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연플래닝 행복수학
YH-121010 중학 2학년 1학기
01 유리수와 순환소수 Ⅰ. 수와 식의 계산
01-1 유리수와 소수
분수 a/b (a, b는 정수, b≠0) 꼴로 나타낼 수 있는 수를 유리수라 한다.

· 유한소수 — 소수점 아래 0이 아닌 숫자가 유한개인 소수 (예: 0.25)

· 무한소수 — 소수점 아래 숫자가 끝없이 계속되는 소수 (예: 0.333…)

➕ 개념플러스
  • 정수도 유리수(예: 3 = 3/1).
  • 분수를 소수로 = 분자 ÷ 분모.
01-2 순환소수
무한소수 중 소수점 아래 어떤 자리부터 일정한 숫자 배열이 되풀이되는 소수를 순환소수, 되풀이되는 한 부분을 순환마디라 한다.

· 순환마디의 양 끝 숫자 위에 점(·)을 찍어 나타낸다. 예: 0.121212… = 0.1•2•

· 0.4666… = 0.46• (순환마디 6)

➕ 개념플러스
  • 순환마디는 가장 짧은 반복 단위.
  • 모든 순환소수는 분수(유리수)로 나타낼 수 있다.
01-3 유한소수 조건 · 분수로 고치기

· 유한소수 판별: 기약분수의 분모의 소인수가 2와 5뿐이면 유한소수, 2·5 이외의 소인수가 있으면 순환소수.

· 순환소수 → 분수: x로 놓고 10ⁿ(n=순환마디 자릿수)을 곱해 순환마디를 없앤 뒤 뺀다.

예) x = 0.7•3• → 100x = 73.7373…, 100x − x = 73 → x = 73/99
➕ 개념플러스
  • 10ⁿ의 n = 순환마디 자릿수.
  • 분모가 9, 99, 999…면 순환소수.

유형별 문제

유형 01유리수의 판별과 분류①
대표다음 보기 중에서 유리수의 개수를 a개, 정수가 아닌 유리수의 개수를 b개라 할 때, a + b의 값을 구하시오. [보기] -3, 0, 0.333..., 5/8, -1.2, pi, -4/2
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유형 02유한소수로 나타낼 수 있는 분수②
대표분수 21/(2² × 5 × a)를 소수로 나타내면 유한소수가 된다고 한다. 10 이하의 자연수 a의 값을 모두 구하시오.
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유형 03유한소수가 되도록 하는 미지수 구하기③
대표분수 x/140을 소수로 나타내면 유한소수가 되고, 기약분수로 나타내면 3/y가 된다. x가 10보다 크고 30보다 작은 자연수일 때, x + y의 값을 구하시오.
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유형 04순환소수의 표현과 순환마디④
대표분수 5/7를 소수로 나타낼 때, 소수점 아래 50번째 자리의 숫자를 구하시오.
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유형 0510의 거듭제곱을 이용한 순환소수의 분수 변환⑤
대표순환소수 x = 0.2545454... (순환마디: 54)를 분수로 나타내기 위해 식을 세울 때, 소수 부분을 없앨 수 있는 가장 편리한 계산 식을 10의 거듭제곱을 이용하여 쓰하시오.
x10x1000x0.254...2.5454...254.5454...
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유형 06순환소수를 분수로 나타내기⑥
대표순환소수 1.481481481... (순환마디: 481)을 기약분수로 나타내었을 때, 그 분모와 분자의 합을 구하시오.
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유형 07순환소수를 포함한 식의 계산⑦
대표어떤 양수에 1.555... (순환마디: 5)를 곱해야 할 것을 잘못하여 1.5를 곱하였더니 원래의 정답보다 1/3만큼 작아졌다. 이 어떤 양수를 구하시오.
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유형 08순환소수의 크기 비교 및 개수 산출⑧
대표두 순환소수 0.1212... (순환마디: 12)와 0.444... (순환마디: 4) 사이에 있는 분수 중에서 분모가 33이고 분자가 자연수인 기약분수의 개수를 구하시오.
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실력 UP

