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연플래닝 행복수학
yh-m2-2-03 중2-2 · 도형의 닮음
03도형의 닮음Ⅲ. 도형의 닮음
03-1 닮음과 닮음비
닮음: 한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소한 것이 다른 도형과 완전히 겹쳐질 때, 두 도형은 서로 닮음이라 한다().
닮은 두 도형에서 대응변의 길이의 비는 일정하며, 이 비를 닮음비라 한다. 대응각의 크기는 서로 같다.
닮은 두 평면도형의 넓이의 비는 닮음비의 제곱과 같다: 닮음비 이면 넓이의 비 .
닮은 두 입체도형의 겉넓이의 비는 , 부피의 비는 닮음비의 세제곱 과 같다.
➕ 개념플러스
  • 닮음비 → 길이의 비 , 넓이의 비 , 부피의 비 을 한 번에 기억하면 편하다.
  • 물을 높이의 일부만 채운 원뿔은 전체 그릇과 닮음이므로, 부피 문제에 세제곱비를 그대로 쓸 수 있다.
03-2 삼각형의 닮음 조건
SSS 닮음: 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 모두 같으면 두 삼각형은 닮음이다().
SAS 닮음: 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같으면 닮음이다.
AA 닮음: 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같으면 닮음이다(나머지 한 각도 자동으로 같아진다).
직각삼각형의 닮음: 인 직각삼각형에서 A에서 빗변에 수선의 발 D를 내리면 세 삼각형이 서로 닮아 , 가 성립한다.
➕ 개념플러스
  • 각이 하나라도 공통이면 AA를 가장 먼저 의심하라 — 계산이 가장 짧다.
  • 닮음을 기호로 쓸 때는 반드시 대응 순서를 맞춰 쓴다( 이면 , , ).
03-3 평행선과 선분의 비 · 삼각형의 무게중심
삼각형과 평행선: 삼각형 ABC에서 이면 , .
평행선 사이의 선분의 비: 세 개 이상의 평행선이 다른 두 직선과 만날 때, 잘린 선분의 길이의 비는 같다.
중점연결정리: 삼각형 두 변의 중점 D, E를 이은 선분은 나머지 변과 평행하고 그 길이의 절반이다: , .
삼각형의 무게중심: 세 중선은 한 점 G에서 만나고, G는 각 중선을 꼭짓점 쪽에서부터 로 나눈다().
➕ 개념플러스
  • 무게중심에서 , 로 바로 바꿔 쓰면 계산이 빠르다.
  • 중점연결정리는 닮음비 인 두 삼각형(와 )로 이해하면 자연스럽다.

유형별 문제 예상 정답률  |  기본 5 · 중간 3 · 상위 1

1유형 01닮은 입체도형의 기본 성질01-1yh-m2-2-03-0101기본70%
대표두 삼각기둥이 서로 닮은 입체도형이고 닮음비가 2 : 3 이다. 작은 삼각기둥의 한 높이가 8cm일 때, 큰 삼각기둥의 대응하는 높이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm">
03-1-ayh-m2-2-03-0101-c1a기본 70%
두 삼각기둥이 서로 닮은 입체도형이고 닮음비가 이다. 작은 삼각기둥의 한 밑변의 길이가 cm일 때, 큰 삼각기둥의 대응하는 밑변의 길이를 구하시오.
정답 cm
닮은 입체도형에서 대응하는 선분의 길이의 비는 닮음비와 같다:
비례식을 풀면
(cm)
검산: 로 닮음비와 일치.
cm">
03-1-byh-m2-2-03-0101-c1b기본 70%
서로 닮은 두 원기둥의 닮음비가 이다. 큰 원기둥의 높이가 cm일 때, 작은 원기둥의 대응하는 높이를 구하시오.
정답 cm
대응 선분의 비는 닮음비와 같다:
(cm)
검산: 로 일치.
cm">
03-1-cyh-m2-2-03-0101-c1c기본 70%
서로 닮은 두 사각뿔의 닮음비가 이다. 큰 사각뿔의 한 모서리가 cm일 때, 작은 사각뿔의 대응하는 모서리의 길이를 구하시오.
