01삼각형의 성질Ⅰ. 도형의 성질
이 개념, 궁금하지?두 삼각형이 '완전히 똑같다'고 어떻게 자신 있게 말할까? — 포개 보지 않고도 아는 비밀이 있어.
01-1 이등변삼각형과 직각삼각형의 합동
이등변삼각형()에서 두 밑각의 크기는 같다: .
이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.
직각삼각형의 합동 — : 빗변(H)과 한 예각(A)이 각각 같다. / : 빗변(H)과 다른 한 변(S)이 각각 같다.
각의 이등분선 위의 한 점은 그 각을 이루는 두 변에서 같은 거리에 있다.
➕ 개념플러스
- 두 밑각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다(성질의 역도 성립).
01-2 삼각형의 외심
외심 O는 세 변의 수직이등분선의 교점이며, 세 꼭짓점까지의 거리가 모두 같다(외접원의 반지름): .
외심에서 한 변을 바라본 중심각은 대각의 2배: .
➕ 개념플러스
- 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 있다.
01-3 삼각형의 내심
내심 I는 세 내각의 이등분선의 교점이며, 세 변까지의 거리가 모두 같다(내접원의 반지름 ).
삼각형의 넓이와 내접원의 반지름: .
내심에서 한 변을 바라본 각: .
➕ 개념플러스
- 직각삼각형(빗변 )의 내접원 반지름은 .
유형별 문제 예상 정답률 | 기본 4 · 중간 3 · 상위 2
1유형 01이등변삼각형의 정의와 밑각의 크기01-1yh-m2-2-01-0101기본70%
대표AB = AC인 이등변삼각형 ABC가 있다. 꼭짓점 A의 내각의 크기가 40도일 때, 밑각인 각 B의 크기를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
01-1-ayh-m2-2-01-0101-c1a기본 70%
인 이등변삼각형 ABC에서 꼭짓점 A의 내각의 크기가 50°일 때, 밑각인 의 크기를 구하시오.
정답 65도
이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같으므로 .
세 내각의 합은 180°: .
이므로 .
검산: 50+65+65=180° (내각 합 정리 부합).
01-1-byh-m2-2-01-0101-c1b기본 70%
인 이등변삼각형 ABC에서 꼭짓점 A의 내각의 크기가 44°일 때, 밑각인 의 크기를 구하시오.
정답 68도
이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같으므로 .
세 내각의 합은 180°: .
이므로 .
검산: 44+68+68=180° (내각 합 정리 부합).
01-1-cyh-m2-2-01-0101-c1c중간 50%
인 이등변삼각형 ABC에서 꼭짓점 A의 내각의 크기가 36°일 때, 밑각인 의 크기를 구하시오.
정답 72도
이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같으므로 .
세 내각의 합은 180°: .
이므로 .
검산: 36+72+72=180° (내각 합 정리 부합).
도전 2세트
01-1-dyh-m2-2-01-0101-c2a중간 50%
인 이등변삼각형 ABC에서 꼭짓점 A의 내각의 크기가 80°일 때, 밑각인 의 크기를 구하시오.
정답 50도
이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같으므로 .
세 내각의 합은 180°: .
이므로 .
검산: 80+50+50=180° (내각 합 정리 부합).
01-1-eyh-m2-2-01-0101-c2b상위 10%
인 이등변삼각형 ABC에서 꼭짓점 A의 내각의 크기가 24°일 때, 밑각인 의 크기를 구하시오.
정답 78도
이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같으므로 .
세 내각의 합은 180°: .
이므로 .
검산: 24+78+78=180° (내각 합 정리 부합).
01-1-fyh-m2-2-01-0101-c2c상위 10%
인 이등변삼각형 ABC에서 꼭짓점 A의 내각의 크기가 96°일 때, 밑각인 의 크기를 구하시오.
정답 42도
이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같으므로 .
세 내각의 합은 180°: .
이므로 .
검산: 96+42+42=180° (내각 합 정리 부합).
2유형 02이등변삼각형 꼭지각의 이등분선 성질02-1yh-m2-2-01-0201기본70%
대표AB = AC인 이등변삼각형 ABC에서 꼭짓점 A의 이등분선이 밑변 BC와 만나는 점을 D라 하자. BC의 길이가 10cm일 때, 선분 BD의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
02-1-ayh-m2-2-01-0201-c1a기본 70%
인 이등변삼각형 ABC에서 꼭짓점 A의 이등분선이 밑변 BC와 만나는 점을 D라 하자. BC의 길이가 14cm일 때, 선분 BD의 길이를 구하시오.
정답 7cm
이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 점 D는 BC의 중점입니다.
이므로 .
검산: △ABD≡△ACD(SAS)로 , 합 14cm 부합.
02-1-byh-m2-2-01-0201-c1b기본 70%
인 이등변삼각형 ABC에서 꼭짓점 A의 이등분선이 밑변 BC와 만나는 점을 D라 하자. BC의 길이가 18cm일 때, 선분 BD의 길이를 구하시오.