서술형순환소수 일차방정식⑨
01다음 방정식을 만족하는 자연수 x의 값을 구하시오: 0.8333... (순환마디: 3) × x - 0.1666... (순환마디: 6) = 1.5
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빈 문제가 있으면 확인 후 접수합니다. 제출하면 전체 답지·해설이 각 문제 아래에 바로 열립니다.
답지 정답 및 풀이
정답 및 풀이 · 문제 번호와 동일하게 대응(1~9). 모든 정답은 전수 검산 후 여러 최상위 검수 엔진으로 교차검증한 확정본입니다.
1유형 01 · 유리수의 판별과 분류
  1. 유리수는 분수 m/n (m, n은 정수, n은 0이 아님) 꼴로 나타낼 수 있는 수입니다. 보기 중 pi(원주율)를 제외한 모든 수는 유리수이므로 유리수의 개수 a = 6개입니다.
  2. 유리수를 정수와 정수가 아닌 유리수로 분류합니다.
  3. 정수인 수들을 찾습니다: -3, 0, -4/2(= -2)로 총 3개입니다.
  4. 정수가 아닌 유리수를 찾습니다: 0.333...(= 1/3), 5/8, -1.2(= -6/5)로 총 3개입니다. 즉, b = 3개입니다.
  5. a + b의 값을 계산합니다: 6 + 3 = 9.
  6. 검산: 보기의 수 7개 중 순환하지 않는 무한소수인 무리수 pi 1개를 빼면 유리수는 6개(a=6)이고, 그중 정수 3개를 제외한 정수가 아닌 유리수는 정확히 3개(b=3)이므로 6 + 3 = 9가 성립함을 확인합니다.
9개
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2유형 02 · 유한소수로 나타낼 수 있는 분수
  1. 분수를 소수로 나타내어 유한소수가 되려면, 분수를 기약분수로 나타내었을 때 분모의 소인수가 2나 5뿐이어야 합니다.
  2. 주어진 분수의 분자를 소인수분해합니다: 21 = 3 × 7.
  3. 분모의 소인수 중 3이나 7이 있으면 분자 21과 약분되어 소거되므로 유한소수가 될 수 있습니다.
  4. 10 이하의 자연수 a에 대해 각각 확인해 봅니다.
  5. a = 1, 2, 4(2²), 5, 8(2³), 10(2×5)일 때는 분모에 2나 5의 소인수만 추가되므로 항상 유한소수가 됩니다.
  6. a = 3, 6(2×3), 7일 때는 추가되는 소인수 3 또는 7이 분자의 21과 통째로 약분되므로 유한소수가 됩니다.
  7. a = 9(3²)일 때는 3 하나만 분자와 약분되고 3이 분모에 남게 되므로 순환소수가 됩니다. (제외)
  8. 따라서 가능한 10 이하의 자연수 a는 9를 제외한 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 입니다.
  9. 검산: 구한 자연수들을 실제 대입하면 분모의 불필요한 소인수(3, 7)들이 분자의 약수 21에 의해 모두 상쇄되거나 2, 5로만 구성되므로 유한소수가 되며, 오직 a = 9일 때만 분모에 소인수 3이 소거되지 못하고 잔류하므로 9를 제외한 값들이 맞음을 확인합니다.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10
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3유형 03 · 유한소수가 되도록 하는 미지수 구하기
  1. 분모인 140을 소인수분해합니다: 140 = 2² × 5 × 7.
  2. x/140이 유한소수가 되려면 분모에 소인수 7이 없어져야 하므로, 분자 x는 7의 배수이어야 합니다.
  3. 10보다 크고 30보다 작은 7의 배수 x를 구합니다: x = 14 또는 x = 21 또는 x = 28 입니다.
  4. x의 후보들을 대입하여 기약분수로 고쳐 봅니다.
  5. x = 14일 때: 14/140 = 1/10 (분자가 1이므로 조건 만족 안 함)
  6. x = 21일 때: 21/140 = (3×7)/(2²×5×7) = 3/20 (분자가 3이 되므로 조건 만족, y = 20)
  7. x = 28일 때: 28/140 = 1/5 (분자가 1이므로 조건 만족 안 함)
  8. 따라서 x = 21, y = 20 이며, 이들의 합 x + y = 21 + 20 = 41 입니다.
  9. 검산: x = 21을 대입하면 21/140 = 3/20 이며, 분모 20의 소인수는 2와 5뿐이므로 유한소수가 성립하고 기약분수 분자가 3인 3/y 형태와 일치하므로 x+y = 41이 확실합니다.
41
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4유형 04 · 순환소수의 표현과 순환마디
  1. 분수 5/7의 나눗셈을 실행하여 소수로 나타냅니다: 5 ÷ 7 = 0.714285714285... 이므로 순환마디는 '714285' 입니다.
  2. 순환마디의 길이는 6개(7, 1, 4, 2, 8, 5)입니다.
  3. 소수점 아래 50번째 숫자를 구하기 위해 50을 순환마디 길이 6으로 나눈 나머지를 계산합니다: 50 = 6 × 8 + 2 이므로 나머지는 2입니다.
  4. 따라서 소수점 아래 50번째 자리의 숫자는 순환마디의 2번째 숫자인 1입니다.
  5. 검산: 순환마디가 8회 반복되면 소수점 아래 48번째 자리의 숫자가 마지막 숫자인 5가 됩니다. 그 다음 49번째 숫자는 7, 50번째 숫자는 1이 되므로 수학적 오차가 없음을 확인합니다.
1
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5유형 05 · 10의 거듭제곱을 이용한 순환소수의 분수 변환