정답 cm
대응 모서리의 비는 닮음비와 같다:
(cm)
검산: 로 일치.
도전 2세트
cm">
03-1-dyh-m2-2-03-0101-c1d기본 70%
서로 닮은 두 직육면체의 닮음비가 이다. 작은 직육면체의 세로가 cm일 때, 큰 직육면체의 대응하는 세로의 길이를 구하시오.
정답 cm
(cm)
검산: 로 일치.
cm">
03-1-eyh-m2-2-03-0101-c1e기본 70%
서로 닮은 두 원뿔의 닮음비가 이다. 큰 원뿔의 모선의 길이가 cm일 때, 작은 원뿔의 대응하는 모선의 길이를 구하시오.
정답 cm
(cm)
검산: 로 일치.
cm">
03-1-fyh-m2-2-03-0101-c1f중간 50%
서로 닮은 두 삼각기둥의 닮음비가 이다. 작은 삼각기둥의 밑면의 둘레가 cm일 때, 큰 삼각기둥의 밑면의 둘레를 구하시오.
정답 cm
둘레도 대응 선분 길이의 합이므로 그 비는 닮음비와 같다:
(cm)
검산: 로 일치.
2유형 02삼각형의 닮음 조건 (AA 닮음)02-1yh-m2-2-03-0201중간50%
대표각 A가 공통이고 각 ADE = 각 ACB인 두 삼각형 ABC와 ADE가 있다. AD = 4cm, AE = 5cm, DB = 6cm일 때, 선분 EC의 길이를 구하시오.
ABCDE
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm">
03-2-ayh-m2-2-03-0201-c1a중간 50%
두 삼각형 ABC와 ADE에서 는 공통이고 이다. cm, cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
두 각이 각각 같으므로 (AA 닮음).
대응변의 비:
에서
(cm)
검산: , 두 비가 같아 성립.
cm">
03-2-byh-m2-2-03-0201-c1b중간 50%
두 삼각형 ABC와 ADE에서 는 공통이고 이다. cm, cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
두 각이 각각 같으므로 (AA 닮음).
대응변의 비:
에서
(cm)
검산: , 두 비가 같아 성립.
cm">
03-2-cyh-m2-2-03-0201-c1c중간 50%
두 삼각형 ABC와 ADE에서 는 공통이고 이다. cm, cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
두 각이 각각 같으므로 (AA 닮음).
대응변의 비:
에서
(cm)
검산: , 두 비가 같아 성립.
도전 2세트
cm">
03-2-dyh-m2-2-03-0201-c1d중간 50%
두 삼각형 ABC와 ADE에서 는 공통이고 이다. cm, cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
두 각이 각각 같으므로 (AA 닮음).
대응변의 비:
에서
(cm)
검산: , 두 비가 같아 성립.
cm">
03-2-eyh-m2-2-03-0201-c1e중간 50%
두 삼각형 ABC와 ADE에서 는 공통이고 이다. cm, cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
두 각이 각각 같으므로 (AA 닮음).
대응변의 비:
에서
(cm)
검산: , 두 비가 같아 성립.
cm">
03-2-fyh-m2-2-03-0201-c1f상위 10%
두 삼각형 ABC와 ADE에서 는 공통이고 이다. cm, cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
두 각이 각각 같으므로 (AA 닮음).
대응변의 비:
에서
(cm)
검산: , 두 비가 같아 성립.
3유형 03직각삼각형에서의 닮음 관계03-1yh-m2-2-03-0301중간50%
대표각 A = 90도인 직각삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 빗변 BC에 내린 수선의 발을 D라 하자. BD = 4cm, CD = 9cm일 때, 선분 AD의 길이를 구하시오.