정답 9cm
이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 점 D는 BC의 중점입니다.
이므로 .
검산: △ABD≡△ACD(SAS)로 , 합 18cm 부합.
02-1-cyh-m2-2-01-0201-c1c중간 50%
인 이등변삼각형 ABC에서 꼭짓점 A의 이등분선이 밑변 BC와 만나는 점을 D라 하자. BC의 길이가 24cm일 때, 선분 BD의 길이를 구하시오.
정답 12cm
이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 점 D는 BC의 중점입니다.
이므로 .
검산: △ABD≡△ACD(SAS)로 , 합 24cm 부합.
도전 2세트
02-1-dyh-m2-2-01-0201-c2a중간 50%
인 이등변삼각형 ABC에서 꼭짓점 A의 이등분선이 밑변 BC와 만나는 점을 D라 하자. BC의 길이가 8cm일 때, 선분 BD의 길이를 구하시오.
정답 4cm
이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 점 D는 BC의 중점입니다.
이므로 .
검산: △ABD≡△ACD(SAS)로 , 합 8cm 부합.
02-1-eyh-m2-2-01-0201-c2b상위 10%
인 이등변삼각형 ABC에서 꼭짓점 A의 이등분선이 밑변 BC와 만나는 점을 D라 하자. BC의 길이가 30cm일 때, 선분 BD의 길이를 구하시오.
정답 15cm
이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 점 D는 BC의 중점입니다.
이므로 .
검산: △ABD≡△ACD(SAS)로 , 합 30cm 부합.
02-1-fyh-m2-2-01-0201-c2c상위 10%
인 이등변삼각형 ABC에서 꼭짓점 A의 이등분선이 밑변 BC와 만나는 점을 D라 하자. BC의 길이가 13cm일 때, 선분 BD의 길이를 구하시오.
정답 6.5cm
이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 점 D는 BC의 중점입니다.
이므로 .
검산: △ABD≡△ACD(SAS)로 , 합 13cm 부합.
3유형 03직각삼각형의 합동 조건 (RHA 합동)03-1yh-m2-2-01-0301중간50%
대표두 직각삼각형 ABC와 DEF에서 각 C = 각 F = 90도이고, 빗변 AB = DE = 10cm, 한 예각의 크기 각 A = 각 D = 30도일 때, 두 삼각형이 합동이 되게 하는 직각삼각형 합동 조건의 명칭을 쓰시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
03-1-ayh-m2-2-01-0301-c1a중간 50%
두 직각삼각형 ABC와 DEF에서 이고, 빗변 , 한 예각의 크기 일 때, 두 삼각형이 합동이 되게 하는 직각삼각형 합동 조건의 명칭을 쓰시오.
정답 RHA 합동
직각(R)이 같고, 빗변(H)의 길이가 같으며, 한 예각(A)의 크기가 같으므로 RHA 합동입니다.
빗변 8cm 일치, 예각 40° 일치 → 직각과 함께 RHA 조건 성립.
검산: 나머지 예각 도 같아 ASA 합동과 연계됨.
03-1-byh-m2-2-01-0301-c1b중간 50%
두 직각삼각형 ABC와 DEF에서 이고, 빗변 , 한 예각의 크기 일 때, 두 삼각형이 합동이 되게 하는 직각삼각형 합동 조건의 명칭을 쓰시오.
정답 RHA 합동
직각(R)이 같고, 빗변(H)의 길이가 같으며, 한 예각(A)의 크기가 같으므로 RHA 합동입니다.
빗변 12cm 일치, 예각 55° 일치 → 직각과 함께 RHA 조건 성립.
검산: 나머지 예각 도 같아 ASA 합동과 연계됨.
03-1-cyh-m2-2-01-0301-c1c상위 10%
두 직각삼각형 ABC와 DEF에서 이고, 빗변 , 한 예각의 크기 일 때, 두 삼각형이 합동이 되게 하는 직각삼각형 합동 조건의 명칭을 쓰시오.
정답 RHA 합동
직각(R)이 같고, 빗변(H)의 길이가 같으며, 한 예각(A)의 크기가 같으므로 RHA 합동입니다.
빗변 15cm 일치, 예각 25° 일치 → 직각과 함께 RHA 조건 성립.
검산: 나머지 예각 도 같아 ASA 합동과 연계됨.
도전 2세트
03-1-dyh-m2-2-01-0301-c2a상위 10%
두 직각삼각형 ABC와 DEF에서 이고, 빗변 , 한 예각의 크기 일 때, 두 삼각형이 합동이 되게 하는 직각삼각형 합동 조건의 명칭을 쓰시오.
정답 RHA 합동
직각(R)이 같고, 빗변(H)의 길이가 같으며, 한 예각(A)의 크기가 같으므로 RHA 합동입니다.
빗변 9cm 일치, 예각 50° 일치 → 직각과 함께 RHA 조건 성립.
검산: 나머지 예각 도 같아 ASA 합동과 연계됨.
