) (5)
정답 (1)
가장 긴 변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같으면 직각삼각형이다.
(1) , → 성립(직각)
(2) , → 불성립
(3) , → 불성립
(4) , → 불성립
(5) , → 불성립
따라서 직각삼각형은 (1).
4유형 04유클리드 증명과 정사각형의 넓이04-1yh-m2-2-04-0401기본70%
대표직각삼각형 ABC의 세 변을 한 변으로 하는 세 정사각형이 그려져 있다. 두 직각변 위의 정사각형의 넓이가 각각 9cm², 16cm² 일 때, 빗변 위의 정사각형의 넓이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm²">
04-4-ayh-m2-2-04-0401-c1a기본 70%
직각삼각형 ABC의 세 변을 한 변으로 하는 세 정사각형이 있다. 두 직각변 위의 정사각형의 넓이가 각각 cm², cm²일 때, 빗변 위의 정사각형의 넓이를 구하시오.
정답 cm²
두 직각변 위 정사각형 넓이의 합 = 빗변 위 정사각형의 넓이
(cm²)
검산: 두 직각변 cm, cm, 빗변 cm이고 로 성립.
cm²">
04-4-byh-m2-2-04-0401-c1b기본 70%
직각삼각형 ABC의 세 변을 한 변으로 하는 세 정사각형이 있다. 두 직각변 위의 정사각형의 넓이가 각각 cm², cm²일 때, 빗변 위의 정사각형의 넓이를 구하시오.
정답 cm²
두 직각변 위 정사각형 넓이의 합 = 빗변 위 정사각형의 넓이
(cm²)
검산: 두 직각변 cm, cm, 빗변 cm이고 로 성립.
cm²">
04-4-cyh-m2-2-04-0401-c1c기본 70%
직각삼각형 ABC의 세 변을 한 변으로 하는 세 정사각형이 있다. 두 직각변 위의 정사각형의 넓이가 각각 cm², cm²일 때, 빗변 위의 정사각형의 넓이를 구하시오.
정답 cm²
두 직각변 위 정사각형 넓이의 합 = 빗변 위 정사각형의 넓이
(cm²)
검산: 두 직각변 cm, cm, 빗변 cm이고 로 성립.
도전 2세트
cm²">
04-4-dyh-m2-2-04-0401-c1d기본 70%
직각삼각형 ABC의 세 변을 한 변으로 하는 세 정사각형이 있다. 두 직각변 위의 정사각형의 넓이가 각각 cm², cm²일 때, 빗변 위의 정사각형의 넓이를 구하시오.
정답 cm²
두 직각변 위 정사각형 넓이의 합 = 빗변 위 정사각형의 넓이
(cm²)
검산: 두 직각변 cm, cm, 빗변 cm이고 로 성립.
cm²">
04-4-eyh-m2-2-04-0401-c1e기본 70%
직각삼각형 ABC의 세 변을 한 변으로 하는 세 정사각형이 있다. 두 직각변 위의 정사각형의 넓이가 각각 cm², cm²일 때, 빗변 위의 정사각형의 넓이를 구하시오.
정답 cm²
두 직각변 위 정사각형 넓이의 합 = 빗변 위 정사각형의 넓이
(cm²)
검산: 두 직각변 cm, cm, 빗변 cm이고 로 성립.
cm²">
04-4-fyh-m2-2-04-0401-c1f중간 50%
직각삼각형 ABC의 세 변을 한 변으로 하는 세 정사각형이 있다. 두 직각변 위의 정사각형의 넓이가 각각 cm², cm²일 때, 빗변 위의 정사각형의 넓이를 구하시오.
정답 cm²
두 직각변 위 정사각형 넓이의 합 = 빗변 위 정사각형의 넓이
(cm²)
검산: 두 직각변 cm, cm, 빗변 cm이고 로 성립.
5유형 05대각선이 직교하는 사각형과 피타고라스 정리05-1yh-m2-2-04-0501중간50%
대표두 대각선이 서로 수직으로 만나는 사각형 ABCD가 있다. AB² = 20, BC² = 36, CD² = 45일 때, 선분 AD의 길이의 제곱인 AD²의 값을 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
">
04-5-ayh-m2-2-04-0501-c1a중간 50%
두 대각선이 서로 수직으로 만나는 사각형 ABCD가 있다. , , 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
대각선이 직교하는 사각형: 마주 보는 두 대변의 제곱의 합은 같다.
