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연플래닝 행복수학
YH-121030 중학 2학년 1학기
01 일차부등식 Ⅰ. 수와 식의 계산
01-1 부등식의 성질
부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호 방향은 그대로. 양변에 양수를 곱하거나 나누어도 그대로, 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 바뀐다.
➕ 개념플러스
  • 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향 반전을 절대 잊지 말 것.
01-2 일차부등식의 풀이
이항하여 ax>b (a≠0) 꼴로 정리한 뒤 양변을 a로 나눈다. 계수가 소수·분수면 정수로 바꾼다.
➕ 개념플러스
  • 해를 수직선에 나타낼 때 ≤,≥는 점을 채우고 <,>는 점을 비운다.
01-3 일차부등식의 활용
미지수를 정하고 문제 상황에 맞는 부등식을 세워 푼다. (예: 원가·정가·거스름돈이 0 이상, 최소 몇 개 이상 등)
➕ 개념플러스
  • 답이 자연수(개수·사람 수)여야 하는 문제는 부등식을 푼 뒤 조건에 맞는 정수를 고른다.

유형별 문제

유형 01부등식의 기본 성질①
대표a < b일 때, 다음 보기 중 옳지 않은 것을 고르시오. (1) a − 5 < b − 5 (2) 2a + 3 < 2b + 3 (3) −3a + 1 > −3b + 1 (4) a/4 − 2 < b/4 − 2 (5) −a/2 + 5 < −b/2 + 5
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유형 02일차부등식의 판별②
대표다음 보기 중에서 일차부등식인 것만을 있는 대로 고르시오. [보기] ㄱ. 2x − 3 > 0 ㄴ. x² − x < x² + 5 ㄷ. 3(x − 2) ≥ 3x − 6 ㄹ. 1/x + 2 < 0 ㅁ. x + 4
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유형 03일차부등식의 풀이 (기본형)③
대표일차부등식 4x − 7 < 2(x + 1)을 만족하는 x의 값 중 가장 큰 정수를 구하시오.
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유형 04계수가 소수 또는 분수인 일차부등식④
대표일차부등식 0.3x − 1/2 ≤ 0.1x + 0.3의 해를 구하시오.
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유형 05부등식의 해가 주어졌을 때 미지수의 값 산출⑤
대표x에 대한 일차부등식 3x − a > 5x + 4의 해가 x < −3일 때, 상수 a의 값을 구하시오.
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유형 06해의 조건이 주어졌을 때 미지수의 범위 결정⑥
대표일차부등식 2x + a ≥ 5x − 6을 만족하는 자연수 x의 개수가 3개일 때, 상수 a의 값의 범위를 구하시오.
1234(a+6)/3
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유형 07일차부등식의 활용 (속력과 시간)⑦
대표역에서 기차가 출발하기 전까지 1시간의 여유가 있어서, 상점에 가서 물건을 사 오려고 한다. 물건을 사는 데 15분이 걸리고, 시속 4km로 일정하게 걷는다고 할 때, 역에서 최대 몇 km 이내에 있는 상점까지 다녀올 수 있는지 구하시오.
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유형 08일차부등식의 활용 (평균값 이상 획득)⑧
대표한의는 수학 시험에서 앞서 치른 세 번의 시험 점수가 각각 82점, 88점, 90점이었다. 네 번에 걸친 수학 시험 점수의 평균이 88점 이상이 되려면, 네 번째 시험에서 최소 몇 점 이상을 받아야 하는지 구하시오.
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실력 UP

서술형일차부등식의 활용 (단체 혜택의 유리한 선택)⑨
01어느 박물관의 입장료는 1인당 4000원인데, 30명 이상의 단체 관람객에게는 입장료의 20%를 할인해 준다고 한다. 30명 미만의 단체가 관람하려 할 때, 몇 명 이상부터 30명의 단체 입장권을 사는 것이 더 유리한지 구하시오.