ABCD
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm">
03-3-ayh-m2-2-03-0301-c1a중간 50%
직각삼각형 ABC에서 이고, 꼭짓점 A에서 빗변 BC에 내린 수선의 발을 D라 하자. cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
빗변에 내린 수선으로 생긴 세 직각삼각형은 서로 닮음이므로
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
cm">
03-3-byh-m2-2-03-0301-c1b중간 50%
직각삼각형 ABC에서 이고, 꼭짓점 A에서 빗변 BC에 내린 수선의 발을 D라 하자. cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
빗변에 내린 수선으로 생긴 세 직각삼각형은 서로 닮음이므로
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
cm">
03-3-cyh-m2-2-03-0301-c1c중간 50%
직각삼각형 ABC에서 이고, 꼭짓점 A에서 빗변 BC에 내린 수선의 발을 D라 하자. cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
빗변에 내린 수선으로 생긴 세 직각삼각형은 서로 닮음이므로
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
도전 2세트
cm">
03-3-dyh-m2-2-03-0301-c1d중간 50%
직각삼각형 ABC에서 이고, 꼭짓점 A에서 빗변 BC에 내린 수선의 발을 D라 하자. cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
빗변에 내린 수선으로 생긴 세 직각삼각형은 서로 닮음이므로
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
cm">
03-3-eyh-m2-2-03-0301-c1e중간 50%
직각삼각형 ABC에서 이고, 꼭짓점 A에서 빗변 BC에 내린 수선의 발을 D라 하자. cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
빗변에 내린 수선으로 생긴 세 직각삼각형은 서로 닮음이므로
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
cm">
03-3-fyh-m2-2-03-0301-c1f상위 10%
직각삼각형 ABC에서 이고, 꼭짓점 A에서 빗변 BC에 내린 수선의 발을 D라 하자. cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
빗변에 내린 수선으로 생긴 세 직각삼각형은 서로 닮음이므로
길이는 양수: (cm)
검산: 로 성립.
4유형 04삼각형과 평행선 사이의 선분 길이 비04-1yh-m2-2-03-0401기본70%
대표삼각형 ABC에서 변 AB, AC 위의 점을 각각 D, E라 하자. 선분 DE와 BC가 평행하고, AD = 6cm, DB = 3cm, AE = 8cm일 때, 선분 EC의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm">
03-4-ayh-m2-2-03-0401-c1a기본 70%
삼각형 ABC에서 변 AB, AC 위의 점을 각각 D, E라 하자. 이고 cm, cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
이면
(cm)
검산: 와 의 비가 같아 성립.
cm">
03-4-byh-m2-2-03-0401-c1b기본 70%
삼각형 ABC에서 변 AB, AC 위의 점을 각각 D, E라 하자. 이고 cm, cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
이면
(cm)
검산: 와 의 비가 같아 성립.
cm">
03-4-cyh-m2-2-03-0401-c1c기본 70%
삼각형 ABC에서 변 AB, AC 위의 점을 각각 D, E라 하자. 이고 cm, cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
이면
(cm)
검산: 와 의 비가 같아 성립.
도전 2세트
cm">
03-4-dyh-m2-2-03-0401-c1d기본 70%
삼각형 ABC에서 변 AB, AC 위의 점을 각각 D, E라 하자. 이고 cm, cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
이면
(cm)
검산: 와 의 비가 같아 성립.
cm">
03-4-eyh-m2-2-03-0401-c1e기본 70%
삼각형 ABC에서 변 AB, AC 위의 점을 각각 D, E라 하자. 이고 cm, cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
이면
(cm)
검산: 와 의 비가 같아 성립.
cm">
03-4-fyh-m2-2-03-0401-c1f중간 50%
삼각형 ABC에서 변 AB, AC 위의 점을 각각 D, E라 하자. 이고 cm, cm, cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
이면
(cm)
검산: 와 의 비가 같아 성립.
5유형 05삼각형의 중점연결정리05-1yh-m2-2-03-0501기본70%
대표삼각형 ABC의 두 변 AB, AC의 중점을 각각 D, E라 하자. 선분 DE의 길이가 7cm일 때, 변 BC의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm">
03-5-ayh-m2-2-03-0501-c1a기본 70%
삼각형 ABC의 두 변 AB, AC의 중점을 각각 D, E라 하자. cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
중점연결정리: 이므로
(cm)
검산: 로 일치.
cm">
03-5-byh-m2-2-03-0501-c1b기본 70%
삼각형 ABC의 두 변 AB, AC의 중점을 각각 D, E라 하자. cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
(cm)
검산: 로 일치.
cm">
03-5-cyh-m2-2-03-0501-c1c기본 70%
삼각형 ABC의 두 변 AB, AC의 중점을 각각 D, E라 하자. cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
(cm)
검산: 로 일치.