→
검산: , 로 양변이 같아 성립.
">
04-5-byh-m2-2-04-0501-c1b중간 50%
두 대각선이 서로 수직으로 만나는 사각형 ABCD가 있다. , , 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
대각선이 직교하는 사각형: 마주 보는 두 대변의 제곱의 합은 같다.
→
검산: , 로 양변이 같아 성립.
">
04-5-cyh-m2-2-04-0501-c1c중간 50%
두 대각선이 서로 수직으로 만나는 사각형 ABCD가 있다. , , 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
대각선이 직교하는 사각형: 마주 보는 두 대변의 제곱의 합은 같다.
→
검산: , 로 양변이 같아 성립.
도전 2세트
">
04-5-dyh-m2-2-04-0501-c1d중간 50%
두 대각선이 서로 수직으로 만나는 사각형 ABCD가 있다. , , 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
대각선이 직교하는 사각형: 마주 보는 두 대변의 제곱의 합은 같다.
→
검산: , 로 양변이 같아 성립.
">
04-5-eyh-m2-2-04-0501-c1e중간 50%
두 대각선이 서로 수직으로 만나는 사각형 ABCD가 있다. , , 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
대각선이 직교하는 사각형: 마주 보는 두 대변의 제곱의 합은 같다.
→
검산: , 로 양변이 같아 성립.
">
04-5-fyh-m2-2-04-0501-c1f상위 10%
두 대각선이 서로 수직으로 만나는 사각형 ABCD가 있다. , , 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
대각선이 직교하는 사각형: 마주 보는 두 대변의 제곱의 합은 같다.
→
검산: , 로 양변이 같아 성립.
6유형 06직각삼각형과 세 반원의 넓이 관계06-1yh-m2-2-04-0601중간50%
대표직각삼각형 ABC의 세 변을 지름으로 하는 세 반원을 그릴 때, 빗변이 아닌 두 변을 지름으로 하는 두 반원의 넓이의 합이 24pi cm² 이다. 빗변을 지름으로 하는 반원의 넓이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm²">
04-6-ayh-m2-2-04-0601-c1a중간 50%
직각삼각형 ABC의 세 변을 지름으로 하는 세 반원을 그릴 때, 빗변이 아닌 두 변을 지름으로 하는 두 반원의 넓이의 합이 cm²이다. 빗변을 지름으로 하는 반원의 넓이를 구하시오.
정답 cm²
두 직각변을 지름으로 하는 두 반원의 넓이의 합 = 빗변을 지름으로 하는 반원의 넓이
따라서 빗변 반원의 넓이 = cm²
검산: 이고 이므로 성립.
cm²">
04-6-byh-m2-2-04-0601-c1b중간 50%
직각삼각형 ABC의 세 변을 지름으로 하는 세 반원을 그릴 때, 빗변이 아닌 두 변을 지름으로 하는 두 반원의 넓이의 합이 cm²이다. 빗변을 지름으로 하는 반원의 넓이를 구하시오.
정답 cm²
두 직각변을 지름으로 하는 두 반원의 넓이의 합 = 빗변을 지름으로 하는 반원의 넓이
따라서 빗변 반원의 넓이 = cm²
검산: 이고 이므로 성립.
cm²">
04-6-cyh-m2-2-04-0601-c1c중간 50%
직각삼각형 ABC의 두 직각변의 길이가 cm, cm이다. 세 변을 각각 지름으로 하는 세 반원을 그릴 때, 빗변을 지름으로 하는 반원의 넓이를 구하시오.
정답 cm²
두 직각변 반원의 넓이의 합 = 빗변 반원의 넓이
지름이 d인 반원의 넓이
(cm²)
검산: 빗변 반원 로 두 반원 합과 일치.
도전 2세트
cm²">
04-6-dyh-m2-2-04-0601-c1d중간 50%
직각삼각형 ABC의 세 변을 지름으로 하는 세 반원을 그릴 때, 빗변이 아닌 두 변을 지름으로 하는 두 반원의 넓이의 합이 cm²이다. 빗변을 지름으로 하는 반원의 넓이를 구하시오.