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빈 문제가 있으면 확인 후 접수합니다. 제출하면 전체 답지·해설이 각 문제 아래에 바로 열립니다.
답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~9). 모든 정답은 전수 검산 후 여러 최상위 검수 엔진으로 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 부등식의 기본 성질
  1. 부등식의 기본 성질에 의하면, 부등식의 양변에 같은 양수나 음수를 더하거나 빼도 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.
  2. 양변에 같은 양수를 곱하거나 나누어도 부등호의 방향은 그대로 유지됩니다. 따라서 (1), (2), (4)는 모두 참입니다.
  3. 양변에 같은 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 바뀝니다.
  4. (3)은 양변에 음수 −3을 곱했으므로 부등호가 반전되어 > 가 되므로 참입니다.
  5. (5)는 양변에 음수 −1/2을 곱하고 5를 더한 식이므로, 부등호 방향이 반전되어 −a/2 + 5 > −b/2 + 5 가 되어야 합니다. 따라서 (5)는 옳지 않습니다.
  6. 검산: 임의의 값 a = 1, b = 2 (a < b 성립)를 (5)번에 직접 대입해 봅니다. 좌변 = −1/2 + 5 = 4.5 이고, 우변 = −2/2 + 5 = 4 입니다. 4.5 > 4 이므로 부등호 방향이 반대인 > 가 되어야 하므로 (5)가 확실히 거짓임을 증증합니다.
(5)
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2유형 02 · 일차부등식의 판별
  1. 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때 '(x에 대한 일차식) > 0' (또는 <, ≥, ≤)의 형태로 정리되는 부등식을 일차부등식이라고 합니다.
  2. ㄱ: 2x − 3 > 0 은 일차식과 부등호로 이루어져 있으므로 일차부등식이 맞습니다.
  3. ㄴ: x² − x < x² + 5 에서 x²을 좌변으로 이항하면 x²이 서로 상쇄되어 −x − 5 < 0 이 되므로 일차식만 남아 일차부등식이 맞습니다.
  4. ㄷ: 3x − 6 ≥ 3x − 6 에서 이항하여 정리하면 0 ≥ 0 이 되어 미지수 x가 완전히 소거되므로 일차부등식이 아닙니다.
  5. ㄹ: 분모에 미지수 x가 있는 식 1/x + 2 < 0 은 다항식이 아닌 분수식 부등호이므로 일차부등식이 아닙니다.
  6. ㅁ: 등호나 부등호가 없으므로 부등식 자체가 아닌 일차식 다항식입니다.
  7. 따라서 일차부등식은 ㄱ, ㄴ 입니다.
  8. 검산: ㄴ은 겉보기엔 이차식처럼 보이나 양변의 최고차항 x²이 완벽하게 동치 상쇄되어 일차가 되며, ㄷ은 이항 시 식 자체가 0≥0으로 붕괴하여 미지수가 소실되므로 ㄱ, ㄴ만이 정확한 일차부등식임을 확인합니다.
ㄱ, ㄴ
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3유형 03 · 일차부등식의 풀이 (기본형)
  1. 괄호를 분배법칙으로 전개합니다: 4x − 7 < 2x + 2.
  2. x가 포함된 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 각각 이항합니다: 4x − 2x < 2 + 7.
  3. 동류항을 계산하여 식을 단순화합니다: 2x < 9.
  4. 양변을 양수인 2로 나누어 x의 범위를 구합니다: x < 9/2 (즉, x < 4.5).
  5. x < 4.5 를 만족하는 정수 중에서 가장 큰 값을 찾으면 4입니다.
  6. 검산: 구한 해의 경계보다 작은 정수 x = 4를 부등식에 대입하면 좌변 = 4(4) - 7 = 9, 우변 = 2(4+1) = 10 이므로 9 < 10 이 성립하고, 정수 x = 5를 대입하면 좌변 = 20 - 7 = 13, 우변 = 12 가 되어 13 < 12 는 성립하지 않으므로 최대 정수가 4가 맞음을 확인합니다.