도전 2세트
cm">
03-5-dyh-m2-2-03-0501-c1d기본 70%
삼각형 ABC의 두 변 AB, AC의 중점을 각각 D, E라 하자. cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
(cm)
검산: 로 일치.
cm">
03-5-eyh-m2-2-03-0501-c1e기본 70%
삼각형 ABC의 두 변 AB, AC의 중점을 각각 D, E라 하자. cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
(cm)
검산: 로 일치.
cm">
03-5-fyh-m2-2-03-0501-c1f중간 50%
삼각형 ABC의 두 변 AB, AC의 중점을 각각 D, E라 하자. cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
중점연결정리:
(cm)
검산: 로 일치.
6유형 06평행선 사이의 선분 길이 비06-1yh-m2-2-03-0601기본70%
대표세 직선 l, m, n이 평행하고, 두 직선이 이 평행선들과 교차하고 있다. 한 직선이 l, m, n과 만나 잘린 선분의 길이가 각각 4cm, 6cm 이고, 다른 한 직선이 잘린 선분의 길이는 6cm, x cm 이다. 이때 x의 값을 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
">
03-6-ayh-m2-2-03-0601-c1a기본 70%
세 직선 l, m, n이 서로 평행하고, 다른 두 직선이 이 평행선들과 만난다. 한 직선이 잘린 두 선분의 길이가 각각 cm, cm이고, 다른 직선이 잘린 두 선분의 길이가 cm, cm이다. 의 값을 구하시오.
정답
평행선 사이 선분의 길이의 비는 같다:
검산: 와 의 비가 같아 성립.
">
03-6-byh-m2-2-03-0601-c1b기본 70%
세 직선 l, m, n이 서로 평행하고, 다른 두 직선이 이 평행선들과 만난다. 한 직선이 잘린 두 선분의 길이가 각각 cm, cm이고, 다른 직선이 잘린 두 선분의 길이가 cm, cm이다. 의 값을 구하시오.
정답
평행선 사이 선분의 길이의 비는 같다:
검산: 와 의 비가 같아 성립.
">
03-6-cyh-m2-2-03-0601-c1c기본 70%
세 직선 l, m, n이 서로 평행하고, 다른 두 직선이 이 평행선들과 만난다. 한 직선이 잘린 두 선분의 길이가 각각 cm, cm이고, 다른 직선이 잘린 두 선분의 길이가 cm, cm이다. 의 값을 구하시오.
정답
평행선 사이 선분의 길이의 비는 같다:
검산: 와 의 비가 같아 성립.
도전 2세트
">
03-6-dyh-m2-2-03-0601-c1d기본 70%
세 직선 l, m, n이 서로 평행하고, 다른 두 직선이 이 평행선들과 만난다. 한 직선이 잘린 두 선분의 길이가 각각 cm, cm이고, 다른 직선이 잘린 두 선분의 길이가 cm, cm이다. 의 값을 구하시오.
정답
평행선 사이 선분의 길이의 비는 같다:
검산: 와 의 비가 같아 성립.
">
03-6-eyh-m2-2-03-0601-c1e기본 70%
세 직선 l, m, n이 서로 평행하고, 다른 두 직선이 이 평행선들과 만난다. 한 직선이 잘린 두 선분의 길이가 각각 cm, cm이고, 다른 직선이 잘린 두 선분의 길이가 cm, cm이다. 의 값을 구하시오.
정답
평행선 사이 선분의 길이의 비는 같다:
검산: 와 의 비가 같아 성립.
">
03-6-fyh-m2-2-03-0601-c1f중간 50%
세 직선 l, m, n이 서로 평행하고, 다른 두 직선이 이 평행선들과 만난다. 한 직선이 잘린 두 선분의 길이가 각각 cm, cm이고, 다른 직선이 잘린 두 선분의 길이가 cm, cm이다. 의 값을 구하시오.
정답
평행선 사이 선분의 비는 같다:
검산: , 로 일치.