정답 cm²
두 직각변을 지름으로 하는 두 반원의 넓이의 합 = 빗변을 지름으로 하는 반원의 넓이
따라서 빗변 반원의 넓이 = cm²
검산: 이고 이므로 성립.
cm²">
04-6-eyh-m2-2-04-0601-c1e중간 50%
직각삼각형 ABC의 세 변을 지름으로 하는 세 반원을 그릴 때, 빗변이 아닌 두 변을 지름으로 하는 두 반원의 넓이의 합이 cm²이다. 빗변을 지름으로 하는 반원의 넓이를 구하시오.
정답 cm²
두 직각변을 지름으로 하는 두 반원의 넓이의 합 = 빗변을 지름으로 하는 반원의 넓이
따라서 빗변 반원의 넓이 = cm²
검산: 이고 이므로 성립.
cm²">
04-6-fyh-m2-2-04-0601-c1f상위 10%
직각삼각형 ABC의 세 변을 지름으로 하는 세 반원 중, 빗변을 지름으로 하는 반원의 넓이가 cm²이다. 빗변이 아닌 두 변을 지름으로 하는 두 반원의 넓이의 합을 구하시오.
정답 cm²
두 직각변 반원 넓이의 합 = 빗변 반원의 넓이
따라서 두 반원의 넓이의 합 = cm²
검산: 의 양변에 를 곱하면 성립.
7유형 07히포크라테스의 초승달 넓이07-1yh-m2-2-04-0701상위10%
대표각 A = 90도이고 두 직각변 AB = 6cm, AC = 8cm인 직각삼각형 ABC가 있다. 변 AB, AC를 지름으로 하는 반원을 각각 바깥쪽으로 그리고, 빗변 BC를 지름으로 하는 반원을 아래로 그렸을 때 생기는 두 초승달 모양(히포크라테스의 초승달)의 넓이의 합을 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm²">
04-7-ayh-m2-2-04-0701-c1a상위 10%
각 A가 직각이고 두 직각변 cm, cm인 직각삼각형 ABC가 있다. 변 AB, AC를 지름으로 하는 반원을 바깥쪽으로, 빗변 BC를 지름으로 하는 반원을 그렸을 때 생기는 두 초승달(히포크라테스의 초승달)의 넓이의 합을 구하시오.
정답 cm²
두 초승달의 넓이의 합 = 안쪽 직각삼각형 ABC의 넓이
(cm²)
검산: (AB반원+AC반원+삼각형)−BC반원에서 반원끼리 소거되어 삼각형 넓이 cm²만 남는다.
cm²">
04-7-byh-m2-2-04-0701-c1b상위 10%
각 A가 직각이고 두 직각변 cm, cm인 직각삼각형 ABC가 있다. 변 AB, AC를 지름으로 하는 반원을 바깥쪽으로, 빗변 BC를 지름으로 하는 반원을 그렸을 때 생기는 두 초승달(히포크라테스의 초승달)의 넓이의 합을 구하시오.
정답 cm²
두 초승달의 넓이의 합 = 안쪽 직각삼각형 ABC의 넓이
(cm²)
검산: (AB반원+AC반원+삼각형)−BC반원에서 반원끼리 소거되어 삼각형 넓이 cm²만 남는다.
cm²">
04-7-cyh-m2-2-04-0701-c1c상위 10%
각 A가 직각이고 두 직각변 cm, cm인 직각삼각형 ABC가 있다. 변 AB, AC를 지름으로 하는 반원을 바깥쪽으로, 빗변 BC를 지름으로 하는 반원을 그렸을 때 생기는 두 초승달(히포크라테스의 초승달)의 넓이의 합을 구하시오.
정답 cm²
두 초승달의 넓이의 합 = 안쪽 직각삼각형 ABC의 넓이
(cm²)
검산: (AB반원+AC반원+삼각형)−BC반원에서 반원끼리 소거되어 삼각형 넓이 cm²만 남는다.
도전 2세트
cm²">
04-7-dyh-m2-2-04-0701-c1d상위 10%
각 A가 직각이고 두 직각변 cm, cm인 직각삼각형 ABC가 있다. 변 AB, AC를 지름으로 하는 반원을 바깥쪽으로, 빗변 BC를 지름으로 하는 반원을 그렸을 때 생기는 두 초승달(히포크라테스의 초승달)의 넓이의 합을 구하시오.