03-1-eyh-m2-2-01-0301-c2b최상위 3%
두 직각삼각형 ABC와 DEF에서 이고, 빗변 , 한 예각의 크기 일 때, 두 삼각형이 합동이 되게 하는 직각삼각형 합동 조건의 명칭을 쓰시오.
정답 RHA 합동
직각(R)이 같고, 빗변(H)의 길이가 같으며, 한 예각(A)의 크기가 같으므로 RHA 합동입니다.
빗변 20cm 일치, 예각 35° 일치 → 직각과 함께 RHA 조건 성립.
검산: 나머지 예각 도 같아 ASA 합동과 연계됨.
03-1-fyh-m2-2-01-0301-c2c최상위 3%
두 직각삼각형 ABC와 DEF에서 이고, 빗변 , 한 예각의 크기 일 때, 두 삼각형이 합동이 되게 하는 직각삼각형 합동 조건의 명칭을 쓰시오.
정답 RHA 합동
직각(R)이 같고, 빗변(H)의 길이가 같으며, 한 예각(A)의 크기가 같으므로 RHA 합동입니다.
빗변 7cm 일치, 예각 62° 일치 → 직각과 함께 RHA 조건 성립.
검산: 나머지 예각 도 같아 ASA 합동과 연계됨.
4유형 04직각삼각형의 합동 조건 (RHS 합동)04-1yh-m2-2-01-0401중간50%
대표두 직각삼각형 ABC와 DEF에서 각 C = 각 F = 90도이고, 빗변 AB = DE = 13cm, 다른 한 변 AC = DF = 5cm이다. 두 삼각형이 합동이 되게 하는 직각삼각형 합동 조건의 명칭을 쓰시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
04-1-ayh-m2-2-01-0401-c1a중간 50%
두 직각삼각형 ABC와 DEF에서 이고, 빗변 , 다른 한 변 이다. 두 삼각형이 합동이 되게 하는 직각삼각형 합동 조건의 명칭을 쓰시오.
정답 RHS 합동
직각(R), 빗변(H) 길이 일치, 다른 한 변(S) 길이 일치 → RHS 합동입니다.
빗변 10cm, 한 변 6cm 일치 → RHS 조건 성립.
검산: 나머지 변 도 같아 SSS 합동이 자동 성립.
04-1-byh-m2-2-01-0401-c1b중간 50%
두 직각삼각형 ABC와 DEF에서 이고, 빗변 , 다른 한 변 이다. 두 삼각형이 합동이 되게 하는 직각삼각형 합동 조건의 명칭을 쓰시오.
정답 RHS 합동
직각(R), 빗변(H) 길이 일치, 다른 한 변(S) 길이 일치 → RHS 합동입니다.
빗변 15cm, 한 변 9cm 일치 → RHS 조건 성립.
검산: 나머지 변 도 같아 SSS 합동이 자동 성립.
04-1-cyh-m2-2-01-0401-c1c상위 10%
두 직각삼각형 ABC와 DEF에서 이고, 빗변 , 다른 한 변 이다. 두 삼각형이 합동이 되게 하는 직각삼각형 합동 조건의 명칭을 쓰시오.
정답 RHS 합동
직각(R), 빗변(H) 길이 일치, 다른 한 변(S) 길이 일치 → RHS 합동입니다.
빗변 25cm, 한 변 7cm 일치 → RHS 조건 성립.
검산: 나머지 변 도 같아 SSS 합동이 자동 성립.
도전 2세트
04-1-dyh-m2-2-01-0401-c2a상위 10%
두 직각삼각형 ABC와 DEF에서 이고, 빗변 , 다른 한 변 이다. 두 삼각형이 합동이 되게 하는 직각삼각형 합동 조건의 명칭을 쓰시오.
정답 RHS 합동
직각(R), 빗변(H) 길이 일치, 다른 한 변(S) 길이 일치 → RHS 합동입니다.
빗변 17cm, 한 변 8cm 일치 → RHS 조건 성립.
검산: 나머지 변 도 같아 SSS 합동이 자동 성립.
04-1-eyh-m2-2-01-0401-c2b최상위 3%
두 직각삼각형 ABC와 DEF에서 이고, 빗변 , 다른 한 변 이다. 두 삼각형이 합동이 되게 하는 직각삼각형 합동 조건의 명칭을 쓰시오.
정답 RHS 합동
직각(R), 빗변(H) 길이 일치, 다른 한 변(S) 길이 일치 → RHS 합동입니다.
빗변 20cm, 한 변 12cm 일치 → RHS 조건 성립.
검산: 나머지 변 도 같아 SSS 합동이 자동 성립.
04-1-fyh-m2-2-01-0401-c2c최상위 3%
두 직각삼각형 ABC와 DEF에서 이고, 빗변 , 다른 한 변 이다. 두 삼각형이 합동이 되게 하는 직각삼각형 합동 조건의 명칭을 쓰시오.