7유형 07삼각형의 무게중심과 중선의 성질07-1yh-m2-2-03-0701기본70%
대표점 G는 삼각형 ABC의 무게중심이고, AD는 꼭짓점 A에서 대변 BC에 내린 중선이다. 선분 AD의 전체 길이가 18cm일 때, 선분 GD의 길이를 구하시오.
ABCDG
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm">
03-7-ayh-m2-2-03-0701-c1a기본 70%
점 G는 삼각형 ABC의 무게중심이고 AD는 중선이다. cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
무게중심은 중선을 로 나누므로
(cm)
검산: , 로 일치.
cm">
03-7-byh-m2-2-03-0701-c1b기본 70%
점 G는 삼각형 ABC의 무게중심이고 AD는 중선이다. cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
(cm)
검산: , 로 일치.
cm">
03-7-cyh-m2-2-03-0701-c1c기본 70%
점 G는 삼각형 ABC의 무게중심이고 AD는 중선이다. cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
이므로
(cm)
검산: 로 일치.
도전 2세트
cm">
03-7-dyh-m2-2-03-0701-c1d기본 70%
점 G는 삼각형 ABC의 무게중심이고 AD는 중선이다. cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
(cm)
검산: , 로 일치.
cm">
03-7-eyh-m2-2-03-0701-c1e기본 70%
점 G는 삼각형 ABC의 무게중심이고 AD는 중선이다. cm일 때, 의 길이를 구하시오.
정답 cm
이므로
(cm)
검산: 로 일치.
cm">
03-7-fyh-m2-2-03-0701-c1f중간 50%
점 G는 삼각형 ABC의 무게중심이고 AD는 중선이다. cm일 때, 중선 의 전체 길이를 구하시오.
정답 cm
이므로
(cm)
검산: , 로 일치.
8유형 08닮은 평면도형의 넓이의 비08-1yh-m2-2-03-0801중간50%
대표닮음비가 3 : 5 인 두 닮은 평면도형 A, B가 있다. 도형 A의 넓이가 18cm²일 때, 도형 B의 넓이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
cm²">
03-8-ayh-m2-2-03-0801-c1a중간 50%
닮음비가 인 두 닮은 평면도형 A, B가 있다. 도형 A의 넓이가 cm²일 때, 도형 B의 넓이를 구하시오.
정답 cm²
넓이의 비는 닮음비의 제곱:
에서
(cm²)
검산: 로 제곱비와 일치.
cm²">
03-8-byh-m2-2-03-0801-c1b중간 50%
닮음비가 인 두 닮은 평면도형 A, B가 있다. 도형 A의 넓이가 cm²일 때, 도형 B의 넓이를 구하시오.
정답 cm²
넓이의 비
에서 (cm²)
검산: 로 일치.
cm²">
03-8-cyh-m2-2-03-0801-c1c중간 50%
닮음비가 인 두 닮은 평면도형 A, B가 있다. 도형 A의 넓이가 cm²일 때, 도형 B의 넓이를 구하시오.
정답 cm²
넓이의 비
에서
(cm²)
검산: 로 일치.
도전 2세트
cm²">
03-8-dyh-m2-2-03-0801-c1d중간 50%
닮음비가 인 두 닮은 평면도형 A, B가 있다. 작은 도형 A의 넓이가 cm²일 때, 도형 B의 넓이를 구하시오.
정답 cm²
넓이의 비
에서
(cm²)
검산: 로 일치.
cm²">
03-8-eyh-m2-2-03-0801-c1e중간 50%
닮음비가 인 두 닮은 평면도형 A, B가 있다. 큰 도형 B의 넓이가 cm²일 때, 도형 A의 넓이를 구하시오.
정답 cm²
넓이의 비
에서
(cm²)
검산: 로 일치.
cm²">
03-8-fyh-m2-2-03-0801-c1f상위 10%
닮음비가 인 두 닮은 평면도형 A, B가 있다. 두 도형의 넓이의 차가 cm²일 때, 작은 도형 A의 넓이를 구하시오.
정답 cm²
넓이의 비 이므로 넓이를 로 놓는다.
넓이의 차 에서
작은 도형 (cm²)
검산: 큰 도형 , 차 , 비 로 일치.