정답 cm²
두 초승달의 넓이의 합 = 안쪽 직각삼각형 ABC의 넓이
(cm²)
검산: (AB반원+AC반원+삼각형)−BC반원에서 반원끼리 소거되어 삼각형 넓이 cm²만 남는다.
cm²">
04-7-eyh-m2-2-04-0701-c1e상위 10%
각 A가 직각이고 두 직각변 cm, cm인 직각삼각형 ABC가 있다. 변 AB, AC를 지름으로 하는 반원을 바깥쪽으로, 빗변 BC를 지름으로 하는 반원을 그렸을 때 생기는 두 초승달(히포크라테스의 초승달)의 넓이의 합을 구하시오.
정답 cm²
두 초승달의 넓이의 합 = 안쪽 직각삼각형 ABC의 넓이
(cm²)
검산: (AB반원+AC반원+삼각형)−BC반원에서 반원끼리 소거되어 삼각형 넓이 cm²만 남는다.
cm²">
04-7-fyh-m2-2-04-0701-c1f상위 10%
각 A가 직각이고 두 직각변 cm, cm인 직각삼각형 ABC가 있다. 변 AB, AC를 지름으로 하는 반원을 바깥쪽으로, 빗변 BC를 지름으로 하는 반원을 그렸을 때 생기는 두 초승달(히포크라테스의 초승달)의 넓이의 합을 구하시오.
정답 cm²
두 초승달의 넓이의 합 = 안쪽 직각삼각형 ABC의 넓이
(cm²)
검산: (AB반원+AC반원+삼각형)−BC반원에서 반원끼리 소거되어 삼각형 넓이 cm²만 남는다.
8유형 08직사각형 내부의 점과 피타고라스 정리08-1yh-m2-2-04-0801상위10%
대표직사각형 ABCD의 내부의 한 점 P에 대하여 AP² = 10, BP² = 18, CP² = 25 일 때, 선분 DP의 길이의 제곱인 DP²의 값을 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
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04-8-ayh-m2-2-04-0801-c1a상위 10%
직사각형 ABCD의 내부의 한 점 P에 대하여 , , 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
직사각형 내부의 점: 마주 보는 꼭짓점까지 거리의 제곱의 합은 같다.
→
검산: , 로 대칭합이 같아 성립.
">
04-8-byh-m2-2-04-0801-c1b상위 10%
직사각형 ABCD의 내부의 한 점 P에 대하여 , , 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
직사각형 내부의 점: 마주 보는 꼭짓점까지 거리의 제곱의 합은 같다.
→
검산: , 로 대칭합이 같아 성립.
">
04-8-cyh-m2-2-04-0801-c1c상위 10%
직사각형 ABCD의 내부의 한 점 P에 대하여 , , 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
직사각형 내부의 점: 마주 보는 꼭짓점까지 거리의 제곱의 합은 같다.
→
검산: , 로 대칭합이 같아 성립.
도전 2세트
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04-8-dyh-m2-2-04-0801-c1d상위 10%
직사각형 ABCD의 내부의 한 점 P에 대하여 , , 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
직사각형 내부의 점: 마주 보는 꼭짓점까지 거리의 제곱의 합은 같다.
→
검산: , 로 대칭합이 같아 성립.
">
04-8-eyh-m2-2-04-0801-c1e상위 10%
직사각형 ABCD의 내부의 한 점 P에 대하여 , , 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
직사각형 내부의 점: 마주 보는 꼭짓점까지 거리의 제곱의 합은 같다.
→
검산: , 로 대칭합이 같아 성립.
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04-8-fyh-m2-2-04-0801-c1f상위 10%
직사각형 ABCD의 내부의 한 점 P에 대하여 , , 일 때, 의 값을 구하시오.
정답
직사각형 내부의 점: 마주 보는 꼭짓점까지 거리의 제곱의 합은 같다.
→
검산: , 로 대칭합이 같아 성립.
9유형 09피타고라스 정리와 접어 올린 도형09-1yh-m2-2-04-0901상위10%
대표가로의 길이가 10cm, 세로의 길이가 8cm인 직사각형 ABCD를 대각선 BD를 접는 선으로 하여 접었다. 겹쳐진 삼각형 EBD의 넓이를 구하시오. (단, 결과는 소수로 쓰시오.)
