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연플래닝 행복수학
YH-121040 중학 2학년 1학기
01 연립일차방정식 Ⅰ. 수와 식의 계산
01-1 미지수가 2개인 연립방정식
미지수가 2개인 일차방정식 두 개를 한 쌍으로 묶은 것을 연립방정식이라 하고, 두 방정식을 동시에 만족하는 x,y의 값을 해라 한다.
➕ 개념플러스
  • 해를 구하면 반드시 원래 두 식에 대입해 확인.
01-2 대입법과 가감법
대입법: 한 방정식을 x=(y의 식) 또는 y=(x의 식) 꼴로 바꾸어 다른 식에 대입. 가감법: 두 식을 더하거나 빼서 미지수 하나를 없앤다.
➕ 개념플러스
  • 가감법은 계수를 맞추기 위해 식 전체에 적당한 수를 곱한다.
01-3 연립방정식의 해의 개수와 활용
두 일차방정식의 기울기가 다르면 해가 1개, 같고 y절편도 같으면 무수히 많음, 기울기는 같고 y절편이 다르면 해 없음.

· 활용: 속력·거리·시간, 농도, 자릿수 문제 등 두 미지수를 정해 두 개의 식을 세운다.

➕ 개념플러스
  • A=B=C 꼴은 {A=B, A=C} 또는 {A=B, B=C}로 바꾸어 푼다.

유형별 문제

유형 01미지수가 2개인 일차방정식의 해①
대표다음 중 미지수가 2개인 일차방정식 x + 3y = 15의 해가 아닌 것을 고르시오. (1) (15, 0) (2) (9, 2) (3) (6, 4) (4) (0, 5) (5) (−3, 6)
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유형 02연립방정식의 해의 정의와 미지수 구하기②
대표연립방정식 { ax + by = 7, bx − ay = −4 의 해가 (x, y) = (1, 2)일 때, 두 상수 a, b에 대하여 a × b의 값을 구하시오.
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유형 03대입법을 이용한 연립방정식의 풀이③
대표연립방정식 { y = 2x − 3, 3x − 2y = 8 을 대입법으로 풀 때, x의 값을 구하시오.
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유형 04가감법을 이용한 연립방정식의 풀이④
대표연립방정식 { 2x + 3y = 1, 5x − 2y = 12 의 해를 (x, y)라 할 때, x − y의 값을 구하시오.
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유형 05계수가 소수 또는 분수인 연립방정식의 풀이⑤
대표연립방정식 { 0.4x − 0.3y = 1.8, 1/2 x + 1/4 y = 1 의 해를 구하시오.
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유형 06A = B = C 꼴의 방정식 풀이⑥
대표방정식 2x + y = x − 3y + 6 = 5의 해를 구하시오.
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유형 07해가 무수히 많은 연립방정식⑦
대표연립방정식 { ax + 6y = 3, 2x + 3y = b 의 해가 무수히 많을 때, 상수 a, b에 대하여 a + b의 값을 구하시오.
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유형 08연립방정식의 활용 (십진법 자릿수의 연산)⑧
대표두 자리의 자연수가 있다. 이 수의 각 자리의 숫자의 합은 12이고, 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 수는 처음 수보다 18만큼 크다고 한다. 처음 두 자리 자연수를 구하시오.
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실력 UP

서술형연립방정식의 활용 (강물 위의 배 속력 연산)⑨
01강물이 시속 2km의 속력으로 일정하게 흐르고 있다. 이 강에서 배를 타고 24km의 거리를 거슬러 올라가는 데는 3시간이 걸렸고, 같은 경로를 따라 내려오는 데는 2시간이 걸렸다. 이때 정지한 물에서의 배의 속력을 구하시오.
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빈 문제가 있으면 확인 후 접수합니다. 제출하면 전체 답지·해설이 각 문제 아래에 바로 열립니다.