9유형 09닮은 입체도형의 부피의 비와 실생활 활용09-1yh-m2-2-03-0901상위10%
대표원뿔 모양의 그릇에 물을 부어 그릇의 높이의 2/3 만큼 채웠다. 채워진 물의 부피가 16mL일 때, 그릇을 가득 채우기 위해 더 부어야 하는 물의 양(mL)을 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
mL">
03-9-ayh-m2-2-03-0901-c1a상위 10%
원뿔 모양의 그릇에 물을 부어 높이의 만큼 채웠다. 채워진 물의 부피가 mL일 때, 그릇을 가득 채우려면 더 부어야 하는 물의 양을 구하시오.
정답 mL
물의 원뿔과 그릇 전체는 닮음. 높이의 비(닮음비)
부피의 비는 닮음비의 세제곱:
에서 전체 부피 (mL)
더 부을 양 (mL)
검산: 로 세제곱비와 일치.
mL">
03-9-byh-m2-2-03-0901-c1b상위 10%
원뿔 모양의 그릇에 물을 부어 높이의 만큼 채웠다. 채워진 물의 부피가 mL일 때, 그릇을 가득 채우려면 더 부어야 하는 물의 양을 구하시오.
정답 mL
높이의 비(닮음비)
부피의 비
에서 (mL)
더 부을 양 (mL)
검산: 가 세제곱비와 일치.
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03-9-cyh-m2-2-03-0901-c1c상위 10%
원뿔 모양의 그릇에 물을 부어 높이의 만큼 채웠다. 채워진 물의 부피가 mL일 때, 그릇을 가득 채우려면 더 부어야 하는 물의 양을 구하시오.
정답 mL
높이의 비 , 부피의 비
에서 (mL)
더 부을 양 (mL)
검산: 로 일치.
도전 2세트
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03-9-dyh-m2-2-03-0901-c1d상위 10%
원뿔 모양의 그릇에 물을 부어 높이의 만큼 채웠다. 채워진 물의 부피가 mL일 때, 그릇을 가득 채우려면 더 부어야 하는 물의 양을 구하시오.
정답 mL
높이의 비(닮음비)
부피의 비
에서
(mL)
더 부을 양 (mL)
검산: 로 세제곱비와 일치.
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03-9-eyh-m2-2-03-0901-c1e상위 10%
원뿔 모양의 그릇에 물을 부어 높이의 만큼 채웠다. 채워진 물의 부피가 mL일 때, 그릇을 가득 채우려면 더 부어야 하는 물의 양을 구하시오.
정답 mL
높이의 비(닮음비)
부피의 비
에서 전체 부피 (mL)
더 부을 양 (mL)
검산: 가 세제곱비와 일치.
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03-9-fyh-m2-2-03-0901-c1f상위 10%
원뿔 모양의 아이스크림 콘에 재료를 높이의 까지 채웠다. 채워진 재료의 부피가 mL일 때, 콘을 가득 채우려면 더 넣어야 하는 재료의 양을 구하시오.
정답 mL
높이의 비(닮음비)
부피의 비
에서 전체 부피 (mL)
더 넣을 양 (mL)
검산: 가 세제곱비와 일치.
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답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~9). 모든 정답은 전수 검산 후 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 닮은 입체도형의 기본 성질
간략닮은 입체도형에서 대응 선분의 비는 닮음비와 같으므로 → cm.
  1. 닮은 두 입체도형에서 대응하는 선분의 길이의 비는 닮음비와 같습니다.
  2. 작은 삼각기둥의 높이가 8cm이고, 큰 삼각기둥의 대응하는 높이를 x cm라 놓으면 닮음비에 의해 비례식을 세울 수 있습니다: 2 : 3 = 8 : x.
  3. 내항의 곱과 외항의 곱이 같음을 이용하여 방정식을 풉니다: 2x = 24 => x = 12(cm).
  4. 따라서 큰 삼각기둥의 대응하는 높이는 12cm입니다.
  5. 검산: 작은 삼각기둥 높이 8cm 대 큰 삼각기둥 높이 12cm의 비는 8 : 12 = 2 : 3 으로 약분되므로 원래의 닮음비인 2:3과 완벽하게 일치합니다.