정답 RHS 합동
직각(R), 빗변(H) 길이 일치, 다른 한 변(S) 길이 일치 → RHS 합동입니다.
빗변 26cm, 한 변 10cm 일치 → RHS 조건 성립.
검산: 나머지 변 도 같아 SSS 합동이 자동 성립.
5유형 05각의 이등분선의 성질05-1yh-m2-2-01-0501기본70%
대표각 XOY의 이등분선 위의 한 점 P에서 두 반직선 OX, OY에 내린 수선의 발을 각각 A, B라 하자. 선분 PA의 길이가 4cm일 때, 선분 PB의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
05-1-ayh-m2-2-01-0501-c1a기본 70%
각 XOY의 이등분선 위의 한 점 P에서 두 반직선 OX, OY에 내린 수선의 발을 각각 A, B라 하자. 선분 PA의 길이가 5cm일 때, 선분 PB의 길이를 구하시오.
정답 5cm
각의 이등분선 위의 점에서 두 변까지의 거리는 항상 같습니다.
따라서 .
검산: △OAP≡△OBP(RHA, 빗변 OP 공통·직각·이등분각)로 대응변 PA=PB.
05-1-byh-m2-2-01-0501-c1b기본 70%
각 XOY의 이등분선 위의 한 점 P에서 두 반직선 OX, OY에 내린 수선의 발을 각각 A, B라 하자. 선분 PA의 길이가 7cm일 때, 선분 PB의 길이를 구하시오.
정답 7cm
각의 이등분선 위의 점에서 두 변까지의 거리는 항상 같습니다.
따라서 .
검산: △OAP≡△OBP(RHA, 빗변 OP 공통·직각·이등분각)로 대응변 PA=PB.
05-1-cyh-m2-2-01-0501-c1c중간 50%
각 XOY의 이등분선 위의 한 점 P에서 두 반직선 OX, OY에 내린 수선의 발을 각각 A, B라 하자. 선분 PA의 길이가 9cm일 때, 선분 PB의 길이를 구하시오.
정답 9cm
각의 이등분선 위의 점에서 두 변까지의 거리는 항상 같습니다.
따라서 .
검산: △OAP≡△OBP(RHA, 빗변 OP 공통·직각·이등분각)로 대응변 PA=PB.
도전 2세트
05-1-dyh-m2-2-01-0501-c2a중간 50%
각 XOY의 이등분선 위의 한 점 P에서 두 반직선 OX, OY에 내린 수선의 발을 각각 A, B라 하자. 선분 PA의 길이가 6cm일 때, 선분 PB의 길이를 구하시오.
정답 6cm
각의 이등분선 위의 점에서 두 변까지의 거리는 항상 같습니다.
따라서 .
검산: △OAP≡△OBP(RHA, 빗변 OP 공통·직각·이등분각)로 대응변 PA=PB.
05-1-eyh-m2-2-01-0501-c2b상위 10%
각 XOY의 이등분선 위의 한 점 P에서 두 반직선 OX, OY에 내린 수선의 발을 각각 A, B라 하자. 선분 PA의 길이가 3.5cm일 때, 선분 PB의 길이를 구하시오.
정답 3.5cm
각의 이등분선 위의 점에서 두 변까지의 거리는 항상 같습니다.
따라서 .
검산: △OAP≡△OBP(RHA, 빗변 OP 공통·직각·이등분각)로 대응변 PA=PB.
05-1-fyh-m2-2-01-0501-c2c상위 10%
각 XOY의 이등분선 위의 한 점 P에서 두 반직선 OX, OY에 내린 수선의 발을 각각 A, B라 하자. 선분 PA의 길이가 11cm일 때, 선분 PB의 길이를 구하시오.
정답 11cm
각의 이등분선 위의 점에서 두 변까지의 거리는 항상 같습니다.
따라서 .
검산: △OAP≡△OBP(RHA, 빗변 OP 공통·직각·이등분각)로 대응변 PA=PB.
6유형 06삼각형의 외심의 정의와 성질06-1yh-m2-2-01-0601기본70%
대표점 O는 삼각형 ABC의 외심이다. 선분 OA의 길이가 6cm일 때, 두 선분 OB와 OC의 길이의 합을 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
06-1-ayh-m2-2-01-0601-c1a기본 70%
점 O는 삼각형 ABC의 외심이다. 선분 OA의 길이가 5cm일 때, 두 선분 OB와 OC의 길이의 합을 구하시오.
정답 10cm
외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 외접원의 반지름으로 모두 같습니다: .
이므로 합은 .
검산: 세 점이 반지름 5cm인 외접원 위에 있으므로 합 10cm 확실.
06-1-byh-m2-2-01-0601-c1b기본 70%
점 O는 삼각형 ABC의 외심이다. 선분 OA의 길이가 7cm일 때, 두 선분 OB와 OC의 길이의 합을 구하시오.
정답 14cm
외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 외접원의 반지름으로 모두 같습니다: .
이므로 합은 .