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm²">
04-9-ayh-m2-2-04-0901-c1a상위 10%
가로의 길이가 cm, 세로의 길이가 cm인 직사각형 ABCD를 대각선 BD를 접는 선으로 하여 접었다. 겹쳐진 삼각형 EBD의 넓이를 구하시오. (단, 결과는 소수로 쓰시오.)
정답 cm²
접으면 엇각이 같아 인 이등변삼각형. 라 하면
직각삼각형 ABE에서
→ (cm)
밑변 cm, 높이 cm이므로 넓이 (cm²)
검산: cm, 로 성립.
cm²">
04-9-byh-m2-2-04-0901-c1b상위 10%
가로의 길이가 cm, 세로의 길이가 cm인 직사각형 ABCD를 대각선 BD를 접는 선으로 하여 접었다. 겹쳐진 삼각형 EBD의 넓이를 구하시오. (단, 결과는 소수로 쓰시오.)
정답 cm²
접으면 엇각이 같아 인 이등변삼각형. 라 하면
직각삼각형 ABE에서
→ (cm)
밑변 cm, 높이 cm이므로 넓이 (cm²)
검산: cm, 로 성립.
cm²">
04-9-cyh-m2-2-04-0901-c1c상위 10%
가로의 길이가 cm, 세로의 길이가 cm인 직사각형 ABCD를 대각선 BD를 접는 선으로 하여 접었다. 겹쳐진 삼각형 EBD의 넓이를 구하시오. (단, 결과는 소수로 쓰시오.)
정답 cm²
접으면 엇각이 같아 인 이등변삼각형. 라 하면
직각삼각형 ABE에서
→ (cm)
밑변 cm, 높이 cm이므로 넓이 (cm²)
검산: cm, 로 성립.
도전 2세트
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04-9-dyh-m2-2-04-0901-c1d상위 10%
가로의 길이가 cm, 세로의 길이가 cm인 직사각형 ABCD를 대각선 BD를 접는 선으로 하여 접었다. 겹쳐진 삼각형 EBD의 넓이를 구하시오. (단, 결과는 소수로 쓰시오.)
정답 cm²
접으면 엇각이 같아 인 이등변삼각형. 라 하면
직각삼각형 ABE에서
→ (cm)
밑변 cm, 높이 cm이므로 넓이 (cm²)
검산: cm, 로 성립.
cm²">
04-9-eyh-m2-2-04-0901-c1e상위 10%
가로의 길이가 cm, 세로의 길이가 cm인 직사각형 ABCD를 대각선 BD를 접는 선으로 하여 접었다. 겹쳐진 삼각형 EBD의 넓이를 구하시오. (단, 결과는 소수로 쓰시오.)
정답 cm²
접으면 엇각이 같아 인 이등변삼각형. 라 하면
직각삼각형 ABE에서
→ (cm)
밑변 cm, 높이 cm이므로 넓이 (cm²)
검산: cm, 로 성립.
cm²">
04-9-fyh-m2-2-04-0901-c1f상위 10%
가로의 길이가 cm, 세로의 길이가 cm인 직사각형 ABCD를 대각선 BD를 접는 선으로 하여 접었다. 겹쳐진 삼각형 EBD의 넓이를 구하시오. (단, 결과는 소수로 쓰시오.)
정답 cm²
접으면 엇각이 같아 인 이등변삼각형. 라 하면
직각삼각형 ABE에서
→ (cm)
밑변 cm, 높이 cm이므로 넓이 (cm²)
검산: cm, 로 성립.
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답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~9). 모든 정답은 전수 검산 후 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 피타고라스 정리의 기본 적용 (빗변의 길이)
간략피타고라스 정리 이므로 빗변 cm.
- 직각삼각형에서 두 직각변의 길이를 a, b, 빗변의 길이를 c라 하면 피타고라스 정리 a² + b² = c² 이 성립합니다.
- 두 직각변의 길이인 6과 8을 대입합니다: 6² + 8² = c².
- 각각 제곱하여 더합니다: 36 + 64 = c² => c² = 100.
- 빗변 c는 길이이므로 양수입니다: c = 10(cm).