12cm
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2유형 02 · 삼각형의 닮음 조건 (AA 닮음)
간략각이 두 쌍 같아 . , → cm.
ABCDE
그림을 보며 따라가 보세요
  1. 삼각형 ADE와 삼각형 ACB에서 각 A가 공통이고 각 ADE = 각 ACB 이므로, 두 내각의 크기가 각각 같아 AA 닮음이 성립합니다: 삼각형 ADE ∽ 삼각형 ACB.
  2. 닮은 두 삼각형의 대응하는 변의 길이의 비는 같습니다: AD : AC = AE : AB.
  3. 선분 AB의 길이는 AD + DB 이므로 AB = 4 + 6 = 10(cm) 입니다.
  4. 선분 AC의 길이는 AE + EC 이므로 AC = 5 + EC 입니다.
  5. 수치들을 비례식에 대입합니다: 4 : (5 + EC) = 5 : 10 => 4 : (5 + EC) = 1 : 2.
  6. 비례식을 풉니다: 5 + EC = 8 => EC = 3(cm).
  7. 검산: EC = 3cm이면 AC = 5 + 3 = 8cm가 됩니다. 이로부터 AD : AC = 4 : 8 = 1 : 2 이고, AE : AB = 5 : 10 = 1 : 2 로 두 대응변의 길이의 비가 동일하게 성립하여 AA 닮음 관계가 확실함을 검증합니다.
3cm
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3유형 03 · 직각삼각형에서의 닮음 관계
간략직각삼각형의 수선 관계 → cm.
ABCD
그림을 보며 따라가 보세요
  1. 직각삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 빗변에 수선을 내리면 생기는 세 직각삼각형은 모두 닮음(AA 닮음)입니다: 삼각형 DBA ∽ 삼각형 DAC.
  2. 대응하는 변의 비로부터 닮음 공식 AD² = BD × CD 가 유도됩니다.
  3. 공식에 주어진 값 BD = 4, CD = 9를 대입합니다: AD² = 4 × 9 = 36.
  4. 선분 AD는 길이이므로 양수입니다: AD = 6(cm).
  5. 검산: AD = 6cm이면 삼각형 DBA에서 두 직각변의 비는 AD : BD = 6 : 4 = 3 : 2 이고, 삼각형 DAC에서 두 직각변의 비는 CD : AD = 9 : 6 = 3 : 2 로 두 삼각형의 닮음비가 완벽히 대응되어 성립함을 확인합니다.
6cm
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4유형 04 · 삼각형과 평행선 사이의 선분 길이 비
간략 이면 , → cm.
  1. 삼각형 ABC에서 DE와 BC가 평행할 때, 평행선 사이의 선분의 길이의 비에 관한 성질이 성립합니다: AD : DB = AE : EC.
  2. 식에 주어진 값들을 대입합니다: 6 : 3 = 8 : EC.
  3. 비율을 약분하여 식을 정리합니다: 2 : 1 = 8 : EC.
  4. 비례식을 풉니다: 2 × EC = 8 => EC = 4(cm).
  5. 검산: EC = 4cm일 때 전체 길이 AC = 8 + 4 = 12cm 이고 AB = 6 + 3 = 9cm 입니다. 이때 AD : AB = 6 : 9 = 2 : 3 이고, AE : AC = 8 : 12 = 2 : 3 으로 전체 삼각형의 닮음비 2:3과 완벽하게 부합하므로 EC = 4cm가 확실합니다.
4cm
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5유형 05 · 삼각형의 중점연결정리
간략중점연결정리 이므로 cm.
  1. 삼각형의 중점연결정리에 의하면, 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변(밑변)과 평행하고, 그 길이는 밑변의 길이의 절반입니다: DE = 1/2 × BC.
  2. 따라서 변 BC의 길이는 중점 연결 선분 DE의 길이의 정확히 2배입니다: BC = 2 × DE.
  3. 길이를 계산합니다: BC = 2 × 7 = 14(cm).
  4. 검산: 삼각형 ADE와 삼각형 ABC의 닮음비가 1:2이므로 밑변의 비 역시 DE : BC = 1 : 2 가 성립합니다. DE = 7cm일 때 BC = 14cm가 되는 것이 확실합니다.