4
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4유형 04 · 계수가 소수 또는 분수인 일차부등식
  1. 소수계수와 분수계수가 혼합되어 있으므로, 모든 계수를 정수로 만들기 위해 양변에 분모의 최소공배수이자 소수점 아래 한 자리를 밀 수 있는 10을 곱합니다.
  2. 양변에 10을 곱하여 분배합니다: 10 × (0.3x − 1/2) ≤ 10 × (0.1x + 0.3) => 3x − 5 ≤ x + 3.
  3. 미지수 항과 상수항을 이항하여 정리합니다: 3x − x ≤ 3 + 5 => 2x ≤ 8.
  4. 양변을 양수 2로 나누어 x의 해의 범위를 구합니다: x ≤ 4.
  5. 검산: 해의 한계값인 x = 4를 원래 식에 대입하면 좌변 = 0.3(4) - 0.5 = 0.7 이며, 우변 = 0.1(4) + 0.3 = 0.7 이 되어 양변이 정확히 일치(좌변=우변)하는 경계가 맞음을 검증합니다.
x ≤ 4
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5유형 05 · 부등식의 해가 주어졌을 때 미지수의 값 산출
  1. 주어진 부등식을 x에 관하여 풉니다.
  2. x가 포함된 항을 이항합니다: 3x − 5x > 4 + a => −2x > 4 + a.
  3. 양변을 음수 −2로 나누어 정리합니다. 이때 음수로 나누므로 부등호의 방향이 바뀝니다: x < −(4 + a)/2.
  4. 이 해가 주어진 해인 x < −3과 완전히 일치해야 하므로 경계값이 같아야 합니다: −(4 + a)/2 = −3.
  5. 양변에 −2를 곱하여 a의 방정식을 풉니다: 4 + a = 6 => a = 2.
  6. 검산: 구한 a = 2를 원식에 대입하여 풉니다: 3x − 2 > 5x + 4 => −2x > 6 => x < −3 이 정확히 도출되므로 a = 2가 확실합니다.
2
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6유형 06 · 해의 조건이 주어졌을 때 미지수의 범위 결정
  1. 부등식을 x에 관하여 풉니다.
  2. 이항하여 동류항을 모읍니다: 2x − 5x ≥ −6 − a => −3x ≥ −a − 6.
  3. 양변을 음수 −3으로 나누면서 부등호 방향을 바꿉니다: x ≤ (a + 6)/3.
  4. 부등식을 만족하는 자연수 x의 개수가 3개이려면, 그 자연수 해는 반드시 1, 2, 3이어야 합니다.
  5. 따라서 수직선 상에서 경계값인 (a + 6)/3 은 3 이상이고 4 미만의 범위에 위치해야 합니다.
  6. 식을 세우면: 3 ≤ (a + 6)/3 < 4.
  7. 각 변에 3을 곱합니다: 9 ≤ a + 6 < 12.
  8. 각 변에서 6을 빼서 a의 범위를 구합니다: 3 ≤ a < 6.
  9. 검산: a = 3일 때 x ≤ (3+6)/3 => x ≤ 3이 되어 만족하는 자연수는 {1,2,3}으로 3개(참). a = 5.9일 때 x ≤ 3.96이 되어 자연수는 {1,2,3}으로 3개(참). a = 6일 때 x ≤ 4가 되어 자연수가 {1,2,3,4}로 4개가 되므로 경계 조건인 3 ≤ a < 6이 수학적으로 빈틈없이 타당함을 확인합니다.
3 ≤ a < 6
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7유형 07 · 일차부등식의 활용 (속력과 시간)
  1. 역에서 상점까지의 거리를 x km라고 놓습니다.
  2. 시간 공식 (시간 = 거리 ÷ 속력)을 이용하여 왕복 걷는 데 걸리는 시간을 세웁니다: 갈 때 시간 x/4, 올 때 시간 x/4 이므로 총 걷는 시간 = x/4 + x/4 = x/2 (시간).