검산: 세 점이 반지름 7cm인 외접원 위에 있으므로 합 14cm 확실.
06-1-cyh-m2-2-01-0601-c1c중간 50%
점 O는 삼각형 ABC의 외심이다. 선분 OA의 길이가 9cm일 때, 두 선분 OB와 OC의 길이의 합을 구하시오.
정답 18cm
외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 외접원의 반지름으로 모두 같습니다: .
이므로 합은 .
검산: 세 점이 반지름 9cm인 외접원 위에 있으므로 합 18cm 확실.
도전 2세트
06-1-dyh-m2-2-01-0601-c2a중간 50%
점 O는 삼각형 ABC의 외심이다. 선분 OA의 길이가 4cm일 때, 두 선분 OB와 OC의 길이의 합을 구하시오.
정답 8cm
외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 외접원의 반지름으로 모두 같습니다: .
이므로 합은 .
검산: 세 점이 반지름 4cm인 외접원 위에 있으므로 합 8cm 확실.
06-1-eyh-m2-2-01-0601-c2b상위 10%
점 O는 삼각형 ABC의 외심이다. 선분 OA의 길이가 8cm일 때, 두 선분 OB와 OC의 길이의 합을 구하시오.
정답 16cm
외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 외접원의 반지름으로 모두 같습니다: .
이므로 합은 .
검산: 세 점이 반지름 8cm인 외접원 위에 있으므로 합 16cm 확실.
06-1-fyh-m2-2-01-0601-c2c상위 10%
점 O는 삼각형 ABC의 외심이다. 선분 OA의 길이가 11cm일 때, 두 선분 OB와 OC의 길이의 합을 구하시오.
정답 22cm
외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 외접원의 반지름으로 모두 같습니다: .
이므로 합은 .
검산: 세 점이 반지름 11cm인 외접원 위에 있으므로 합 22cm 확실.
7유형 07삼각형의 외심과 외심각의 연산07-1yh-m2-2-01-0701중간50%
대표점 O는 삼각형 ABC의 외심이다. 각 BOC의 크기가 110도일 때, 꼭짓점 A의 내각인 각 BAC의 크기를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
07-1-ayh-m2-2-01-0701-c1a중간 50%
점 O는 삼각형 ABC의 외심이다. 각 BOC의 크기가 100°일 때, 꼭짓점 A의 내각인 각 BAC의 크기를 구하시오.
정답 50도
외심각(중심각) 는 대각 의 2배: .
이므로 .
검산: 원주각=중심각의 , 부합.
07-1-byh-m2-2-01-0701-c1b중간 50%
점 O는 삼각형 ABC의 외심이다. 각 BOC의 크기가 120°일 때, 꼭짓점 A의 내각인 각 BAC의 크기를 구하시오.
정답 60도
외심각(중심각) 는 대각 의 2배: .
이므로 .
검산: 원주각=중심각의 , 부합.
07-1-cyh-m2-2-01-0701-c1c상위 10%
점 O는 삼각형 ABC의 외심이다. 각 BOC의 크기가 130°일 때, 꼭짓점 A의 내각인 각 BAC의 크기를 구하시오.
정답 65도
외심각(중심각) 는 대각 의 2배: .
이므로 .
검산: 원주각=중심각의 , 부합.
도전 2세트
07-1-dyh-m2-2-01-0701-c2a상위 10%
점 O는 삼각형 ABC의 외심이다. 각 BOC의 크기가 90°일 때, 꼭짓점 A의 내각인 각 BAC의 크기를 구하시오.
정답 45도
외심각(중심각) 는 대각 의 2배: .
이므로 .
검산: 원주각=중심각의 , 부합.
07-1-eyh-m2-2-01-0701-c2b최상위 3%
점 O는 삼각형 ABC의 외심이다. 각 BOC의 크기가 140°일 때, 꼭짓점 A의 내각인 각 BAC의 크기를 구하시오.
정답 70도
외심각(중심각) 는 대각 의 2배: .
이므로 .
검산: 원주각=중심각의 , 부합.
07-1-fyh-m2-2-01-0701-c2c최상위 3%
점 O는 삼각형 ABC의 외심이다. 각 BOC의 크기가 94°일 때, 꼭짓점 A의 내각인 각 BAC의 크기를 구하시오.
정답 47도
외심각(중심각) 는 대각 의 2배: .
이므로 .
검산: 원주각=중심각의 , 부합.
8유형 08삼각형의 내심과 내접원 반지름, 넓이 공식08-1yh-m2-2-01-0801상위10%
대표세 변의 길이가 각각 5cm, 12cm, 13cm이고 넓이가 30cm²인 직각삼각형 ABC가 있다. 이 삼각형의 내접원의 반지름의 길이를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
08-1-ayh-m2-2-01-0801-c1a상위 10%
세 변의 길이가 각각 6cm, 8cm, 10cm이고 넓이가 24cm²인 직각삼각형 ABC가 있다. 이 삼각형의 내접원의 반지름의 길이를 구하시오.