14cm
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6유형 06 · 평행선 사이의 선분 길이 비
간략평행선 사이 선분의 비는 같으므로 → .
  1. 세 개 이상의 평행선이 다른 두 직선과 만날 때 생기는 잘린 선분의 길이의 비는 같습니다.
  2. 평행선 l, m, n 사이의 선분 비율에 의해 비례식을 세웁니다: 4 : 6 = 6 : x.
  3. 비율을 간단히 정리합니다: 2 : 3 = 6 : x.
  4. 비례식을 풀어 x의 값을 구합니다: 2x = 18 => x = 9.
  5. 검산: 구한 x = 9를 대입해 비를 확인합니다: l, m 사이의 비는 4 : 6 = 2 : 3 이고, m, n 사이의 비는 6 : 9 = 2 : 3 으로 완벽히 일치하므로 참입니다.
9
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7유형 07 · 삼각형의 무게중심과 중선의 성질
간략무게중심은 중선을 로 나누므로 cm.
ABCDG
그림을 보며 따라가 보세요
  1. 삼각형의 무게중심 G는 꼭짓점으로부터 대변에 이르는 중선을 각각 2 : 1 의 길이 비로 나눕니다: AG : GD = 2 : 1.
  2. 따라서 중선의 전체 길이 AD 중 GD가 차지하는 비율은 전체 3부분 중 1부분에 해당하므로 GD = 1/3 × AD 입니다.
  3. 길이를 계산합니다: GD = 1/3 × 18 = 6(cm).
  4. 검산: GD = 6cm이면 꼭짓점으로부터의 거리 AG = 18 − 6 = 12cm가 됩니다. 이때 AG : GD = 12 : 6 = 2 : 1 로 무게중심의 길이 비 성질을 완벽히 충족하므로 해가 정확합니다.
6cm
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8유형 08 · 닮은 평면도형의 넓이의 비
간략넓이의 비는 닮음비의 제곱 . → cm².
  1. 닮은 두 평면도형의 넓이의 비는 닮음비의 제곱의 비와 같습니다.
  2. 닮음비가 3 : 5 이므로 넓이의 비는 3² : 5² = 9 : 25 입니다.
  3. 도형 B의 넓이를 S라 놓고 넓이의 비를 이용해 식을 세웁니다: 9 : 25 = 18 : S.
  4. 비례식을 풉니다: 9 × S = 25 × 18 => S = 25 × 2 = 50(cm²).
  5. 따라서 도형 B의 넓이는 50cm² 입니다.
  6. 검산: 도형 A의 넓이 18과 B의 넓이 50의 비를 구하면 18 : 50 = 9 : 25 이므로, 제곱비 9 : 25와 완벽히 상응하여 참임이 확실합니다.
50cm²
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9유형 09 · 닮은 입체도형의 부피의 비와 실생활 활용
간략부피의 비는 닮음비의 세제곱 . → , 더 부을 양 mL.
  1. 원뿔 그릇 전체와 채워진 물의 원뿔은 닮은 입체도형입니다.
  2. 두 입체도형의 높이의 비(닮음비)는 물의 높이 : 그릇의 높이 = 2/3 : 1 = 2 : 3 입니다.
  3. 닮은 입체도형의 부피의 비는 닮음비의 세제곱의 비와 같습니다: 2³ : 3³ = 8 : 27.
  4. 전체 그릇의 부피를 V라 놓으면 부피비에 의해 비례식이 성립합니다: 8 : 27 = 16 : V.
  5. 비례식을 풀어 전체 부피 V를 구합니다: 8V = 432 => V = 54(mL).
  6. 가득 채우기 위해 더 부어야 하는 물의 양은 전체 부피에서 이미 채워진 부피를 뺀 값입니다: 54 − 16 = 38(mL).
  7. 검산: 이미 채워진 16mL 대 전체 그릇 용량 54mL의 비율이 16 : 54 = 8 : 27 로 높이비 2:3의 세제곱비와 완벽히 맞아떨어지므로 여유 잔여량 38mL는 산술적으로 정확합니다.
38mL
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