답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~9). 모든 정답은 전수 검산 후 여러 최상위 검수 엔진으로 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 미지수가 2개인 일차방정식의 해
  1. 주어진 일차방정식 x + 3y = 15 에 각 보기의 순서쌍 (x, y) 값을 대입하여 등식이 성립하는지 검증합니다.
  2. (1) x = 15, y = 0 대입: 15 + 3 × 0 = 15 (성립)
  3. (2) x = 9, y = 2 대입: 9 + 3 × 2 = 9 + 6 = 15 (성립)
  4. (3) x = 6, y = 4 대입: 6 + 3 × 4 = 6 + 12 = 18 이며, 이는 15가 아니므로 성립하지 않습니다.
  5. (4) x = 0, y = 5 대입: 0 + 3 × 5 = 15 (성립)
  6. (5) x = −3, y = 6 대입: −3 + 3 × 6 = −3 + 18 = 15 (성립)
  7. 따라서 등식이 성립하지 않는 해가 아닌 것은 (3)입니다.
  8. 검산: 각 보기의 좌변 x + 3y 식을 직접 연산하면 (1) 15, (2) 15, (3) 18, (4) 15, (5) 15 로 산출되므로 15가 되지 않는 예외는 (3)이 유일함을 확인합니다.
(3)
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2유형 02 · 연립방정식의 해의 정의와 미지수 구하기
  1. 연립방정식의 해 (x, y) = (1, 2)를 두 방정식에 각각 대입하여 상수 a, b에 대한 식을 유도합니다.
  2. 첫 번째 식에 대입: a × 1 + b × 2 = 7 => a + 2b = 7.
  3. 두 번째 식에 대입: b × 1 − a × 2 = −4 => −2a + b = −4.
  4. a, b에 대한 새로운 연립방정식을 풉니다.
  5. 두 번째 식에서 b = 2a − 4 로 정리하고, 이를 첫 번째 식에 대입합니다: a + 2(2a − 4) = 7.
  6. 괄호를 풀고 a를 구합니다: a + 4a − 8 = 7 => 5a = 15 => a = 3.
  7. 구한 a = 3을 대입하여 b를 구합니다: b = 2 × 3 − 4 = 2.
  8. a × b의 값을 계산합니다: 3 × 2 = 6.
  9. 검산: 구한 상수 a = 3, b = 2 와 해 (1, 2)를 원래 식에 대입해 교차 검증합니다. ax + by = 3(1) + 2(2) = 7 (성립) 이고 bx − ay = 2(1) − 3(2) = −4 (성립) 하므로 두 상수가 완벽히 정확함을 증명합니다.
6
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3유형 03 · 대입법을 이용한 연립방정식의 풀이
  1. 첫 번째 식 y = 2x − 3 을 두 번째 식의 y 자리에 대입합니다: 3x − 2(2x − 3) = 8.
  2. 괄호를 분배 법칙으로 풀어 식을 전개합니다: 3x − 4x + 6 = 8.
  3. 동류항을 정리하여 x에 관해 풉니다: −x + 6 = 8 => −x = 2 => x = −2.
  4. 따라서 구하는 x의 값은 −2입니다.
  5. 검산: 구한 x = −2를 첫 번째 식에 대입해 y를 구하면 y = 2(−2) − 3 = −7 이 됩니다. 이 해 (x, y) = (−2, −7)을 두 번째 식 3x − 2y = 8에 대입하면 3(−2) − 2(−7) = −6 + 14 = 8 이 성립하여 x = −2 가 정확한 해임을 확인합니다.
-2
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4유형 04 · 가감법을 이용한 연립방정식의 풀이
  1. y의 계수의 절댓값을 같게 만들기 위해 첫 번째 식에 2를 곱하고, 두 번째 식에 3을 곱합니다.
  2. 첫 번째 식 × 2: 4x + 6y = 2.
  3. 두 번째 식 × 3: 15x − 6y = 36.