- 검산: 구한 빗변 10의 제곱은 100 이며, 두 변의 제곱합 6² + 8² = 36 + 64 = 100 이 되어 피타고라스 공식과 완전히 부합하므로 참입니다.
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2유형 02 · 피타고라스 정리의 기본 적용 (직각변의 길이)
간략 이므로 cm.
그림을 보며 따라가 보세요
- 다른 한 직각변의 길이를 x cm라 놓으면 피타고라스 정리에 의해 다음 식이 성립합니다: x² + 5² = 13².
- 상수항을 각각 제곱하여 방정식을 정리합니다: x² + 25 = 169.
- 이항하여 x의 제곱값을 구합니다: x² = 169 − 25 => x² = 144.
- 변의 길이는 양수이므로 제곱근을 구합니다: x = 12(cm).
- 검산: 구한 변의 길이 12와 5의 제곱합은 12² + 5² = 144 + 25 = 169 이며, 이는 빗변 13의 제곱인 169와 정확히 일치하여 정합성이 맞습니다.
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3유형 03 · 직각삼각형이 되기 위한 세 변의 길이 조건
간략가장 긴 변의 제곱이 나머지 두 제곱의 합과 같은 것: → (4).
- 삼각형의 세 변의 길이 a, b, c 중 가장 긴 변의 길이가 c일 때, c² = a² + b² 이 성립하면 직각삼각형입니다.
- 각 보기의 대수적 제곱합을 검토합니다.
- (1) 4² = 16 이고 2² + 3² = 13 이므로 16 ≠ 13 (둔각삼각형)
- (2) 6² = 36 이고 4² + 5² = 41 이므로 36 ≠ 41 (예각삼각형)
- (3) 9² = 81 이고 5² + 7² = 74 이므로 81 ≠ 74 (둔각삼각형)
- (4) 17² = 289 이고 8² + 15² = 64 + 225 = 289 이므로 289 = 289 (직각삼각형 성립)
- (5) 16² = 256 이고 9² + 12² = 81 + 144 = 225 이므로 256 ≠ 225 (둔각삼각형)
- 따라서 직각삼각형인 것은 (4)입니다.
- 검산: 8, 15, 17은 대표적인 자연수 피타고라스 삼조(Pythagorean triple)이며, 실제 64 + 225 = 289 가 정확히 성립하므로 (4)가 참임이 확실합니다.
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4유형 04 · 유클리드 증명과 정사각형의 넓이
간략두 직각변 위 정사각형 넓이의 합 = 빗변 위 정사각형의 넓이: cm².
그림을 보며 따라가 보세요
- 유클리드의 피타고라스 정리 증명 성질에 의하면, 직각삼각형의 두 직각변에 그려진 두 정사각형의 넓이의 합은 빗변 위에 그려진 정사각형의 넓이와 같습니다.
- 따라서 빗변 위 정사각형의 넓이는 9 + 16 = 25(cm²) 입니다.
- 검산: 두 직각변의 실제 길이는 각각 √(9) = 3cm, √(16) = 4cm 입니다. 피타고라스 정리에 의해 빗변의 길이는 √(3² + 4²) = 5cm 가 되므로, 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 5² = 25cm²가 성립함을 입증합니다.
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5유형 05 · 대각선이 직교하는 사각형과 피타고라스 정리
간략대각선이 직교하는 사각형: , → .
- 두 대각선이 서로 직교하는 사각형의 성질에 의하면, 마주 보는 두 대변의 길이의 제곱의 합은 서로 같습니다.
- 공식을 세웁니다: AB² + CD² = BC² + AD².
- 주어진 값들을 식에 대입합니다: 20 + 45 = 36 + AD².
- 좌변을 계산하여 정리합니다: 65 = 36 + AD².
- 이항하여 AD²의 값을 구합니다: AD² = 65 − 36 = 29.
- 검산: 대변의 제곱합 공식에 대입하면 20 + 45 = 65 이고, 36 + 29 = 65 로 양쪽 대변 제곱합이 완벽히 균형을 이루므로 AD² = 29 임이 이론적으로 참입니다.
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6유형 06 · 직각삼각형과 세 반원의 넓이 관계
간략두 직각변 반원 넓이의 합 = 빗변 반원의 넓이이므로 빗변 반원 = cm².