정답 2cm
넓이 S, 내접원 반지름 r, 세 변 사이에 가 성립합니다.
→ .
이므로 .
검산: 내심에서 나눈 세 삼각형 넓이 합 로 원넓이와 일치.
08-1-byh-m2-2-01-0801-c1b상위 10%
세 변의 길이가 각각 9cm, 12cm, 15cm이고 넓이가 54cm²인 직각삼각형 ABC가 있다. 이 삼각형의 내접원의 반지름의 길이를 구하시오.
정답 3cm
넓이 S, 내접원 반지름 r, 세 변 사이에 가 성립합니다.
→ .
이므로 .
검산: 내심에서 나눈 세 삼각형 넓이 합 로 원넓이와 일치.
08-1-cyh-m2-2-01-0801-c1c최상위 3%
세 변의 길이가 각각 8cm, 15cm, 17cm이고 넓이가 60cm²인 직각삼각형 ABC가 있다. 이 삼각형의 내접원의 반지름의 길이를 구하시오.
정답 3cm
넓이 S, 내접원 반지름 r, 세 변 사이에 가 성립합니다.
→ .
이므로 .
검산: 내심에서 나눈 세 삼각형 넓이 합 로 원넓이와 일치.
도전 2세트
08-1-dyh-m2-2-01-0801-c2a최상위 3%
세 변의 길이가 각각 3cm, 4cm, 5cm이고 넓이가 6cm²인 직각삼각형 ABC가 있다. 이 삼각형의 내접원의 반지름의 길이를 구하시오.
정답 1cm
넓이 S, 내접원 반지름 r, 세 변 사이에 가 성립합니다.
→ .
이므로 .
검산: 내심에서 나눈 세 삼각형 넓이 합 로 원넓이와 일치.
08-1-eyh-m2-2-01-0801-c2b최상위 3%
세 변의 길이가 각각 7cm, 24cm, 25cm이고 넓이가 84cm²인 직각삼각형 ABC가 있다. 이 삼각형의 내접원의 반지름의 길이를 구하시오.
정답 3cm
넓이 S, 내접원 반지름 r, 세 변 사이에 가 성립합니다.
→ .
이므로 .
검산: 내심에서 나눈 세 삼각형 넓이 합 로 원넓이와 일치.
08-1-fyh-m2-2-01-0801-c2c최상위 3%
세 변의 길이가 각각 20cm, 21cm, 29cm이고 넓이가 210cm²인 직각삼각형 ABC가 있다. 이 삼각형의 내접원의 반지름의 길이를 구하시오.
정답 6cm
넓이 S, 내접원 반지름 r, 세 변 사이에 가 성립합니다.
→ .
이므로 .
검산: 내심에서 나눈 세 삼각형 넓이 합 로 원넓이와 일치.
9유형 09삼각형의 내심과 내심각의 연산09-1yh-m2-2-01-0901상위10%
대표점 I는 삼각형 ABC의 내심이다. 꼭짓점 A의 내각인 각 BAC의 크기가 60도일 때, 각 BIC의 크기를 구하시오.
내 풀이
도전 문제 — 손으로 풀고 제출하면 답·해설이 열려요 (6문제)
도전 1세트
09-1-ayh-m2-2-01-0901-c1a상위 10%
점 I는 삼각형 ABC의 내심이다. 꼭짓점 A의 내각인 각 BAC의 크기가 50°일 때, 각 BIC의 크기를 구하시오.
정답 115도
내심의 성질: .
.
검산: , 이등분 합 → .
09-1-byh-m2-2-01-0901-c1b상위 10%
점 I는 삼각형 ABC의 내심이다. 꼭짓점 A의 내각인 각 BAC의 크기가 70°일 때, 각 BIC의 크기를 구하시오.
정답 125도
내심의 성질: .
.
검산: , 이등분 합 → .
09-1-cyh-m2-2-01-0901-c1c최상위 3%
점 I는 삼각형 ABC의 내심이다. 꼭짓점 A의 내각인 각 BAC의 크기가 80°일 때, 각 BIC의 크기를 구하시오.
정답 130도
내심의 성질: .
.
검산: , 이등분 합 → .
도전 2세트
09-1-dyh-m2-2-01-0901-c2a최상위 3%
점 I는 삼각형 ABC의 내심이다. 꼭짓점 A의 내각인 각 BAC의 크기가 40°일 때, 각 BIC의 크기를 구하시오.
정답 110도
내심의 성질: .
.
검산: , 이등분 합 → .
09-1-eyh-m2-2-01-0901-c2b최상위 3%
점 I는 삼각형 ABC의 내심이다. 꼭짓점 A의 내각인 각 BAC의 크기가 64°일 때, 각 BIC의 크기를 구하시오.
정답 122도
내심의 성질: .
.
검산: , 이등분 합 → .
09-1-fyh-m2-2-01-0901-c2c최상위 3%
점 I는 삼각형 ABC의 내심이다. 꼭짓점 A의 내각인 각 BAC의 크기가 90°일 때, 각 BIC의 크기를 구하시오.