  4. 두 식을 변끼리 더하여 y를 소거합니다: (4x + 15x) + (6y − 6y) = 2 + 36 => 19x = 38.
  5. 양변을 19로 나누어 x를 구합니다: x = 2.
  6. 구한 x = 2를 첫 번째 식 2x + 3y = 1 에 대입하여 y를 구합니다: 2 × 2 + 3y = 1 => 4 + 3y = 1 => 3y = −3 => y = −1.
  7. 따라서 해는 (2, −1) 이며, x − y 의 값을 계산합니다: 2 − (−1) = 3.
  8. 검산: 구한 해 (2, −1)을 두 번째 방정식 5x − 2y = 12에 대입해 성립하는지 확인합니다: 5(2) − 2(−1) = 10 + 2 = 12 로 성립하므로 x − y = 3 이 정확한 값임을 확인합니다.
3
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5유형 05 · 계수가 소수 또는 분수인 연립방정식의 풀이
  1. 계수를 정수로 고치기 위해 첫 번째 식에 10을 곱하고, 두 번째 식에 분모의 최소공배수인 4를 곱합니다.
  2. 첫 번째 식 × 10: 4x − 3y = 18.
  3. 두 번째 식 × 4: 2x + y = 4.
  4. 두 번째 식을 y에 대해 정리합니다: y = 4 − 2x.
  5. 정리한 식을 변형된 첫 번째 식에 대입합니다: 4x − 3(4 − 2x) = 18.
  6. 괄호를 풀고 동류항을 정리합니다: 4x − 12 + 6x = 18 => 10x = 30 => x = 3.
  7. x = 3을 y = 4 − 2x 에 대입하여 y를 구합니다: y = 4 − 2 × 3 = −2.
  8. 따라서 해는 x = 3, y = −2 입니다.
  9. 검산: 구한 해 (3, −2)를 원래의 소수 및 분수 식에 대입해 대조합니다. 첫 번째 식: 0.4(3) − 0.3(−2) = 1.2 + 0.6 = 1.8 (참). 두 번째 식: 1/2(3) + 1/4(−2) = 1.5 − 0.5 = 1 (참)이므로 해가 정확히 도출되었음을 확인합니다.
x = 3, y = -2
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6유형 06 · A = B = C 꼴의 방정식 풀이
  1. A = B = C 꼴의 방정식은 { A = C, B = C 꼴의 연립방정식으로 변형하여 해결할 수 있습니다.
  2. 식 두 개를 세웁니다: (i) 2x + y = 5, (ii) x − 3y + 6 = 5.
  3. 두 번째 식 (ii)의 상수항을 이항하여 정리합니다: x − 3y = −1 => x = 3y − 1.
  4. x = 3y − 1 을 첫 번째 식 (i)에 대입합니다: 2(3y − 1) + y = 5.
  5. 식을 풀어 y의 값을 구합니다: 6y − 2 + y = 5 => 7y = 7 => y = 1.
  6. y = 1을 x = 3y − 1 에 대입하여 x의 값을 구합니다: x = 3 × 1 − 1 = 2.
  7. 따라서 해는 x = 2, y = 1 입니다.
  8. 검산: 세 식에 각각 x = 2, y = 1 을 대입하여 값을 비교합니다: 2x + y = 2(2) + 1 = 5, x − 3y + 6 = 2 − 3(1) + 6 = 5 로 모두 5로 일치하므로 해가 정확히 성립합니다.
x = 2, y = 1
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7유형 07 · 해가 무수히 많은 연립방정식
  1. 연립방정식의 해가 무수히 많으려면, 두 식을 일차결합했을 때 동일한 식이 되어야 하므로 계수와 상수항의 비율이 모두 같아야 합니다.
  2. 비율 식을 세웁니다: x의 계수비 = y의 계수비 = 상수항의 비 => a/2 = 6/3 = 3/b.