  1. 소수점 아래 순환하지 않는 부분과 순환하는 부분을 분리하여 소수 아래를 일치시킵니다.
  2. x = 0.2545454... 에서 순환마디 바로 앞까지 소수점을 옮기기 위해 양변에 10을 곱합니다: 10x = 2.545454...
  3. 첫 번째 순환마디의 끝자리까지 소수점을 옮기기 위해 양변에 1000을 곱합니다: 1000x = 254.545454...
  4. 두 식의 소수 부분인 '.545454...'가 완전히 동일해졌으므로 변변 빼면 소수 부분이 사라집니다: 1000x − 10x = 252.
  5. 따라서 가장 편리한 식은 1000x − 10x 입니다.
1000x - 10x
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6유형 06 · 순환소수를 분수로 나타내기
  1. 순환소수 x = 1.481481... 에 대해 순환소수를 분수로 나타내는 공식법을 적용합니다.
  2. 분모는 순환마디의 자릿수만큼 9를 쓰므로 999입니다.
  3. 분자는 전체 수(1481)에서 순환하지 않는 수(1)를 뺀 값입니다: 1481 − 1 = 1480.
  4. 따라서 분수 표현은 1480/999 입니다.
  5. 기약분수로 나타내기 위해 분모와 분자의 공약수로 나눕니다. 999 = 27 × 37 이고 1480 = 40 × 37 이므로, 공약수 37로 약분하면 40/27 이 됩니다.
  6. 기약분수 40/27의 분모 27과 분자 40의 합을 구합니다: 27 + 40 = 67.
  7. 검산: 구한 기약분수 40/27을 실제 나눗셈해 봅니다: 40 ÷ 27 = 1.481481... 이 성립하므로 분모 27과 분자 40이 정확하고, 이들의 합 67 역시 정확함을 증명합니다.
67
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7유형 07 · 순환소수를 포함한 식의 계산
  1. 어떤 양수를 x라 가정합니다.
  2. 순환소수 1.555...를 분수로 나타냅니다: 1.555... = (15 - 1)/9 = 14/9.
  3. 올바른 정답 식과 잘못된 식을 세웁니다: 올바른 식 = 14/9 x, 잘못된 식 = 1.5 x = 3/2 x.
  4. 잘못 구한 결과가 정답보다 1/3 작아졌으므로 식을 세웁니다: 14/9 x − 3/2 x = 1/3.
  5. 좌변을 18로 통분하여 계산합니다: 28/18 x − 27/18 x = 1/3 => 1/18 x = 1/3.
  6. 방정식을 풀어 x의 값을 구합니다: x = 1/3 × 18 = 6.
  7. 검산: 어떤 수 x = 6을 대입합니다. 올바른 식 = 6 × 14/9 = 28/3 이고, 잘못된 식 = 6 × 1.5 = 9 = 27/3 입니다. 두 결과의 차이가 28/3 − 27/3 = 1/3 이 되므로 성립함을 확인합니다.
6
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8유형 08 · 순환소수의 크기 비교 및 개수 산출
  1. 두 순환소수를 각각 분수로 변환합니다.
  2. 0.1212... = 12/99 = 4/33 입니다.
  3. 0.444... = 4/9 = 44/99 = (14.666...)/33 입니다.
  4. 구하는 분모가 33인 분수를 a/33 (a는 자연수)라 하면 범위는 4/33 < a/33 < (14.666...)/33 이 됩니다.
  5. 따라서 분자 a의 범위는 4 < a < 14.666... 이므로 가능한 자연수 a는 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 입니다.
  6. 분수 a/33이 기약분수이려면 분자 a는 분모 33의 소인수인 3과 11의 배수가 아니어야 합니다.
  7. 조건에 부합하는 a의 값을 구합니다: 3의 배수(6, 9, 12)와 11의 배수(11)를 제외하면 5, 7, 8, 10, 13, 14 로 총 6개입니다.
  8. 검산: 범위 내 정수 a 중 33과 서로소인 5, 7, 8, 10, 13, 14에 대해 각각 5/33, 7/33, 8/33, 10/33, 13/33, 14/33은 더 약분되지 않는 기약분수이며 두 범위의 소수값 사이에 정확히 안착함을 확인합니다.
6개
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9유형 09 · 순환소수 일차방정식
  1. 순환소수들을 각각 분수로 변환합니다.
  2. 0.8333... = (83 - 8)/90 = 75/90 = 5/6.
  3. 0.1666... = (16 - 1)/90 = 15/90 = 1/6.
  4. 변환한 분수를 방정식에 대입합니다: 5/6 x − 1/6 = 3/2.
  5. 양변에 6을 곱하여 식을 단순화합니다: 5x − 1 = 9.
  6. 일차방정식을 풉니다: 5x = 10 => x = 2.
  7. 검산: 구한 x = 2를 방정식에 대입합니다: 5/6 × 2 − 1/6 = 10/6 − 1/6 = 9/6 = 1.5 가 성립하므로 해 x = 2가 확실함을 검증합니다.
2
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※ 「연플래닝 행복수학」은 기존 교재의 형식·유형(장르)만 참고하고 모든 문항·수치·그림을 새로 창작한 독자 문제집입니다. 모든 문항·정답은 전수 검산 후 여러 최상위 검수 엔진으로 교차검증한 확정본입니다.  ·  고유번호 YH-121010  ·  중2-1 · 01 유리수와 순환소수  ·  YHR_v2.0 · 2026-07-14