정답 135도
내심의 성질: .
.
검산: , 이등분 합 → .
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답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~9). 모든 정답은 전수 검산 후 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 이등변삼각형의 정의와 밑각의 크기
간략이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같으므로 . 따라서 .
그림을 보며 따라가 보세요
- 그림에서 삼각형 ABC는 두 변 가 같은 이등변삼각형이에요. 변에 그어진 같은 빗금 표시가 "이 두 변은 길이가 같다"는 뜻이에요.
- 이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같아요. 그림의 아래쪽 두 각, 즉 와 가 서로 같습니다: .
- 삼각형 세 각을 모두 더하면 예요. 꼭대기 각 (그림 위쪽 표시)를 빼면 두 밑각의 합이 남아요: .
- 두 밑각이 서로 같으니, 남은 를 똑같이 반으로 나누면 돼요: .
- 검산. 세 각을 다시 더해 볼까요? — 딱 맞아요.
- 흔한 실수. 꼭대기 각 를 밑각으로 착각하면 안 돼요. 밑각은 아래쪽 두 각이고, 우리가 구한 값은 예요.
장대경 선생님풀이 추천불러오는 중…
아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
2유형 02 · 이등변삼각형 꼭지각의 이등분선 성질
간략꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 D는 의 중점. (cm).
그림을 보며 따라가 보세요
- 그림에서 삼각형 ABC는 인 이등변삼각형이고, 꼭대기 각 A를 반으로 가르는 선 AD가 밑변 BC와 점 D에서 만나요.
- 이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분해요. 그림의 점 D에 있는 직각 표시(작은 사각형)와 BD·CD의 같은 빗금이 바로 그 뜻이에요.
- 그래서 점 D는 밑변 BC의 정확히 한가운데(중점)가 돼요: .
- 밑변 전체 를 반으로 나누면 .
- 검산. 삼각형 ABD와 ACD를 견주면 AB=AC, AD는 공통, 사이 각이 직각으로 같아 SAS 합동이에요. 그래서 가 확실하고, 둘을 더하면 로 밑변과 맞아떨어져요.
- 흔한 실수. "이등분선이니까 각만 반으로 나누겠지"라고 생각하기 쉬워요. 하지만 이등변삼각형에서는 이 선이 밑변 길이까지 반으로 나눠 준다는 점이 핵심이에요.
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3유형 03 · 직각삼각형의 합동 조건 (RHA 합동)
간략직각(R)·빗변(H)·한 예각(A)이 각각 같으므로 합동.
그림을 보며 따라가 보세요
- 그림에는 직각(모서리의 작은 사각형 표시)을 가진 두 직각삼각형 ABC, DEF가 나란히 있어요: .
- 두 삼각형의 빗변이 로 같아요(빗변의 같은 빗금). 빗변은 영어로 Hypotenuse라서 H라고 불러요.
- 또 한 예각이 로 같아요(그림 아래 모서리의 표시). 예각은 Angle이라서 A.
- 직각(Right angle, R) · 빗변(H) · 한 예각(A)이 각각 같으니, 두 직각삼각형은 RHA 합동이에요.
- 검산. 나머지 예각도 로 같아져요. 그러면 한 변과 양 끝 각이 같은 보통 삼각형의 ASA 합동과도 이어져서, 정말 합동임을 확인할 수 있어요.
- 흔한 실수. 두 예각이 같다고 AA만으로 합동이라 하면 안 돼요(모양은 같아도 크기가 다를 수 있거든요). 반드시 빗변 길이(H)까지 같아야 RHA 합동이에요.
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아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
4유형 04 · 직각삼각형의 합동 조건 (RHS 합동)
간략직각(R)·빗변(H)·다른 한 변(S)이 각각 같으므로 합동. (참고: cm)
그림을 보며 따라가 보세요
- 그림의 두 직각삼각형 ABC, DEF는 인 직각삼각형이에요(모서리의 작은 사각형 표시).
- 빗변이 로 같아요(빗변의 같은 빗금). 빗변은 H(Hypotenuse).
- 직각을 낀 다른 한 변도 로 같아요(그림 아래 변의 표시). 변은 Side라서 S.
- 직각(R) · 빗변(H) · 다른 한 변(S)이 같으니 RHS 합동이에요.
- 검산. 피타고라스 정리로 남은 변을 구하면 로 두 삼각형이 똑같아져요. 세 변이 모두 같은 SSS 합동으로도 확인되죠.
- 흔한 실수. 직각을 낀 두 변이 같으면 SAS지만, 빗변 + 다른 한 변이 같은 경우는 직각삼각형에서만 통하는 RHS예요. 두 상황을 헷갈리지 마세요.
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5유형 05 · 각의 이등분선의 성질
간략각의 이등분선 위의 점은 두 변에서 같은 거리에 있으므로 (cm).