  3. 물건을 사는 시간 15분을 시간 단위로 환산합니다: 15/60 = 1/4 (시간).
  4. 왕복 걷는 시간과 물건 사는 시간의 합이 여유 시간인 1시간 이하이어야 하므로 식을 세웁니다: x/2 + 1/4 ≤ 1.
  5. 양변에 4를 곱하여 분모를 정리합니다: 2x + 1 ≤ 4 => 2x ≤ 3.
  6. 양변을 2로 나누어 거리의 범위를 구합니다: x ≤ 1.5.
  7. 따라서 다녀올 수 있는 상점은 최대 1.5km 이내에 위치해야 합니다.
  8. 검산: 상점까지의 거리가 1.5km이면 왕복 3km입니다. 시속 4km로 걸으므로 왕복 보행 시간은 3/4시간(= 45분)입니다. 여기에 상점에서 소비한 시간 15분을 더하면 45분 + 15분 = 60분(= 1시간)이 되므로 조건에 완벽히 부합합니다.
1.5km
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8유형 08 · 일차부등식의 활용 (평균값 이상 획득)
  1. 네 번째 수학 시험에서 받을 점수를 x점이라 놓습니다.
  2. 네 번의 시험 점수의 평균 식을 수립합니다: (82 + 88 + 90 + x)/4 ≥ 88.
  3. 분자의 상수항들을 더해 식을 정리합니다: (260 + x)/4 ≥ 88.
  4. 양변에 4를 곱하여 분모를 없앱니다: 260 + x ≥ 352.
  5. 이항하여 x의 최소 점수를 계산합니다: x ≥ 352 − 260 => x ≥ 92.
  6. 따라서 최소 92점 이상을 받아야 합니다.
  7. 검산: 네 번째 시험 점수가 딱 92점일 때, 네 시험의 평균은 (82 + 88 + 90 + 92)/4 = 352/4 = 88점이 정확하게 성립하므로 92점 이상이어야 함이 수학적 진실임을 입증합니다.
92점
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9유형 09 · 일차부등식의 활용 (단체 혜택의 유리한 선택)
  1. 박물관에 입장하는 실제 단체 인원수를 x명 (x < 30)이라 놓습니다.
  2. 개인별로 정상 입장권을 구매할 때의 총 비용을 식으로 세웁니다: 4000 × x = 4000x (원).
  3. 실제 인원은 30명이 안 되지만 30명 단체권(20% 할인)을 구매할 때의 비용을 계산합니다: 4000 × 30 × (1 − 0.20) = 120000 × 0.8 = 96000 (원).
  4. 단체권을 사는 것이 유리(더 저렴)해야 하므로 부등식을 수립합니다: 96000 < 4000x.
  5. 양변을 4000으로 나누어 x의 범위를 구합니다: 24 < x (즉, x는 24보다 큰 자연수).
  6. x가 24보다 큰 자연수이므로 최소 인원수는 25명입니다. 즉, 25명 이상부터 단체권을 사는 것이 유리합니다.
  7. 검산: 실제 24명이 관람할 때 개인권 비용은 24 × 4000 = 96000원으로 단체권 비용(96000원)과 완벽히 동일하여 혜택이 없고, 25명이 관람할 때는 개인권 100000원 대 단체권 96000원으로 단체권이 엄격히 유리해지므로 25명부터 유리하다는 결론은 확실합니다.
25명
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※ 「연플래닝 행복수학」은 기존 교재의 형식·유형(장르)만 참고하고 모든 문항·수치·그림을 새로 창작한 독자 문제집입니다. 모든 문항·정답은 전수 검산 후 여러 최상위 검수 엔진으로 교차검증한 확정본입니다.  ·  고유번호 YH-121030  ·  중2-1 · 03 일차부등식  ·  YHR_v2.0 · 2026-07-14