- 직각삼각형의 세 변을 각각 지름으로 하는 세 반원의 넓이 사이에는 피타고라스 정리와 같은 덧셈 관계가 성립합니다.
- 즉, 두 직각변을 지름으로 하는 두 반원의 넓이의 합은 빗변을 지름으로 하는 반원의 넓이와 같습니다.
- 따라서 빗변을 지름으로 하는 반원의 넓이는 두 반원의 넓이의 합과 동일한 24pi cm² 입니다.
- 검산: 두 직각변의 길이를 a, b, 빗변을 c라 하면 각 반원의 넓이는 P = 1/8 pi a², Q = 1/8 pi b², R = 1/8 pi c² 이 됩니다. 피타고라스 정리 a² + b² = c² 의 양변에 1/8 pi 를 곱하면 P + Q = R 이 성립하므로, 빗변의 반원 넓이는 24pi cm²가 확실합니다.
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7유형 07 · 히포크라테스의 초승달 넓이
간략두 초승달 넓이의 합 = 직각삼각형의 넓이 cm².
그림을 보며 따라가 보세요
- 히포크라테스의 초승달의 성질에 의하면, 두 초승달 모양 영역의 넓이의 합은 안쪽에 있는 직각삼각형 ABC의 넓이와 같습니다.
- 따라서 넓이 합 = 1/2 × AB × AC 입니다.
- 수치들을 대입하여 계산합니다: 넓이 합 = 1/2 × 6 × 8 = 24(cm²).
- 검산: 두 초승달의 면적은 (AB 반원 + AC 반원 + 직각삼각형 ABC) − BC 반원 입니다. 반원의 넓이 성질에 의해 AB 반원 + AC 반원 = BC 반원 이므로, 반원 면적들이 소거되고 직각삼각형 ABC의 넓이 24cm²만 보존되므로 참이 확실합니다.
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8유형 08 · 직사각형 내부의 점과 피타고라스 정리
간략직사각형 내부의 점: , → .
- 직사각형 내부의 임의의 한 점 P에 대하여, 마주 보는 꼭짓점에 이르는 거리의 제곱의 합은 대칭적으로 같습니다.
- 공식을 세웁니다: AP² + CP² = BP² + DP².
- 주어진 값들을 식에 대입합니다: 10 + 25 = 18 + DP².
- 식을 계산하여 정리합니다: 35 = 18 + DP².
- 이항하여 DP²의 값을 구합니다: DP² = 35 − 18 = 17.
- 검산: AP² + CP² = 10 + 25 = 35 이고, BP² + DP² = 18 + 17 = 35 로 양변의 대칭합이 완벽히 일치하므로 연산 오류가 없습니다.
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9유형 09 · 피타고라스 정리와 접어 올린 도형
간략접으면 . 직각삼각형 ABE에서 → . 넓이 cm².
- 대각선 BD를 선으로 접었을 때 생기는 겹쳐진 삼각형 EBD는 접은 각과 엇각이 같으므로 EB = ED 인 이등변삼각형이 됩니다.
- ED의 길이를 x cm라 놓으면, 이등변 성질에 의해 EB = x cm 가 되고, AE = AD − ED = 10 − x (cm) 입니다.
- 접었으므로 AB = CD = 8cm 이고, 직각삼각형 ABE에서 피타고라스 정리가 성립합니다: AB² + AE² = EB².
- 수치와 변수를 대입합니다: 8² + (10 − x)² = x².
- 방정식을 전개하여 x를 구합니다: 64 + 100 − 20x + x² = x² => 164 = 20x => x = 8.2(cm).
- 따라서 밑변 EB = 8.2cm 이고 높이는 직사각형의 세로의 길이인 8cm와 같으므로, 삼각형 EBD의 넓이는 다음과 같습니다: 넓이 = 1/2 × 8.2 × 8 = 32.8(cm²).
- 검산: x = 8.2cm 일 때, AE = 10 − 8.2 = 1.8cm 입니다. 직각삼각형 ABE에서 8² + 1.8² = 64 + 3.24 = 67.24 이며 빗변 EB² = 8.2² = 67.24 가 되어 피타고라스 정리가 만족되므로 넓이 32.8cm²가 정확합니다.
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