그림을 보며 따라가 보세요
- 그림에서 반직선 OP는 각 XOY를 똑같이 둘로 가르는 이등분선이에요(꼭짓점 O에 그린 두 개의 같은 각 표시).
- 점 P에서 두 변 OX, OY에 수직으로 내린 선의 발이 각각 A, B예요. A와 B의 직각 표시(작은 사각형)를 보세요. 그래서 , 는 P에서 각 변까지의 거리랍니다.
- 각의 이등분선 위의 점은 그 각의 두 변에서 같은 거리에 있어요. 이게 이등분선의 핵심 성질이에요: .
- 그림에 라 했으니, .
- 검산. 직각삼각형 OAP와 OBP를 보면 빗변 OP는 공통, 직각이 같고, 이등분된 각 라 RHA 합동이에요. 대응하는 변이므로 가 확실해요.
- 흔한 실수. PA, PB가 '수직으로 내린 거리'가 아니라 그냥 비스듬한 선이면 이 성질을 쓸 수 없어요. 반드시 변에 수직인 거리여야 서로 같아요.
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아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
6유형 06 · 삼각형의 외심의 정의와 성질
간략외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 모두 외접원의 반지름으로 같으므로 , 합은 (cm).
그림을 보며 따라가 보세요
- 그림에서 점 O는 삼각형 ABC의 외심이고, 세 꼭짓점 A, B, C를 모두 지나는 외접원의 중심이에요(보라색 원).
- 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 모두 외접원의 반지름으로 같아요. 그림의 세 선 OA, OB, OC에 그어진 같은 빗금이 이걸 보여 줘요: .
- 그림에 라 했으니, .
- 구하는 것은 두 길이의 합이에요: .
- 검산. 세 점 A, B, C가 반지름 6cm인 한 원 위에 있으니 O에서의 거리는 모두 6cm일 수밖에 없어요. 그래서 합은 12cm가 맞아요.
- 흔한 실수. 외심을 무게중심이나 내심과 헷갈리지 마세요. "세 꼭짓점까지 거리가 같은 점"은 외심, "세 변까지 거리가 같은 점"은 내심이에요.
장대경 선생님풀이 추천불러오는 중…
아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
7유형 07 · 삼각형의 외심과 외심각의 연산
간략외심각은 대각의 2배: . 따라서 .
그림을 보며 따라가 보세요
- 그림에서 O는 외심(외접원의 중심)이고, 중심 O에서 두 꼭짓점 B, C로 그은 각 가 예요(O 아래쪽 표시).
- 같은 활(호) BC를 바라보는 두 각인데, 중심에서 본 각 (중심각)는 꼭짓점 A에서 본 각 (원주각)의 정확히 2배예요: .
- 그림 위쪽 각 (물음표)를 구하려면, 거꾸로 반으로 나누면 돼요: .
- 검산. 구한 값을 다시 2배 하면 로 와 같아지니 맞아요.
- 흔한 실수. 와 를 같다고 착각하기 쉬워요. 중심각이 원주각의 2배이니, 원주각을 구할 때는 2배가 아니라 반으로 나눠야 해요.
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아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
8유형 08 · 삼각형의 내심과 내접원 반지름, 넓이 공식
간략에 대입: . 따라서 (cm).
그림을 보며 따라가 보세요
- 그림에서 원은 삼각형의 세 변에 안쪽으로 닿는 내접원이고, 그 중심이 내심 I, 그 반지름이 예요(그림의 표시).
- 삼각형의 넓이 , 내접원 반지름 , 세 변의 합 사이에는 가 성립해요. 내심에서 세 꼭짓점으로 삼각형을 셋으로 쪼갠 넓이의 합이거든요.
- 먼저 세 변의 합을 구해요: . 넓이는 로 주어졌어요.
- 대입하면 이므로 .
- 검산. 내심에서 세 변으로 나눈 삼각형들의 넓이 합은 로 원래 넓이와 딱 맞아요.
- 흔한 실수. 공식의 을 빠뜨리고 로 쓰면 답이 절반으로 틀려요. 을 꼭 챙기세요.
장대경 선생님풀이 추천불러오는 중…
아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.
9유형 09 · 삼각형의 내심과 내심각의 연산
간략내심의 성질 에 를 대입: .
그림을 보며 따라가 보세요
- 그림에서 I는 삼각형 ABC의 내심으로, 세 내각을 각각 반으로 가르는 각의 이등분선 세 개가 만나는 점이에요(A, B, C에서 I로 이어진 선).
- 내심의 성질로 각 는 로 구할 수 있어요.
- 그림 위쪽 를 대입해요: .
- 검산. 직접 각으로도 확인해요. 이고, 각이 이등분되니 . 삼각형 IBC에서 — 공식과 똑같아요.
- 흔한 실수. 외심각 공식 와 헷갈리지 마세요. 내심은 , 외심은 로 완전히 달라요.
장대경 선생님풀이 추천불러오는 중…
아직 선생님이 직접 쓰신 풀이가 없어요.