  3. 상수비인 6/3 = 2 이므로, 각 식에서 a와 b를 구합니다.
  4. a/2 = 2 에서 a = 4 입니다.
  5. 3/b = 2 에서 b = 3/2 = 1.5 입니다.
  6. a + b의 값을 구합니다: 4 + 1.5 = 5.5 (또는 11/2).
  7. 검산: 구한 a = 4, b = 1.5를 대입하면 두 식은 4x + 6y = 3, 2x + 3y = 1.5 가 되며, 아래 식에 2를 곱하면 위 식과 기하학적 및 대수적으로 완전히 일치하므로 해가 무수히 많은 특수 조건이 만족됨을 확인합니다.
5.5
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8유형 08 · 연립방정식의 활용 (십진법 자릿수의 연산)
  1. 처음 수의 십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y라고 놓습니다. (x, y는 1 이상 9 이하의 자연수)
  2. 조건 1(각 자리 숫자의 합은 12)에 의해 식을 세웁니다: x + y = 12.
  3. 처음 수는 10x + y 이고, 바꾼 수는 10y + x 입니다.
  4. 조건 2(바꾼 수는 처음 수보다 18만큼 크다)에 의해 식을 세웁니다: 10y + x = (10x + y) + 18.
  5. 조건 2의 식을 이항하여 정리합니다: 9y − 9x = 18 => y − x = 2.
  6. 두 식을 연립하여 해결합니다: (i) y + x = 12, (ii) y − x = 2.
  7. 두 식을 더합니다: 2y = 14 => y = 7.
  8. y = 7을 대입하여 x를 구합니다: 7 + x = 12 => x = 5.
  9. 따라서 처음 수의 십의 자리는 5, 일의 자리는 7이므로 처음 수는 57입니다.
  10. 검산: 처음 수 57의 각 자리 합은 5 + 7 = 12가 맞고, 바꾼 수 75는 처음 수 57보다 75 − 57 = 18만큼 크므로 실생활 조건이 모두 참임을 검증합니다.
57
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9유형 09 · 연립방정식의 활용 (강물 위의 배 속력 연산)
  1. 정지한 물에서의 배의 속력을 시속 x km라고 가정합니다. (x > 2)
  2. 거슬러 올라갈 때는 흐르는 강물의 속력을 거슬러야 하므로 실제 배의 속력은 시속 (x − 2) km가 됩니다.
  3. 강을 내려올 때는 흐르는 강물의 속력이 배를 밀어주므로 실제 배의 속력은 시속 (x + 2) km가 됩니다.
  4. 거리 = 속력 × 시간 공식을 이용하여 두 식을 세웁니다.
  5. 거슬러 올라갈 때의 식: 3 × (x − 2) = 24 => x − 2 = 8.
  6. 내려올 때의 식: 2 × (x + 2) = 24 => x + 2 = 12.
  7. 두 일차식으로부터 x를 구합니다: x − 2 = 8 에서 x = 10 이며, x + 2 = 12 에서 x = 10 으로 동일하게 성립합니다.
  8. 따라서 정지한 물에서의 배의 속력은 시속 10km입니다.
  9. 검산: 정지 속력이 시속 10km이면 상류로 올라갈 때는 시속 8km로 3시간 동안 24km를 가고, 하류로 내려올 때는 시속 12km로 2시간 동안 24km를 가게 되어 강물 역풍/순풍 조건이 완벽히 만족됨을 확인합니다.
시속 10km
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※ 「연플래닝 행복수학」은 기존 교재의 형식·유형(장르)만 참고하고 모든 문항·수치·그림을 새로 창작한 독자 문제집입니다. 모든 문항·정답은 전수 검산 후 여러 최상위 검수 엔진으로 교차검증한 확정본입니다.  ·  고유번호 YH-121040  ·  중2-1 · 04 연립일차방정식  ·  YHR_v2.0 · 2026-07-14